Imager un tenseur

[Merlin95]

## Question posée sur un autre fil en discussions libres et qui mérite son propre fil :

Ce n'est pas possible "d'imager" en dimension 3, ce qu'est un tenseur ? Ou autre.
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[Deedee81]

Salut,

Ce n'est pas possible "d'imager" en dimension 3, ce qu'est un tenseur ? Ou autre.

Comme on le fait avec les vecteurs (représentés comme des flèches) ?

C'est pas facile. La seule image que je puisse voir c'est avec le tenseur de contraintes :
https://www.researchgate.net/figure/...ig20_281328027

[Archi3]

Oui on pourrait le visualiser comme un cube déformé, en déplaçant chaque face perpendiculaire au vecteur e_i d'un vecteur de composante Aij
Pour un tenseur antisymétrique qui n'a que 3 composantes libres, on peut lui associer un pseudo-vecteur dual tel que la contraction avec un vecteur quelconque soit donné par le produit vectoriel avec ce pseudo vecteur (c'est ce qu'on fait avec les vecteurs rotation, champ magnétique, couple etc ...)

[ordage]

## Question posée sur un autre fil en discussions libres et qui mérite son propre fil :

Ce n'est pas possible "d'imager" en dimension 3, ce qu'est un tenseur ? Ou autre.

Bonjour
J'ai trouvé

cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Les tenseurs antisymétriques "contravariants", ou k-vecteurs, sont faciles à représenter car ce sont des parallélogrammes (2-vecteur, rang 2), des parallélépipèdes (3-vecteur, rang 3) et d'une manière générale des "parallélotope" (généralisation du parallélépipède pour n dimensions), c'est à dire des surfaces, des volumes, etc, orientés. La page wikipédia anglophone du produit extérieur montre un schéma assez parlant : https://en.wikipedia.org/wiki/Exteri...r_positive.svg

Pour imager graphiquement les formes linéaires, on généralise l'idée des graduations sur une règle. Une forme linéaire, si on considère un espace 3D, est une série de plan parallèles gradués, et le résultat de l'application d'une forme linéaire sur un vecteur est simplement le nombre de plan que le vecteur coupe. Un exemple est donné dans la page wikipédia anglophone des formes linéaires : https://en.wikipedia.org/wiki/One-fo...functional.svg

Exemple en 2D, si je fais un graphique avec x en abscisse et y en ordonnée, et que j'y fais figurer un quadrillage, la forme dx, c'est l'ensemble des droites verticales du quadrillage et la forme dy, c'est l'ensemble des droites horizontales du quadrillage. Si j'ai un vecteur v qui va de l'abscisse x=3 à l'abscisse x=4.5, l'application de dx sur v donnera 4.5-3=1.5, on comptera 1.5 lignes verticales entre la queue de v et sa pointe. Si en plus il va de l'ordonnée y=-2 à l'ordonnée y=1, l'application de dy sur v donnera 3, on comptera 3 lignes verticales entre la queue de v et sa pointe.

Ceci peut se généraliser pour représenter graphiquement certains tenseurs particuliers, les tenseurs antisymétriques covariants qu'on appelle "k-forme" : par exemple, en 2D les 2-formes sont un quadrillage et en 3D ce sont des "tubes carrés" empilés, et en 3D les 3 formes sont un empilement de cubes, tels une maille cristalline. Il y a un schéma sur la page wikipédia anglophone du produit extérieur qui l'illustre bien : https://en.wikipedia.org/wiki/Exteri...ile:N-form.svg
L'application d'une k-forme sur un k-vecteur donne simplement le nombre de "tubes" ou de cubes, etc, de la k-forme qui sont intersectés par la surface, ou le volume, etc du k-vecteur.
Exemple en 2D, le quadrillage d'un papier quadrillé est une 2-forme et si je dessine un parallèlogramme sur ce papier, c'est à dire un 2-vecteur, le nombre de carreau de papier quadrillé dans le parallélogramme sera l'application de la 2-forme sur le 2-vecteur (note : on ignore ici l'aspect "orienté" pour simplifier).

Pour les autres tenseurs (non antisymétriques), c'est généralement plus compliqué. Les tenseurs symétriques covariant de rang 2 (comme le tenseur métrique) sont cependant simples à représenter : on utilise pour cela l'indicatrice Tissot : https://en.wikipedia.org/wiki/Tissot%27s_indicatrix , qui indique l'ensemble des vecteurs de carré scalaires égaux, et indique aussi l'orthogonalité via la notion de diamètres conjugués ( https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_diameters ). Il y a des généralisations et des variantes, comme le cône de lumière en relativité.

m@ch3

[Gilgamesh]

Sinon y'a cette vidéo in english pour expliquer visuellement le concept de tenseur : https://www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw

[Merlin95]

@mach3, c'est comme si ca pouvait s'appliquer et surtout caractériser "géométriquement" un champ de vecteurs ?

Et j'ai aussi compris qu'un tenseur permet de donner localement la forme géométrique adaptée pour faire un "remplissage" inchangé par changement d'échelle ?

Je dis p-être des bêtises mais, c'est surtout pour donner et avoir des retours.

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[Merlin95]

@mach3, c'est comme si ca pouvait s'appliquer et surtout caractériser "géométriquement" un champ de vecteurs ?

Je ne sais pas comment, ou pourquoi je t'ai répondu cela, car c'est ce que je viens tout juste de comprendre à l'instant, grâce à la vidéo ci-dessous.

Je ne sais pas si j'ai formulé dans mon premier message, la question telle que je me la pose aujourd'hui.
En réalité, c'est l'analogie avec les matrices qui m'avaient plongée dans le flou artistique.

https://youtu.be/zPRbbM4KJBY

Cependant, j'aimerais quand même en savoir plus sur le lien entre les propriétés linéaires de la transformation T, et le fait que le tenseur « parle » d'une relation géométrique des vecteurs en paramètre de T.

[mach3]

C'est vraiment une bonne vidéo, qui appuie bien sur l'aspect géométrique du tenseur. Je n'aime pas tout ce qu'il fait, mais pour le coup science-clic met dans le mille.

m@ch3