Concours général 1990

[invite85d09bae]

Hello tout le monde!
Désolé de poster mon message içi mais étant donné qu'on ne peut pas ouvrir de nouvelles discussions dans la rubrique "Exercices", je me mets içi pour avoir des "Renseignements sur les concours".
J'ai trouvé un exercice très intéressant quoiqu'un peu (si ce n'est TRES) compliqué qui se trouve être l'exercice 3 du concours général 1990:

http://www.maths-express.com/bac-exo...n-cn-olymp.htm

Première question, question très sympathique qui vous fera plonger pendant un bon bout de temps. Bref, je n'y arrive pas je sais c'est normal mais j'aimerais quand même avoir quelques pistes, vos avis, vos aides, et même si c'est possible vos solutions au problème (je ne parle que de la question 1).

J'ai essayé plusieurs pistes, assez basiques, et je pense qu'il faut faire un changement de variable ou traduire ca géométriquement par exemple avec les 3 côtés d'un triangle....

Je vous propose cet exercice juste pour vous le faire partager, à titre d'entraînement, et même de découverte .

Merci d'avance.
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[invite85d09bae]

Woooohoo!! j'ai trouvé!!! et quel résultat!! l'exercice a été fait dans le seul but de se moquer des candidats!!

Après des heures de recherches dans tous les domaines (si si c'est vrai jvous assure ), j'ai trouvé un triplet de solutions avec 2 entiers égaux distincts du 3ème.

Bon je vous explique rapidement ma démarche qui est très longue, fastidieuse, inutile mais qui n'est rien d'autre que le cheminement que j'ai fait pour aboutir à une solution.....si ridicule!
La première chose que j'avais faite était de mettre tout au même dénominateur puis d'enlever les fractions, j'aboutis à un truc très compliqué, que j'avais pas réussi à faire, d'où les idées de changements de variable ou de géométrie.
Eh bien justement, j'ai adopté une toute autre méthode, qui n'est pas du tout rigoureuse et qui relève surtout de l'intuition mathématique que chacun possède en soi . bref, je trace sur un support quadrillé de préférence, un looooooonggg segment qui représente l'unité et je le gradue : 1/2, un demi de la moitié, 1/4, 1/8...etc
En dessous, je le refais pour mieux visualiser mais cette fois en réprésentant les graduations du quart de l'unité : 1/128; 1/256...

Très bien et ensuite?
Et bien suite je vais sur un truc complètement divergent (eh oui c'est ca les maths) et qui n'a aucun rapport...ou un très lointain sinon...
On recherche d'abord des carrés parfaits, donc dont la décomposition en facteurs premiers admet uniquement des puissances paires : 2puissance 2 , 4 6 ..etc 3puissance2, 4 ..etc
Puis l'on remarque que aucun de ces nombres ne peut être égal à 4 sinon, la somme serait supérieure à 1/4 (c'est pour ca que je me visualisais l'exo grâce aux axes gradués), donc notre étude se fait pour a², b², et c² tous supérieurs ou égaux à 9 (qui est le premier carré parfait après 4). Et alors?, me direz-vous...

Pour rajouter une couche, je remarque qu'il est complètement inutile d'aller chercher les grands nombres (car 1/256 est minuscule.......et ce n'est que 2 jours après que je m'en apercois ), donc, comme ca fait des heures que je cherche et que j'en ai marre, je sors ma calculatrice et je fais une liste exhaustive des premiers carrés parfaits : 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ...etc à partir de 100 on voit que la somme de 3 fractions superpetites n'aboutira jamais à 1/4, donc notre triplet se trouve dans cette liste.

Avec un peu de bon sens et de calcul, on trouvera finalement que les solutions sont.....3, 3 et 6!!! arrrggghhh 2 jours entiers pour trouver ces satanés chiffres!!! 1/3² + 1/3² +1/6²= 1/4....

voili voilou, moi qui pensait que ca allait être compliqué, voilà que l'exercice se réduit à une toute 'tite application calculatoire, et vous admettrez avec moi que, comme on peut le voir, il ne peut exister des solutions infinis, et les seuls solutions sont des "petites" solutions.

Voilà, merci de m'avoir servi comme support à mon esprit , en attendant, j'aimerais bien voir vous, quelles solutions vous pourriez trouver..j'ai déjà défriché le terrain!! et puis si il y a des bonnes âmes qui ont une expérience plus poussée et qui pourraient arriver à bout de cette question beaucoup plus "mathématiquement", ce sera sans refus

[jacovador]

J'ai trouvé une solution (la même que vous) et elle est unique.

rangeons les 3 nombres que a <= b <= c
Alors :
1/a^2 >= 1/b^2 >= 1/c^2 (1)

1) Il est évident que a>2
2) (1) => 3/a^2 >= 1/4 D'ou l'on déduit que a <= 3 => a=3
3) puis on recommence le même raisonnement avec b :
2/b^2 >= 5/36 => b <= 3 => b=3
4) enfin, on peut calculer c : on trouve c=6