Différences entre les notations différentielles

[Weals]

Bonjour,

Je me questionne concernant l'écriture des éléments différentiels et l'ordre de ces derniers.

Par exemple, en diffusion de particules unidirectionnelle, si on réalise un bilan temporel avec N le nombre de particules, je serais personnellement tenté de l'écrire comme ceci, en introduisant la densité volumique de particules n=δN/δV :
d²N=dN(x,t+dt) - dN(x,t)
d²N=[n(x,t+dt)-n(x,t)]δV
d²N=dn(x,t)/dt*δt*δV

Cependant j'ai déjà vu dans des cours que c'est plutôt ceci qui apparait n=dN/dV et
dN=dn(x,t)/dx*dt*dV
Ou
d²N=dn(x,t)/dx*dt*dV

J'ai l'impression que les ² ou ³ dans les différentielles apparaissent au bon vouloir de l'auteur.trice. Idem pour les utilisations de δ ou d. Serait-ce parfois des "raccourcis" et parfois non ? Je me sens perdu à ce niveau.

Durant mes études j'ai souvent vu écrit le volume mésoscopique dV=dx*dy*dz, indifféremment de dV=S*dz par exemple, avec S une section droite aux dimensions macroscopiques. Ne devrait on pas noter d³V dans le 1er cas pour indiquer que c'est un produit de 3 différentiels ? Est ce utile ?

Toujours dans le theme de mon incompréhension des notations, si on réalise un développement limité à l'ordre 1 de f(t+dt)=f(t) + (df(t)/dt)*dt ne devrait on pas écrire f(t+dt)=f(t) + (df(t)/dt)*δt afin de différencier l'élément différentiel dt du "petit élément" δt ?

Je n'arrive pas bien à comprendre ces nuances entre δ et d , d'autant plus qu'il faut bien différencier δQ qui n'est pas une DTE dans le 1er principe de la thermo de dQ dans une relation de puissance thermique comme P=dQ/dt. Si j'ai bien compris, dans le 1er cas, on ne peut pas ecrire dQ car Q est déjà un transfert d'énergie (le chemin compte, à l'image de l'essence utilisée pour faire un trajet) tandis que U est une énergie interne (seuls les états initial et final comptent). Dans le 2eme cas, j'ai déjà vu écrit dQ mais en quoi est ce différent du transfert thermique du 1er principe ? Etait ce une erreur d'écrire dQ dans la relation de puissance thermique ?

Je vous remercie par avance pour vos remarques, commentaires et suggestions.
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[gts2]

Bonjour,

Il est clair qu'il y a souvent des raccourcis, d'où
-l'oubli des puissance ² et ³
- le fait que dans les calculs que vous indiquez, la notation différentielle est à prendre au sens, "on fait des calculs avec des termes petits et simultanément on fait le passage à la limite (sans le dire explicitement)"

Par exemple, en diffusion de particules unidirectionnelle, si on réalise un bilan temporel avec N le nombre de particules, je serais personnellement tenté de l'écrire comme ceci, en introduisant la densité volumique de particules d²N=dn(x,t)/dt*δt*δV.

Je dirai soit soit , la première forme étant le passage à la limite de la deuxième, mais pas un mélange des deux.
D'ailleurs dans le cas avec δ, le x de n(x,t) pose problème puisque le système s'étend de x à x +δx.

Cependant j'ai déjà vu dans des cours que c'est plutôt ceci qui apparait n=dN/dV et
dN=dn(x,t)/dx*dt*dV ou d²N=dn(x,t)/dx*dt*dV.

Je suppose qu'il faut lire dn/dt et non dn/dx ?

Durant mes études j'ai souvent vu écrit le volume mésoscopique dV=dx*dy*dz, indifféremment de dV=S*dz par exemple, avec S une section droite aux dimensions macroscopiques. Ne devrait on pas noter d³V dans le 1er cas pour indiquer que c'est un produit de 3 différentiels ? Est ce utile ?

On peut (doit ?) noter, en effet, d³V=dx*dy*dz et dV=S*dz.

C'est utile pour contrôler l'homogénéité différentielle.

Toujours dans le theme de mon incompréhension des notations, si on réalise un développement limité à l'ordre 1 de f(t+dt)=f(t) + (df(t)/dt)*dt ne devrait on pas écrire f(t+dt)=f(t) + (df(t)/dt)*δt afin de différencier l'élément différentiel dt du "petit élément" δt ?

Il faut être cohérent : si vous écrivez en δ, il faut mettre des δ partout :

Pour ce qui est de Q, Q n'étant pas une fonction, il n'existe pas de différentielle de Q, d'où la notation δQ.
Je n'ai pas de réponse "définitive" pour la puissance thermique, mais il est clair que ce n'est pas la dérivée d'une fonction thermodynamique.