équation de la RG "pour les nuls"

[Ignatius84]

Hello à tous,





je profite d'une autre conversation du fofo (partie sur un tatouage ) pour ouvrir "mon" post sur l'équation qui me fascine et m'a fait commencer à ouvrir des bouquins de physique, on dira ça comme ça. La belle d'Einstein donc. Alors comme je suis un béotien de la physique, j'ai d'abord eu une approche esthétique de cette équation. Bref, je profiterai de ce fil pour en parler pour éviter de flooder notre forumeur futur tatoué.

Vu mon nival en physique, la formule de Wheeler me va bien ("l'espace-temps dit à la matière comment avancer et la matière dit à l'espace-temps comment se courber"). Pendant encore au moins un an je vais devoir m'arrêter là. Ceci dit, Yves95210 a apporté cette contribution tiers:

"on connaît mal les conditions les plus générales qui font qu'un tenseur d'énergie impulsion ait une signification physique. Einstein a un jour écrit que son équation est comme un palais à deux ailes, le membre de gauche et de droite. A gauche, une aile magnifique d'une architecture majestueuse, réalisée dans le meilleur marbre. A droite une aile mal fichue en mauvais bois et mal conçue. "

En fait, j'en viens à ma première question. L'obsession d'Einstein et des physiciens est donc d'unifier les 4 interactions. Plusieurs raisons me font douter du bien-fondé de cette entreprise, l'une est quantique et donc pour l'instant on ne l'abordera pas (pour faire simple je pense que le réalisme d'Einstein est juste mort et enterré depuis les inégalités de Bell), l'autre est purement... simple on va dire :

Quelle est cette idée d'unir l'électromagnétisme (par exemple) la gravitation ? je prends l'EM au pif hein, mais je ne vois pas le rapport et pour appuyer cette "idée" : l'équation de la RG montre un tenseur "d'espace-temps*" et un tenseur d'énergie. Bon, que viendrait faire l'EM dans cette galère, que viendraient faire les forces nucléaires là-dedans ?? on va pas les compter deux fois quand même, elles sont déjà dans le tenseur énergie-impulsion de droite, non ? sinon il est incomplet et ne montre pas "à l'espace-temps comment (suffisamment) se courber ?!

C'est pas une drôle d'idée de vouloir unifier une théorie qui fonctionne en dernière approximation (on sera d'accord là-dessus je pense, si on excepte les singularités**) avec d'autres théories qui décrivent le fonctionnement d'une quantité d'énergie déjà stipulée dans l'équation de la gravitation ? Et Si la gravitation n'est pas une "force" pourquoi l'unifier à de "vraies" forces ? c'est pas la multiplication des choux par des navets ?

Bon, on va arrêter là pour l'instant.

Merci !
*arrêtez-moi si je schématise trop ou mal !
** je vais me faire taper ici...
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[mach3]

A priori, tout (matière et champs) est dans le tenseur T, mais il me semble qu'il s'agit de la version classique, pas quantique. Si c'était quantique, on aurait une superposition de valeurs possibles pour T, et donc autant pour la courbure. A vérifier.

m@ch3

[Ignatius84]

A priori, tout (matière et champs) est dans le tenseur T, mais il me semble qu'il s'agit de la version classique, pas quantique. Si c'était quantique, on aurait une superposition de valeurs possibles pour T, et donc autant pour la courbure. A vérifier.

m@ch3

Ah bin ça, jamais entendu parler de la RG quantique ! la quantification de la gravitation, oui (bien sûr), mais je ne savais pas qu'on avait fait une variante quantique de cette équation. Merci de l'info, c'est un bon début (va falloir que j'intègre ça déjà) !

[Ignatius84]

Je lisais un excellent article du Cnrs de vulgarisation "de très bon niveau" sur la RG (un petit cours en fait) et je tombe sur ça au début :


" La courbure de l’espace-temps influe sur la matière et l’énergie. C’est la source de la gravitation qui règle le mouvement des corps célestes dans l’univers (y compris s’ils sont pure énergie comme la lumière).
La masse et l’énergie sont la principale source de la courbure de l’espace-temps. Un univers vide de matière, d’énergie et d’ondes gravitationnelles serait en conséquence plat, comme dans le cadre formel de la relativité restreinte."

Bon, je suis partagé sur la seconde partie. Alors, oui, un tenseur de Riemann est plat "au repos", intrinsèquement, c'est le principe si j'ai bien compris. Mais... Je me rappelle très bien de théories sur la forme de l'Univers et le cas de la "selle de cheval" où le contenu en matière-énergie est trop faible par rapport au volume considéré et on a une métrique qui s'affole à la négative, donnant un Univers ouvert, par opposition à l'Univers dont la valeur oméga dépasse le seuil critique en valeur positive et donne un Univers sphérique et fermé.

Je ne pige pas comment concilier ces deux visions du même tenseur ? Où me suis-je mélangé les pinceaux ? Ou alors c'est que le tenseur de Riemann est toujours intrinsèquement plat ? naaaan, c'est pas ça quand même...

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Un univers vide de matière, d’énergie et d’ondes gravitationnelles serait en conséquence plat, comme dans le cadre formel de la relativité restreinte....[/SIZE]

Plus directement, un espace vide correspond à un tenseur énergie impulsion nul. Sans constante cosmologique, celà donne un tenseur de Ricci nul, ce qui ne signifie pas nécessairement un tenseur de Riemann nul. On a plusieurs catégories de possibilités. pour n'en citer que trois : métrique de Minkowski (espace "plat" de la RR), métrique de Schwarzschild, métrique de Kerr, etc.., qui ne sont certainement pas "plats"

[Deedee81]

Salut,

On peut même avoir une solution de ce type avec pleins d'ondes gravitationnelles.

[Ignatius84]

Mais oui bien entendu il y a les deux tenseurs ! ah ces newbies ! bien vu. Et en effet Deedee on présente l'Univers vide de Sitter avec des OG, bien vu aussi (alors perso d'ailleurs je ne vois pas du tout pourquoi il doit y avoir des OG vu qu'il n'y a nulle matière... Le Big Bang du coup ? y reste plus que lui et ses og sont entravées par rien ?)

[yves95210]

Et en effet Deedee on présente l'Univers vide de Sitter avec des OG, bien vu aussi (alors perso d'ailleurs je ne vois pas du tout pourquoi il doit y avoir des OG vu qu'il n'y a nulle matière... Le Big Bang du coup ? y reste plus que lui et ses og sont entravées par rien ?)

Ben on peut toujours inventer des solutions particulières des équations de la RG, basées sur des conditions qui n'ont rien de physique. Et tu peux très bien imaginer un espace-temps localement vide de matière mais parcouru par des OG issues d'un évènement très lointain dans l'espace et dans le temps.

Pour obtenir une solution unique correspondant, même de manière simplifiée, à la "réalité physique" dans une région de l'espace-temps, il faut non seulement fixer le contenu local en matière/énergie de l'espace-temps (par exemple le vide pour Schwarzschild), mais aussi les conditions aux limites (dans le même exemple, une masse centrale - sinon tu retrouves bêtement l'espace-temps de Minkowski).

[Ignatius84]

Ben on peut toujours inventer des solutions particulières des équations de la RG, basées sur des conditions qui n'ont rien de physique. Et tu peux très bien imaginer un espace-temps localement vide de matière mais parcouru par des OG issues d'un évènement très lointain dans l'espace et dans le temps.

Pour obtenir une solution unique correspondant, même de manière simplifiée, à la "réalité physique" dans une région de l'espace-temps, il faut non seulement fixer le contenu local en matière/énergie de l'espace-temps (par exemple le vide pour Schwarzschild), mais aussi les conditions aux limites (dans le même exemple, une masse centrale - sinon tu retrouves bêtement l'espace-temps de Minkowski).

pu**** j'adore qu'on m'explique ça. Merci

[Deedee81]

Salut,

Ce qui est remarquable c'est qu'au final la solution est unique.
Le tenseur de Ricci a 10 composantes indépendantes. L'équation d'Einstein permet d'avoir leurs valeurs. Le tenseur de Riemann-Christoffel c'est 20 composantes indépendantes. Mais choisir des conditions aux limites suffit à fixer les 10 autres valeurs. Ce sont des équations différentielles dites hyperboliques, généralement les plus gentilles Voir https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...s_hyperbolique et en particulier https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89..._une_dimension et https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_de_Cauchy
On définit généralement les valeurs aux limites sur une surface de Cauchy : https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_surface

Bref ce sont des gentilles équations (mais ça peut quand même être ardu à résoudre).

[Ignatius84]

Voui voui, les Christophel, je suis souvent tombé dessus alors j'ai fini par aller voir de quoi il en retournait il y a 15 jours. J'ai eu un spasme. Je rouvrirai ça dans 1 an si les fées se penchent bien...

[jacknicklaus]

Voui voui, les Christophel, je suis souvent tombé dessus alors j'ai fini par aller voir de quoi il en retournait il y a 15 jours. J'ai eu un spasme.

pas de quoi vraiment, c'est hyper simple.

Il suffit de voir la notion de dérivée covariante, c'est à dire un genre de dérivée qui se fait dans la direction d'un vecteur.
En toute généralité, la dérivée covariante du vecteur de base ei, prise dans la direction du vecteur de base ej, est un vecteur qui peut se décomposer sur l'ensemble des vecteurs de base ek.
Comme la décomposition varie selon i,j,k, la dérivée covariante s'exprime comme combinaison linéaire = somme sur k des A(i,j,k) ek.
Tout simplement les coefs A(i,j,k) sont les Christoffels.

Ils expriment comment les vecteurs de base de la variété se déforment lors de déplacements élémentaires dans une direction donnée. Imagine un repère avec des vecteurs de base, matérialisé localement sur un bateau en plein océan, et comment ce repère tourne quand le bateau se déplace. Les Christoffels encodent ces déformations.

[Ignatius84]

pas de quoi vraiment, c'est hyper simple.

Il suffit de voir la notion de dérivée covariante, c'est à dire un genre de dérivée qui se fait dans la direction d'un vecteur.
En toute généralité, la dérivée covariante du vecteur de base ei, prise dans la direction du vecteur de base ej, est un vecteur qui peut se décomposer sur l'ensemble des vecteurs de base ek.
Comme la décomposition varie selon i,j,k, la dérivée covariante s'exprime comme combinaison linéaire = somme sur k des A(i,j,k) ek.
Tout simplement les coefs A(i,j,k) sont les Christoffels.

Ils expriment comment les vecteurs de base de la variété se déforment lors de déplacements élémentaires dans une direction donnée. Imagine un repère avec des vecteurs de base, matérialisé localement sur un bateau en plein océan, et comment ce repère tourne quand le bateau se déplace. Les Christoffels encodent ces déformations.

Ooh, génial ! d'habitude je lis tous les "trucs" qui découlent de ce que je rencontre, puis là, non j'ai pas creusé. En effet ça n'a pas l'air extraordinaire à cerner. Bon là je dors à moitié, mais merci de cette approche