L'expansion : retour à la base

[pachacamac]

Bonjour,

En y réfléchissant, je me suis rendu compte que sur le pourquoi et le comment de l'expansion de notre univers, je savais quasi rien.

En ne tenant pas compte de l'energie noire, soit un modèle standard CDM sans constante cosmologique :

- Qu'est ce qui, physiquement, est la cause de cette expansion ?
- Où c'est écrit dans les équations d'Einstein et/ou dans celles de Friedmann ? (formules en Latex bienvenues )

- qui à montré la première fois que les équations d'Einstein ne pouvaient mener à des solutions statiques ?

Merci et bonne journée à toutes et à tous.
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[Deedee81]

Salut,

- Qu'est ce qui, physiquement, est la cause de cette expansion ?

Il y a deux aspects :

1) Le fait que ce n'est pas statique. La gravité toujours attractive implique que l'univers est forcément instable. En fait au moins en gravité newtonienne c'est évident (suffit d'imaginer une situation statique puis une petite fluctuation dans la position d'une des masses, Newton l'avait constaté et croyant à un univers éternel, infini et statique justifiait l'ajustement fin de la position des étoiles par.... le doigt de Dieu ). C'est forcément plus délicat comme raisonnement en RG mais c'est le même principe.

Donc au moins pour une région donnée, c'est forcément en expansion ou contraction. et ensuite c'est comme un caillou jeté en l'air qui monte ou qui tombe, une fois que ça démarre, ça continue.

Ce n'est évidemment pas "visible" dans l'équation d'Einstein ou dans la métrique, y pas un terme ou un facteur "stabilité"

EDIT ah si, il "suffit" de montrer que l'équation d'Einstein n'a pas de solution statique sans constante cosmologique, mais je ne connais pas la démonstration.

2) Le caractère homogène et le caractère "flèche du temps" de l'expansion. Ca, c'est lié à des considérations sur l'origine ou une théorie de tout... et donc autant dire qu'on n'en sait rien.

- qui à montré la première fois que les équations d'Einstein ne pouvaient mener à des solutions statiques ?

Lemaître mais je n'ai pas les références (peut-être d'autres).

[Gilgamesh]

Bonjour,

En y réfléchissant, je me suis rendu compte que sur le pourquoi et le comment de l'expansion de notre univers, je savais quasi rien.

En ne tenant pas compte de l'energie noire, soit un modèle standard CDM sans constante cosmologique :

- Qu'est ce qui, physiquement, est la cause de cette expansion ?
- Où c'est écrit dans les équations d'Einstein et/ou dans celles de Friedmann ? (formules en Latex bienvenues )

- qui à montré la première fois que les équations d'Einstein ne pouvaient mener à des solutions statiques ?

Merci et bonne journée à toutes et à tous.

Comme indiqué par DD, qu'un univers gouverné par la gravité soit instable c'est tout autant vrai en gravité newtonienne. Si on modélisait dans ce cadre l'univers comme un gaz d'étoile, comme c'était le cas du temps de Newton et jusqu'à la découverte de la multiplicité des galaxies, il ne pourrait pas rester statique. Newton dans une lettre (*) exprime l'idée que si on prolongeait le gaz à l'infini, ça annulerait le potentiel de gravité partout. Mais il a tort. Le potentiel d'un milieu homogène de densité ρ ou potentiel de Poisson est donné par ΔU = -4πGρ. L'évolution spontanée du système tend à diminuer ce potentiel, ρ augmente partout, donc l'univers se contracte partout uniformément ce qui redonne exactement la loi de Lemaître-Hubble v=Hd avec H<0. Quand Einstein élabore sa théorie de la gravité, il utilise comme point de concordance ce potentiel de Poisson pour racorder les wagons entre sa théorie et la théorie de Newton. Et donc, quand il veut calculer la stabilité de l'univers avec sa théorie, même Poisson, même punition.

Bon, pour obtenir un univers en contraction ça semble facile, mais en expansion ? Si on part d'un univers statique au départ ça parait a priori impossible. Dans la théorie du Big Bang qui n'inclue que la relativité générale comme ingrédient, l'expansion fait partie des conditions initiales. Elle n'est pas prédite par la théorie. Les deux équations de Friedmann ne permettent que de partir d'un point et de calculer ce qui se passe avant ou après.

Et il faut signaler un aspect assez piégeux de la première équation qui s'écrit de manière très simplifiée : H² ~ ρ. Ça donne l'impression que l'augmentation de la densité serait la cause de l'augmentation du taux d'expansion. Alors que non, c'est l'inverse. La masse, évidemment, joue le rôle de force de rappel qui freine l'expansion. Simplement pour obtenir une valeur de H telle que celle observée aujourd'hui il faut qu'elle ait été plus élevée dans le passé, alors que l'univers était plus dense.

Mais alors, comment l'expansion a pu se "mettre en marche" pour donner le Big Bang ? La théorie du Big Bang est complètement muette là dessus. Mais... On peut se souvenir comment Einstein avait tenté de se tirer d'affaire : en introduisant la constante cosmologique Λ. Or, qu'est ce que Λ ? C'est une forme de gravité répulsive. Et c'est sur ce point précis que sa théorie de la gravité diffère de celle de Newton. Chez Newton, la force de gravité est directement et uniquement lié à la masse F ~ M. La seule façon de la rendre répulsive serait d'avoir des masses négatives et il ne semble pas jusqu'à maintenant que ce concept soit physiquement licite. Chez Einstein, la gravité dépend d'un tenseur impulsion-énergie T_µv qui contient à la fois la masse et la pression. C'est visible dans la deuxième équation de Friedmann où la dérivée de H est proportionnelle à (ρ + 3P). Bon, mais ceci dit, dans le cadre d'une physique classique (dans laquelle s'inscrit la théorie d'Einstein), toutes les composantes de l'univers (matière et rayonnement) exhibent des densités et des pressions positives ou nulles. Mais ! La constante cosmo d'Einstein, qui ne romp pas la cohérence de sa théorie peut être vue comme un nouveau fluide qui remplit l'univers, de densité d'énergie positive mais de pression négative. Einstein n'explicite aucunement la nature physique de ce terme. Mais il est concevable, et avec lui, celui d'une gravité négative.

Pour la suite de l'histoire il faut changer de monture et aller faire un tour du côté de la théorie quantique des champs (TQC), qui nait quelques années après. Dans ce cadre, le niveau d'énergie du vide quantique n'a aucune raison d'être nul, et ça se traduit par une pression négative. C'est Lambda faite champs. La valeur prédite n'est pas la bonne, elle est beaucoup trop élevée. C'est gênant pour expliquer l'univers d'aujourd'hui, mais ça rend aussi très plausible à mon sens (j'exprime là une opinion personnelle) une très grande valeur dans le passé. Un peu de la même façon que l'existence du neutrino rend concevable la matière noire, qui pourrait sembler autrement bien trop exotique.

La théorie de l'inflation n'utilise pas telle quelle l'idée du vide mais elle introduit un nouveau champ, l'inflaton, dont la densité et la pression sont commensurable avec celles prédites par le TQC pour le vide. Et ce champ d'inflaton a exactement le rôle d'une constante cosmologique survitaminée qui nous donne cette fois-ci la cause de l'expansion. Et aussi l'origine de tout ce que contient l'univers, ainsi qu'une explication naturelle de sa platitude, de sa grande homogénéité et de ses petites inhomogénéités à l'origine des grandes structures de l'Univers.



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(*) Lettre de Newton au révérend Dr Richard Bentley, Cambridge, le 10 décembre 1692
...
Quant à votre première question, il me semble que si la matière de notre soleil et de nos planètes, et toute la matière de l'univers, étaient uniformément dispersées dans tous les cieux, et que chaque particule avait une gravité innée envers tout le reste, et la tout l'espace, à travers lequel cette matière était éparpillée, n'était que fini ; la matière à l'extérieur de cet espace tendrait par sa gravité vers toute la matière à l'intérieur, et par conséquent tomberait au milieu de tout l'espace, et y composerait une grande masse sphérique. Mais si la matière était uniformément dispersée dans un espace infini, elle ne se réunirait jamais en une seule masse, mais une partie se réunirait en une masse et une autre en une autre, de manière à former un nombre infini de grandes masses, dispersées à de grandes distances de l'un à l'autre dans tout cet espace infini.
source

[Gilgamesh]

Citation Envoyé par pachacamac
- qui à montré la première fois que les équations d'Einstein ne pouvaient mener à des solutions statiques ?


Lemaître mais je n'ai pas les références (peut-être d'autres).

Non, c'est Alexander Friedman dans son article fondateur de la cosmologie non-statique publié en juin 1922. .

Friedman, A. (1922). « Über die Krümmung des Raumes ». Zeitschrift für Physik 10 (1): 377–386

[A voir en vidéo sur Futura]

[pachacamac]

Merci.

D 'après cet article de Luminet : Georges Lemaître, A homogeneous universe of constant mass and increasing radius accounting for the radial velocity of extra-galactic nebulae il semblerait que Lemaitre, Einstein et probablement Friedmann non vu d'autre moyen pour expliquer l'expansion que de s'appuyer sur la constante cosmologique.

Article bonus : Einstein, Friedmann, Lemaitre Discovery of the Big Bang

[pachacamac]

Je retiens de tout cela que sans constante cosmologique et énergie (quantique ) du vide, on ne peut trouver d'explication à l'expansion.

[Lansberg]

Bonjour,

il semblerait que Lemaitre, Einstein et probablement Friedmann non vu d'autre moyen pour expliquer l'expansion que de s'appuyer sur la constante cosmologique.

Friedmann disparaît trop tôt pour qu'on puisse savoir comment il aurait réagi aux observations de Hubble.
Einstein, quant à lui, élimine la constante cosmologique, ce qui l'opposera à Lemaître par la suite.

[Gilgamesh]

Et ne pas oublier De Sitter dans cette histoire des débuts. L'inflation est décrite par un univers de De Sitter (H = cte) et notre univers, avec la dilution de sa composante (matière + rayonnement) tend à nouveau vers cette solution.

[pachacamac]

En fait le modèle d' univers de Willem de Sitter date de 1917, d'une certaine manière pour l'expansion il a grillé Friedmann.

Source Françoise Combes:

Pendant ce temps là, Willem De Sitter aux Pays-Bas en 1917 développe à partir des équations
d’Einstein où la constante a été rajoutée, un modèle d’Univers en expansion, complètement
vide, sans matière

Aussi en 1933 il écrit un article avec Einstein qui prédit l'existence de la matière sombre (ou noire)

Wikipedia dans ces pages en français et en anglais ne lui rend pas vraiment justice avec une page très sommaire sur sa vie et son oeuvre.

[Lansberg]

Le modèle de de Sitter ne faisait pas sens puisque vide de matière. D'autre part avec l'abandon de la constante cosmologique il ne pouvait plus faire la une. Comme le précise Gilgamesh on revient vers cette solution avec un univers dominé par la constante cosmologique.

[Gilgamesh]

C'est un peu compliqué cette histoire d'univers de De Sitter.

J'ai trouvé ce mémoire de master qui résume ça assez proprement:

Contributions d’Einstein, De Sitter, Friedmann, et Lemaître à la cosmologie de 1917 à 1932
Par Alain Bousselin, sous la direction de Philippe Nabonnand

J'extrait/résume à ma sauce ce qui concerne l'univers à la fois statique et en inflation de De Sitter ^_^

On part de la métrique de l'univers hypersphérique d'Einstein en coordonnées polaires (t, χ, θ, φ):

ds² = c² dt² – R² [ dχ² + sin²χ (dθ² + sin²θ dφ² )].

Dans toute ce qui suit, les coordonnées angulaires de lattitude et longitude (θ, φ) ne jouant aucun rôle, on va les simplifier par le terme dΩ² = sin²χ (dθ² + sin²θ dφ² )

Ce qui nous donne :

ds² = c² dt² – R²(dχ² + dΩ²).

R est le rayon de l’Univers dans le modèle d’Einstein. Et ce qui est shérique dans cet univers c'est uniquement la partie spatiale. Le temps, lui, n'est pas différent de celui d'une métrique de Minkowski. Et donc la coordonnée cdt est le temps cosmique au sens que c'est ce qui se mesure à la montre d'une observateur en chute libre dans cet univers (un observateur dont les coordonnées spatiales ne varient pas: dχ = 0 et dΩ = 0).

C'est un univers stationnaire au sens où aucune coordonnées ne dépend du temps. R = cte.

Dans ses échanges avec Einstein, De Sitter propose de pousser à son maximum la symétrie du modèle relativiste, en donnant le même statut aux 4 dimensions spatio-temporelles. En plongeant cette surface sphérique, cette fois ci (t, χ, θ, φ) et non (χ, θ, φ) dans un espace euclidien à cinq dimensions, en notant ω cette 5e dimension, la métrique de De Sitter, d’un point de vue spatial, est la suivante :

ds² = R²[dω² + sin²ω(dχ² + dΩ²)]

Avec R² = 3/Λ où Λ est la cte cosmo

Pour ω → π/2 et en posant dω = i cdt cos²χ/R

Il trouve :

ds² = c² cos²χ dt² – R²(dχ² + dΩ²).

C'est AUSSI un univers stationnaire au sens où aucune coordonnées ne dépend du temps. R = cte. Mais on note ici la présence du terme cos²χ associé au coefficient dt² qui fait qu'on ne peut pas associer le temps physique à cette coordonnée temporelle, comme dans le modèle d’Einstein.

Dans cet univers hypersphérique, l’horizon est donné par χ = π/2. Or, cos(π/2) = 0, ce qui annule la coordonnée temporelle !

C'est-à-que dire pour χ → π/2 c'est à dire quand on voit loin dans cet univers, le temps mesuré sur les objets lointains tend à s’écouler de moins en moins vite, d'où un redshift cosmologique. Ce qui permet d'expliquer le décalage spectral vers le rouge des nébuleuses mesurées par Vesto Slipher en 1915.

De Sitter :
"En ce qui concerne un déplacement systématique vers le rouge des raies spectrales des nébuleuses, nous ne pouvons cependant encore rien dire avec certitude. Si, dans le futur, il s'avérait que les objets très lointains ont des vitesses radiales apparentes systématiquement positives, ce serait une indication que le système B, et non A, correspondrait à la vérité."

(B c'est sa métrique et A celle d'Einstein)

Et donc on a bien un redshift, et des vitesses radiales apparentes, mais dans un univers stationnaire. Et c'est cette interprétation qui sera proposée par Hubble.

Puis arrive Friedmann, et ses fameuses équations. Si on prend les mêmes hypothèses qui fondent le modèle de De Sitter d'un univers vide mais avec constante cosmologique positive les équations de Friedmann aboutissent à l’équation différentielle suivante :

R’’– Λc²/3 = 0

Ce qui s'intègre en :

R(t) ~ e ^{√(Λc²/3)t}

ce qui nous donne un univers en inflation.

[pachacamac]

C'est marrant, au moment où tu as publié ça, j'étais (et je suis encore) en train de lire le même document.

[pachacamac]

D'après ce même document , il semblerait que dans le Modèle Cosmologique d' Einstein - De Sitter ( considéré comme le modèle standard jusqu'au années 1990 ) pas besoin de constante cosmologique où d'énergie du vide pour avoir une expansion de l'univers.

[pachacamac]

suite...

[Gilgamesh]

C'est marrant, au moment où tu as publié ça, j'étais (et je suis encore) en train de lire le même document.

Il est vraiment très bien, accessible tout en présentant les maths indispensables au raisonnement, et bien sourcé.

[Gilgamesh]

D'après ce même document , il semblerait que dans le Modèle Cosmologique d' Einstein - De Sitter ( considéré comme le modèle standard jusqu'au années 1990 ) pas besoin de constante cosmologique où d'énergie du vide pour avoir une expansion de l'univers.

Pièce jointe 475043

Oui donc ne pas confondre surtout le modèle de De Sitter de 1917 et celui d'Einstein-De Sitter de 1932. C'est ce dernier modèle qui fera autorité jusqu'à 1998 mais c'est en définitive celui de 1917 qui se révélera le plus fécond.

[Gilgamesh]

Aussi en 1933 il écrit un article avec Einstein qui prédit l'existence de la matière sombre (ou noire)

Mmmh non. Confusion avec les travaux de Zwicky de 1933 sur l'amas de Coma ?

[pachacamac]

sur wikipedia ( mais le l'ai lu ailleurs aussi)

"Une de ses œuvres importantes est la co-rédaction d'un article avec Albert Einstein en 1932, dans lequel ils conjecturaient qu'il devait y avoir dans l'univers une grande quantité de matière qui n'émettait pas de lumière, désignée actuellement comme la matière sombre."

[Lansberg]

Dans le mémoire page 59, l'auteur écrit : "Cet article est novateur dans le sens où il pose l’hypothèse d’une matière noire «concentrée dans les nébuleuses » car les observations de l’époque indiquent une densité de matière classique observable très inférieure à la densité critique requise pour le modèle."

L'article en question, d'Einstein et De Sitter, est celui cité juste au-dessus : « On the Relation between the Expansion and the Mean Density of the Universe » présenté à la National Academy of sciences (Proceedings, volume xviii, 1932, pages 213-214) par l’Observatoire du Mont Wilson, le 25 janvier 1932."

Une recherche rapide permet de retrouver la publication (https://www.pnas.org/doi/epdf/10.1073/pnas.18.3.213). Einstein et De Sitter notent : "The density depends on the assumed masses of these nebulae and on the scale of distance, and involves, moreover, the assumption that all the material mass in the universe is concentrated in the nebulae."

Il est question de masse concentrée dans les nébuleuses. L'extrapolation à matière noire est, il me semble, un peu tirée par les cheveux.

[Gilgamesh]

En tout cas il est clair qu'en histoire des sciences, ni Einstein, ni De Sitter, ne sont crédités de la moindre intuition sur l'existence d'une masse manquante.

[pachacamac]

Okay. Pas de soucis, je suis d'accord.
De plus ni Einstein ni De Sitter, contrairement à Zwicky, n'ont besoin de cela pour être célèbre

Néanmoins on trouve sur le web des passages un peu contusionnant à propos de cela :

In 1932 Einstein and de Sitter published a joint paper in which they proposed the Einstein-de Sitter model of the universe. This is a particularly simple solution of the field equations of general relativity for an expanding universe. They argued in this paper that there might be large amounts of matter which does not emit light and has not been detected. This matter, now called 'dark matter', has since been shown to exist by observing is gravitational effects. However the dark matter postulated by Einstein and de Sitter in 1932 still remains a mystery in that its nature is still unknown but is the subject of major research efforts today.

Source : https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Sitter/

[Lansberg]

J'ai beau relire le "papier" en question d'Einstein-De Sitter de 1932. À aucun moment ils ne parlent de " there might be large amounts of matter which does not emit light".

Ça doit faire partie des trucs recopiés par certains sans aucune vérification et qu'on retrouve d'article en article sur le web !

[yves95210]

In 1932 Einstein and de Sitter published a joint paper in which they proposed the Einstein-de Sitter model of the universe. This is a particularly simple solution of the field equations of general relativity for an expanding universe. They argued in this paper that there might be large amounts of matter which does not emit light and has not been detected. This matter, now called 'dark matter', has since been shown to exist by observing is gravitational effects. However the dark matter postulated by Einstein and de Sitter in 1932 still remains a mystery in that its nature is still unknown but is the subject of major research efforts today.

Einstein et de Sitter étaient conscients des limites dues aux moyens d'observations de l'époque. Voici la conclusion de leur article, il n'y est pas question de "matière noire". Au contraire ils montrent que leur modèle d'espace-temps plat sans constante cosmologique conduit (à partir de la valeur alors admise de Ho, 500 km/s/Mpc) à une densité de matière conforme à l'estimation faite par Oort de la masse de notre galaxie (ils supposent que pratiquement toute la masse de matière de l'univers est concentrée dans les galaxies).



PS : croisement avec Lansberg, qui s'est aussi donné la peine de (re)lire le papier d'Einstein et de Sitter...

[pachacamac]

Marrant ce papier. Deux petites pages et quatre équations d'apparence plutôt simples.

[yves95210]

Marrant ce papier. Deux petites pages et quatre équations d'apparence plutôt simples.

Ben oui, les solutions des équations de Friedmann avec un seul paramètre non nul (densité de matière, courbure spatiale ou constante cosmo) sont particulièrement simples.
On l'a vu ailleurs, tu ne t'en souviens pas ?

Si ça t'intéresse, l'article de Zwicky (1933) est disponible sur arxiv, traduit en anglais (et même en espagnol, si tu préfères). Au passage, il répond à la question que tu posais au début de cette discussion, en créditant Friedmann, Tolman, Lemaitre et Eddington pour la démonstration de l'instabilité d'un univers statique.

[pachacamac]

Merci.

On l'a vu ailleurs, tu ne t'en souviens pas ?

J'ai acheté un nouveau cahier de 100 pages que je vais dédié entièrement aux math et formules utilisées en RG


Pour le lien j'ai choisi le version espagnole. (en cours de lecture)

Aussi j'ai un doute...
Quand on parle du célèbre modèle d'univers de De Sitter-Einstein (ou d'Einstein-De Sitter ) et du fameux article de 1932,

C'est bien ce petit article qu'il s’agit et celui-ci serait en quelque sorte le texte fondateur du modèle d'Einstein - De Sitter ?

[yves95210]

Quand on parle du célèbre modèle d'univers de De Sitter-Einstein (ou d'Einstein-De Sitter ) et du fameux article de 1932,

C'est bien ce petit article qu'il s’agit et celui-ci serait en quelque sorte le texte fondateur du modèle d'Einstein - De Sitter ?

Mais oui.

[Lansberg]

C'est le modèle qui s'impose pendant plus de 60 ans. C'est un des modèles de Friedman-Lemaître à constante cosmologique nulle, sans courbure, de pression nulle (pas de rayonnement) et uniquement constitué de matière non relativiste.
La valeur de la "constante de Hubble" est presque 10 fois trop grande (500 km/s/Mpc) ce qui conduit à un âge de l'univers trop faible comparé à l'âge de la Terre obtenu par les méthodes géologiques.

[pachacamac]

J'ai effectivement trouvé dans l'article de Fritz Zwicky la réponse à ma question initiale.

Una sugerencia más importante proviene de Friedmann, Tolman, Lemaitre y Eddington, cuyo trabajo sugiere que un espacio estático, según la teoría de la
relatividad, es dinámicamente inestable y por lo tanto comienza a contraerse o expandirse.

Este postulado era históricamente necesario para comprender la existencia de una densidad media no despreciable que de lo contrario conduce apotenciales gravitatorios infinitos en el caso límite de un espacio estático infinito



A further important suggestion comes from Friedmann, Tolman, Lemaitre and Eddington, whose work suggests that a static space, according to the theory of relativity, is dynamically unstable,...

...This postulate was historically necessary to understand the existence of a non-vanishing mean density which would otherwise lead to infinite gravitational potentials in the limiting case of an infinite static spac

[pachacamac]

Ce postulat était historiquement nécessaire pour comprendre l'existence d'une densité moyenne non nulle qui conduirait autrement à des potentiels gravitationnels infinis dans le cas limite d'un espacement statique infini.

C'est trop fort ! Zwicky nous dit en quelque sorte que l'univers est en expansion parce que sinon l'équation d'Einstein déraillerait. (dans le cadre limite précisé ).