Résolution de système linéaire.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Dans un autre sous-forum, la discussion a dévié sur la résolution de système d'équation linéaire. Il m'a semblé intéressant de développer le sujet ici, sur un plan strictement informatique.
Hypothèse : tous les systèmes linéaires dont on parle ici sont "corrects", c'est à dire qu'ils admettent une solution et sont bien conditionnés. D'autre part ils comportent suffisamment d'équations pour justifier un traitement informatique et sont censés correspondre à des cas réels, pas de solution évidente etc.

D'abord, il faut distinguer deux cas
1- Il y a très peu de zéros parmi les paramètres.
2- Il y a beaucoup de zéros, on connait ce type de données sous le nom de "matrice creuse".
En fait ces deux cas sont suffisamment caractéristiques pour pouvoir considérer qu'il n'y a pas de cas intermédiaire.

Référence : Citation Envoyé par Dlzlogic

Voir le message
D'ailleurs, la méthode du pivot de Gauss est très efficace pour des "matrices creuses".
Justement non, il est connu que cette méthode crée du remplissage en général, donc perd l'intérêt des matrices creuses.

Par exemple, lis l'intro de http://nicolas.thiery.name/Enseignem.../wiedemann.pdf

La question posée est la suivante : étant donné un système linéaire à résoudre quelle est la méthode à utiliser ?
Je me suis déjà beaucoup exprimé sur le sujet pour le cas 1-
Pour le cas 2-, pour vérification de mon affirmation, j'ai créé artificiellement un système de 20 équations. Je confirme mon affirmation.
D'autre part, il est étonnant qu'à un système ayant une solution unique, on préfère une solution approchée.
-----

[invitebd98b571]

bonsoir

Pour le cas 2-, pour vérification de mon affirmation, j'ai créé artificiellement un système de 20 équations. Je confirme mon affirmation.

Ecris un article dans une revue, car visiblement, c'est pas connu.

D'autre part, il est étonnant qu'à un système ayant une solution unique, on préfère une solution approchée.

C'est tout simple : suivant le contexte, on préfère parfois une bonne solution approchée mais rapide, plutôt que la solution exacte qui demande bien plus de temps de calcul.
Tu devrais être au courant, puisque tu pratique toi aussi la programmation.

[Dlzlogic]

Bon, au niveau où on est, c'est à dire "ont sait que", "c'est connu" etc., on tourne en rond.
J'ai fait un calcul sur un système de 20 équations. Dans le système de départ, il y a 3 paramètres non nuls par ligne. Au fur et à mesure du calcul, on a un maximum de 5 paramètres non nuls. On ne peut pas dire que la "matrice se remplisse petit à petit".
D'autre part, si j'ai bien compris, la méthode X=aY calcule un déterminant, et l'inverse d'une matrice (calcul de cofacteur etc.). J'ai écrit les modules nécessaires pour réaliser cela, je ne vois pas où on pourrait utiliser la méthode du pivot de Gauss.
Si je me trompe, je ne demande qu'à voir et à rectifier ce que j'ai dit.

[invitebd98b571]

Demande à Nicolas Thiéry (qui héberge l'article cité) : il est Professeur au Laboratoire de Recherche en Informatique d' Université Paris Sud
ou bien à l'auteur lui-même : Antoine Chambert-Loir , Professeur à Paris 7

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Bon, puisque tu les connais, tu aurais pu me donner leur adresse par MP ou mail.
Bon, je vais essayer de les contacter et je rendrai compte de leur réponse.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir Dlzlogic,

D'autre part, si j'ai bien compris, la méthode X=aY calcule un déterminant, et l'inverse d'une matrice (calcul de cofacteur etc.). J'ai écrit les modules nécessaires pour réaliser cela, je ne vois pas où on pourrait utiliser la méthode du pivot de Gauss.

D'après mes connaissances, on n'utilise pas la méthode du déterminant et des cofacteurs pour résoudre un "gros" système linéaire (du type 10000x10000). En effet, il me semble que le temps calcul augmente exponentiellement avec la taille de la matrice. Les méthodes les plus couramment utilisées (pour les matrices "générales") sont celles de la décomposition LU, le pivot de Gauss ou les méthodes itératives (comme gmres*), dont les temps calculs augmentent "seulement" avec le cube de l'ordre de la matrice considérée (pour LU et Gauss) et souvent moins pour les méthodes itératives.

*http://mathworld.wolfram.com/General...ualMethod.html


Les méthodes itératives, par nature, ne permettent d'obtenir qu'une solution approximative du système (moyennant certaines conditions de convergence**).

**Par exemple gmres requiert que la matrice soit symétrique.


D'autre part, la décomposition LU (ou la matrices réduite par pivot de Gauss) permettent d'obtenir une solution (numériquement) exacte. Cependant, la décomposition LU (ou la matrice réduite par pivot de Gauss) d'une matrice creuse n'est en général pas creuse.

La résolution d'un système linéaire comportant une matrice creuse avec pour contrainte de limiter son remplissage lors de sa décomposition est un problème compliqué; lié à la théorie des graphes. Ce problème est en fait (bien) plus compliqué que notre problème initial consistant à résoudre un système linéaire.

A ma connaissance, il n'existe pas d'algorithme en temps polynomial qui permette de trouver une matrice équivalente "optimale"; c'est-à-dire une matrice minimisant le remplissage durant sa décomposition, et dont la solution au système linéaire soit identique à celle du système linéaire initialement considéré. Il existe cependant des algorithmes en temps polynomial minimisant "approximativement" et "souvent***" ce remplissage, comme le "reverse Cuthill-McKee" (https://en.wikipedia.org/wiki/Cuthil...cKee_algorithm)

***Parfois (rarement) ils échouent...

[invitebd98b571]

Essayer la méthode du pivot de Gauss avec cette matrice

[3., 2., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 2., 0., 0., 0., 0., 0.]
[0., 6., 0., 0., 0., 0., 2., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., 0.]
[2., 0., 4., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 2., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.]
[0., 0., 2., 9., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 8., 0., 0., 0., 0., 0., 0.]
[0., 0., 0., 0., 2., 0., 2., 0., 0., 0., 6., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.]
[2., 0., 0., 0., 0., 9., 0., 9., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.]
[0., 0., 0., 0., 0., 0., 5., 0., 2., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 6., 0., 0., 0.]
[0., 0., 0., 3., 0., 0., 0., 8., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 2., 0., 0.]
[0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 2., 5., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1.]
[0., 2., 0., 0., 0., 6., 0., 0., 0., 2., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.]
[0., 0., 0., 0., 0., 0., 5., 0., 0., 0., 2., 0., 0., 0., 0., 7., 0., 0., 0., 0.]
[0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 0., 9., 2., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.]
[0., 3., 0., 2., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 8., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.]
[0., 0., 0., 7., 0., 2., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0.]
[0., 2., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 3., 0., 0., 0., 3., 0.]
[0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 7., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 2., 2., 0., 0., 0.]
[2., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 4., 0., 0., 2.]
[0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 5., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 2., 0.]
[0., 0., 0., 0., 0., 0., 2., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 2., 0., 3., 0.]
[0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 8., 0., 6., 0., 0., 0., 0., 0., 0.]

Le phénomène de remplissage se constate encore bien davantage avec des matrices de tailles plus grandes 100x100, etc.

[Dlzlogic]

@ Paraboloide-hyperbolique.
Je suis tout à fait d'accord avec ce que tu dis. Je suis incompétent concernant ce type de "matrice énorme". Ce qui me concerne, c'est le sujet de mon fil, c'est à dire les systèmes linéaires "ordinaires".
@ Pr_Rou,
Ce que tu montres est un tableau. C'est peut-être une matrice de je ne sais quelle application, dans je ne sais quel environnement.
Ta réponse est un [HS], il ne s'agit ici que de résolution de système d'équations linéaires. Et ton joli tableau, si tu veux que ce soient des équations, il manque un signe '=' et une valeur à droite.
Pour mémoire, la méthode du pivot de Gauss s'applique à un système d'équation et non pas à un tableau de chiffres qui pourrait représenter éventuellement la matrice d'une application linéaire, si tu le dis.
[PM] J'ai évoqué aussi la résolution d'un système d'équations du second degré. Je n'ai pas vu de réaction. Cela m'aurait-il échappé ? En tout cas la question reste posée. C'est pas vraiment le sujet du fil, mais on peut faire une petite extension.[/PM]

[Paraboloide_Hyperbolique]

@ Paraboloide-hyperbolique.
Je suis tout à fait d'accord avec ce que tu dis. Je suis incompétent concernant ce type de "matrice énorme". Ce qui me concerne, c'est le sujet de mon fil, c'est à dire les systèmes linéaires "ordinaires".

Tout dépend de ce que vous entendez par "ordinaire". Dans mon domaine, les systèmes linéaires "ordinaires" possèdent des matrices associées d'ordre minimum 5000 et, en général, d'ordre 50000 voir 100.000 ...

Maintenant, on peut tout-à-fait considérer des matrices d'ordre 100 ou moins. Dans ce cas, en considérant les capacités actuelles de nos machines, la méthode que vous avez développée convient.

J'ai évoqué aussi la résolution d'un système d'équations du second degré. Je n'ai pas vu de réaction. Cela m'aurait-il échappé ? En tout cas la question reste posée. C'est pas vraiment le sujet du fil, mais on peut faire une petite extension.[/PM]

Je n'ai pas vu ce sujet abordé jusqu'à présent (l'aurais-je raté ?) ou alors faites-vous référence à un texte que je n'ai pas lu ?

[Dlzlogic]

Bonjour,
Comme promis, j'ai contacté Nicolas Thiéry.
Mon message :

[...]> En réalité, le problème ne se situe pas sur ce plan là. Cet article concerne
> les systèmes linéaires énormes qui ne comportent que très peu de termes non
> nuls. Le contexte est très différent du contexte classique où les systèmes
> sont constitués de quelques dizaines d'équations où au contraire, très peu
> de termes sont nuls.
>
> Les deux situations sont complètement différentes, il est parfaitement
> logique que les outils et méthodes soient aussi complètement différents. Ce
> qui est applicable à un cas peut être tout à fait désastreux dans un autre
> cas.

Sa réponse :

Exact.

[Dlzlogic]

Bonjour Paraboloide-hyperbilique,
Nous sommes tout à fait d'accord à propos des systèmes "énormes".
Concernant la résolution d'un système du second degré, je ne crois pas en avoir parlé sur ce forum plus que "en aparté".
C'est un problème théorique intéressant. Je l'ai mis au point à l'occasion du calcul d'un objet 3D constitué par une suite de 7 triangles équilatéraux refermés, façon ruban de Moebius. Photos et doc à votre disposition.
Le problème posé est donc le suivant : un système de N équations à N inconnues de la forme générale suivante
a1x² + b1x + c1y² + d1y + e1xy + f1z² + ... = r1
etc.
(interdit de chercher sur le NET)

[invitebd98b571]

@ Pr_Rou,
Pour mémoire, la méthode du pivot de Gauss s'applique à un système d'équation et non pas à un tableau de chiffres qui pourrait représenter éventuellement la matrice d'une application linéaire, si tu le dis.

Comme quoi, le calcul matriciel t'est inconnu... ce qui explique la qualité de tes affirmations.
Dommage que tu ne fasses pas le moindre effort, tu apprendrais .

[invitebd98b571]

Comme promis, j'ai contacté Nicolas Thiéry.

C'est bien.
Et tu en retiens quoi ? "que la méthode du pivot de Gauss est très efficace pour des matrices creuses" ?

[Dlzlogic]

Partie de ma question que je n'ai pas citée :

> Il me semble au contraire que le principe du pivot de Gauss consiste
> justement à rajouter des zéros au fur et à mesure.

Réponse

Oui, elle consiste à rajouter des zéros systématiquement sous la
diagonale. Mais ce faisant on peut être amené à ajouter *beaucoup* de
non-zéros au dessus de la diagonale, transformant une matrice qui
était très creuse à l'origine en matrice très dense au dessus de la
diagonale.

Essayons d'être positifs.
La question évoquée était "Résoudre un système linéaire" ==> "Faire (faire) le calcul Y = aX". Bonne méthode ou pas ?
Le contexte est les système que j'appelle "ordinaires", c'est à dire de quelques dizaines d'équation et très peu de zéros.
Le systèmes énormes avec matrice creuse constitue un cas à part, nécessitant des traitements particuliers, réservés à ceux qui en ont besoin. En l'occurrence, ce n'est même pas un contre-exemple, c'est un autre problème.
On est donc dans le cas 2), mais dans le cas où on n'est pas dans le cas de système énorme.
Donc, puisqu'on n'est pas dans ce cas de système énorme qui ne peut être traité que par une technique particulière, quelle méthode va-t-on employer ?
Je peux poser la question autrement : la technique X = aY généralement employée est-elle justifiée ? Si oui, pourquoi ?

[invitebd98b571]

Partie de ma question que je n'ai pas citée :

Il me semble au contraire que le principe du pivot de Gauss consiste
justement à rajouter des zéros au fur et à mesure.

Réponse

Oui, elle consiste à rajouter des zéros systématiquement sous la
diagonale. Mais ce faisant on peut être amené à ajouter *beaucoup* de
non-zéros au dessus de la diagonale, transformant une matrice qui
était très creuse à l'origine en matrice très dense au dessus de la
diagonale.

Voilà, c'est en accord avec les diverses explications et exemples donnés ci-dessus.
Dans la (petite) matrice creuse que je t'ai donnée, la méthode classique du pivot augmente la densité de la matrice au dessus de la diagonale : 14% de non-zéros dans la matrice initiale, et seulement 49% de non-zéros au-dessus de la diagonale en fin de calcul.

Le systèmes énormes avec matrice creuse constitue un cas à part, nécessitant des traitements particuliers, réservés à ceux qui en ont besoin. En l'occurrence, ce n'est même pas un contre-exemple, c'est un autre problème.

Je suis d'accord avec cela.
Remarque que c'est en opposition totale avec de ton affirmation initiale (message #1): << la méthode du pivot de Gauss est très efficace pour des matrices creuses >>
(affirmation que tu as avancée sans aucune étude de complexité, etc. Uniquement sur le constat avec un ou deux exemples ... )

On est donc dans le cas 2), mais dans le cas où on n'est pas dans le cas de système énorme.
Donc, puisqu'on n'est pas dans ce cas de système énorme qui ne peut être traité que par une technique particulière, quelle méthode va-t-on employer ?

Plus les systèmes sont de petites tailles, moins les défauts des méthodes se font sentir. La puissance des ordis fait que tout algorithme fonctionne, même les plus "bourrins" (comme ceux utilisant les formules de Cramer par exemple).

[invite2800a7c8]

Salut,

J'ai pas tous lu, un cas typique de matrice creuse est celui de la matrice compagnon d'un polynôme caractéristique.
Par exemple une ED d'ordre n. ça donne une matrice avec la super diagonale à un et la dernière ligne avec les coéf. pris à l'envers et de signe inversé. Donc un machin avec plein de zéros.
Ici il est souvent plus simple de passer par un Algorithme de Bairstow et chercher les zéros du Polynome caractéristique. En prime on traite le cas des zéros complexes conjugués.
C'est moins délicat que la factorisation LU.
Regarde les travaux de Théodor, c'est pas mal fait.

Cordialement
Ludwig

[Dlzlogic]

Bonsoir Pr_Rou,
J'avoue que j'ai un peu de mal à comprendre tes réactions et tes réponses.
D'abord, le sujet évoqué est la résolution de systèmes linéaires "ordinaires" c'est à dire à l'exclusion de systèmes particuliers, c'est à dire énormes et qui comportent un grand nombre de zéros.
Pour ces systèmes, il existe des méthode de résolution dont les résultats sont non-exacts, c'est à dire que ce n'est pas le sujet.

Pour simplifier, la question posée est : est-il préférable d'utiliser une méthode du type X=aY, c'est à dire qu'on confie à la machine un calcul non direct, qui font appel à des fonctions systématiques ou faut-il mieux créer une fonction qui résout le système linéaire.
Apparemment la meilleure méthode pour la dernière solution consiste à utiliser la méthode du pivot de Gauss, puisqu'elle optimise le calcul.
Il est bien évident que la dernière étape sera de calculer les inconnues les une après les autres, lorsqu'on sera arrivé à un système de paramètres triangulaire. Sauf facteurs multiplicatifs, il n'existe qu'un seul tel système triangulaire.
Ce que j'ai dit est que la méthode du pivot est intéressante lorsqu'il y a des zéros, puisque une grande partie des opérations est une multiplication.
Il y a un point dont on n'a pas parlé et cela m'étonne de ta part, il s'agit de la précision des calculs. On sait qu'en informatique, on ne peut pas soustraire impunément des nombres sans perte de précision si on ne prend pas des précautions. C'est justement la puissance de la méthode du pivot de Gauss, et c'est pour cette raison qu'elle est enseignée et utilisée en informatique.
Tu te focalises sur les systèmes énormes avec beaucoup de zéros. J'ai du mal à comprendre si c'est pour te retrancher derrière des choses vraies même si cela n'a rien à voir ou si c'est parce que tu n'as pas compris de quoi il s'agissait. Par exemple, si tu connais un logiciel qui utilise la méthode de Cramer pour résoudre un système, je te serais reconnaissant de le citer.

[invitebd98b571]

Pour simplifier, la question posée est : est-il préférable d'utiliser une méthode du type X=aY, c'est à dire qu'on confie à la machine un calcul non direct, qui font appel à des fonctions systématiques ou faut-il mieux créer une fonction qui résout le système linéaire.
Apparemment la meilleure méthode pour la dernière solution consiste à utiliser la méthode du pivot de Gauss, puisqu'elle optimise le calcul.

Tu dis << La meilleure méthode ... >> : as-tu une preuve de cette affirmation ?

Si la méthode du pivot était la meilleure, comment expliques-tu que des chercheurs en aient inventé d'autres ?

Il y a un point dont on n'a pas parlé et cela m'étonne de ta part, il s'agit de la précision des calculs.

bah c'est pas étonnant que je n'en parle pas : c'est pas le sujet !!!

C'est justement la puissance de la méthode du pivot de Gauss, et c'est pour cette raison qu'elle est enseignée et utilisée en informatique.

A mon avis, elle est enseignée en informatique (et en math ! ) pour d'autres raisons.

Tu te focalises sur les systèmes énormes avec beaucoup de zéros. J'ai du mal à comprendre si c'est pour te retrancher derrière des choses vraies même si cela n'a rien à voir ou si c'est parce que tu n'as pas compris de quoi il s'agissait.

Pardon, mais c'est toi qui, dès le premier message, parle de matrices creuses : relis-toi !!!

[Dlzlogic]

Bonjour PrR,

Si la méthode du pivot était la meilleure, comment expliques-tu que des chercheurs en aient inventé d'autres ?

Tu m'as déjà répondu cela une fois, je t'ai demandé un exemple, pas de réponse, cela a clos la discussion.
Il est vrai que j'ai employé de terme de "matrice creuse". J'avoue que j'ignorais que cela faisait référence à une situation complètement différente de celle dont il était question. Comme l'a bien précisé Nicolas Thiery, les systèmes de petite taille dont on attend une solution exacte et les systèmes énormes dont très peu de paramètres sont non nuls constituent des conditions tout à fait différentes et sont à traiter de façon différentes.
Bon, si tu veux bien, restons-en à la comparaison "pivot de Gauss" vs "traitement matriciel". Pour mémoire, S. m'a donné un argument "Si on doit modifier le membre de droite, les calculs sont déjà faits, donc, ça va plus vite". J'aimerais bien ton avis sur cet argument.

[invitebd98b571]

Tu m'as déjà répondu cela une fois, je t'ai demandé un exemple, pas de réponse, cela a clos la discussion.

tu ne comprends pas les réponses... je n'y peu rien, désolé.

J'avoue que j'ignorais (...)

Oui, tu ignores beaucoup de choses en calcul matriciel, on le voit à plusieurs reprises dans depuis le début de cette discussion. Du coup, les affirmations sans preuves, sont à éviter.

Pour mémoire, S. m'a donné un argument "Si on doit modifier le membre de droite, les calculs sont déjà faits, donc, ça va plus vite". J'aimerais bien ton avis sur cet argument.

je ne connais pas le bout de texte que tu présentes, et dans le contexte dans lequel il est écrit :
"Si on doit modifier le membre de droite, les calculs sont déjà faits, donc, ça va plus vite".
Le membre droit de quoi ? Les calculs de quoi ? ça va plus vite que quoi ? c'est un argument justifier pour quoi ?

[Dlzlogic]

Bonjour PrR,
Toujours pas très positif, à ce que je vois.
Concernant les matrices et le calcul matriciel. Le cours théorique que j'en ai eu il y a 50 est un peu loin. J'ai juste retenu deux ou trois choses, par exemple "une matrice est une représentation sous forme de tableau (n lignes et m colonnes) d'une application linéaire"'. Maintenant on peut lire comme définition d'un tableau : "une matrice de dimension quelconque". Ca a l'air idiot, mais je l'ai lu.
On peut calculer le déterminant d'un matrice carrée, mais ça n'a rien à voir avec le déterminant d'un système d'équations linéaires.
D'ailleurs, dans des documents d'un mathématicien compétent, Jean Jacquelin, il y a beaucoup de systèmes linéaires et, peut-être pour faire plaisir à certains, il rajoute une écriture "sous forme matricielle".
Donc, étant donné mon cursus, j'ai compris et je sais qu'une matrice est un outil mathématique puissant, mais il ne me parait pas utile de rajouter cette couche lorsqu'on veut trouver la solution numérique d'un système linéaire. Et c'est ce dont il s'agit ici.

Oui, tu as complètement raison, sauf des bribes de souvenirs, le calcul matriciel m'est inconnu. On est dans un sous-forum informatique, je ne vois pas où se situe le problème, sauf par exemple si tu appelles matrice un raster ou si tu appelles matrice une liste de points XYZ.

[Dlzlogic]

Concernant cette nuance entre une matrice, représentation d'une application linéaire, et un système linéaire, soit le problème suivant :
En 3D on se propose de décrire la transformation qui permet de passer d'une figure F à une figure F', égale, c'est à dire isométrique et de même sens.
Il s'agit d'une application linéaire dans un espace à 3 dimensions.
Comment la formuler et comment l'appliquer ? C'est d'ailleurs une question assez récurrente, elle a été évoquée dernièrement en deux dimensions.

[invitebd98b571]

On peut calculer le déterminant d'un matrice carrée, mais ça n'a rien à voir avec le déterminant d'un système d'équations linéaires.

ah. Tu peux donner un exemple de déterminant d'une matrice et de déterminant d'un système linéaire s'il te plait ?

D'ailleurs, dans des documents d'un mathématicien compétent, Jean Jacquelin, il y a beaucoup de systèmes linéaires et, peut-être pour faire plaisir à certains, il rajoute une écriture "sous forme matricielle".

Je ne pense pas que c'est pour faire plaisir, mais parce que cela peut avoir une utilité.

[Dlzlogic]

ah. Tu peux donner un exemple de déterminant d'une matrice et de déterminant d'un système linéaire s'il te plait ?

Ben, je suppose que la raison est que les paramètres de la partie à gauche du signe '=' ont forcément le même nombre de lignes et de colonnes, alors que pour une matrice, c'est un cas particulier et une condition nécessaire. Mais tu sais bien que le calcul matriciel est très loin pour moi.
On s'éloigne du sujet, la question posée est pourquoi "résolution de système linéaire" ==> "solution produit de matrice" ? Ceci dans un contexte de calcul informatique. Au tableau noir ou papier/crayon, ça ne me pose pas de problème.
Je me place exclusivement sur le plan du calcul numérique, d'ailleurs qu'il soit manuel ou réalisé par une machine, puisque les préoccupations, précision et rapidité, sont les mêmes.

[JPL]

D'ailleurs, dans des documents d'un mathématicien compétent, Jean Jacquelin

Ah ?

[Dlzlogic]

Ah ?

Cette réponse sous-entendrait que JJ ne serait pas compétent ?

[invitebd98b571]

Mais tu sais bien que le calcul matriciel est très loin pour moi.

On peut calculer le déterminant d'un matrice carrée, mais ça n'a rien à voir avec le déterminant d'un système d'équations linéaires.

justement, encore une fois, tu as affirmé un truc incorrect : en fait, il n'y a pas de différence entre le déterminant d'un système linéaire carré AX=B et le déterminant de la matrice carrée A sous-jacente à ce système linéaire...

[JPL]

Cette réponse sous-entendrait que JJ ne serait pas compétent ?

Cela sous-entend qu'une rapide recherche ne m'a pas permis de trouver de référence à part sa participation sur les forums de FS où un bug l'a malencontreusement transformé en invite06622527. Donc si tu as d'autres références je suis preneur.

[Dlzlogic]

Voilà l"un de ses papiers.

https://fr.scribd.com/document/14819...-spheriqueoila
Il est dans la liste des mes adresses préférées. Je l'ai beaucoup consulté. Il y a d'autres papiers, tous aussi rigoureux et précis. Je sais, il a un gros défaut pour certains, il connait très bien la théorie des probabilités. Bien-sûr, je parle de celle de Gauss, Bernoulli et Cie, celle qu'on utilise depuis deux siècles, celle dont parle Lévy dans son cours et dont parlent d''autres, encore vivants, et que j'ai cités.

[JPL]

Merci.










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