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Probleme du paysan et de son champ



  1. #1
    Yoyo

    Probleme du paysan et de son champ

    Bonsoir,

    voici une petite "enigme mathématique".

    Un paysan a un champ circulaire. Il plante un piquet sur le périmetre du cercle et y attache une chevre.
    De quelle longueur doit etre la corde pour que la chevre puissent manger la moitié de la surface du champs ?

    Yoyo

    -----


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  3. #2
    fderwelt

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    Bonsoir,

    La corde s'enroule autour du piquet ou pas?

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  4. #3
    Yoyo

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    non je crois pas

    yoyo

  5. #4
    benjy_star

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    Salut !

    Tu n'as pas précisé à quel point la chèvre était souple !

  6. #5
    martini_bird

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    Salut,

    si le rayon du champ fait 10 m, la corde doit mesurer environ* 11,587 284 730 m...

    Cordialement.

    *Je m'arrête au nanomètre, ça doit suffir.

    PS : je ne mets pas la méthode pour laisser à d'autres le plaisir de rédiger une solution.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Nicolas666666

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    juste une question, il faut résoudre une equation, du genre aire de la chevre en fonction de la longueur de la corde = pi?

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  10. #7
    benjy_star

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    Non, aire balayée par la corde lorsqu'elle fait un tour etc etc...

  11. #8
    Nicolas666666

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    mais ça ne nous permet pas de trouver l'aire de la chèvre si? il me semble ne pas tout saisir, peux-tu m'expliquer plus?

  12. #9
    benjy_star

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    Ben en fait, tu peux faire un rapport, et faire un peu comme martini : tu supposes une surface de rayon X, quelle doit être la longueur de la corde en fonction de X pour que la chevre ingurgite la moitié de la surface du cercle...?

  13. #10
    Nicolas666666

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    je ne vois pas toujours, je reviendrai demain matin plus clair! merci de ton aide!

  14. #11
    mimas029

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    y a un os, si il plante le piquet sur le perimetre la chevre broute une moitié chez le voisin non?

  15. #12
    mimas029

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    plus serieusement je crois que c est un un probleme de lunule en relation avec la longueur du segment entre les 2 points secants des cercles et leurs aires respectives

    Dernière modification par mimas029 ; 29/10/2006 à 02h14.

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  17. #13
    f6bes

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    Bjr à tous,
    Martini ton résultat me surprend: ta valeur calculée est SUPERIEURE au rayon que tu as pris comme référence.
    (rayon champ =10m, rayon corde 11, .....m !!)
    La chévre va bouffer TOUT le champ et un peu plus ,non !!

    Mimas, t'as l'air de te compliquer la vie:moitie de surface ne veut pas forcément dire surface du cercle "couper" par le diamétre.
    En l'occurence un cercle de surface S/2 peut etre inscrit dans le cercle principal.C'est le cas ici avec la chévre et on piquet.

    Pour ma part ,n'étant pas trop fortiche en math,je verrais bien: S=pi xR2 soit pour 10m de rayon
    S= 3.14 x10x10=314m2
    La demi surface vaut:314/2=157 m2
    Suffit de repartir en raisonnement inverse ....connaissant S/2.
    Cordialement
    Dernière modification par f6bes ; 29/10/2006 à 05h45.
    "Ce fut la goutte d'eau de trop qui mit le feu aux poudres!"

  18. #14
    whirlwind

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    Bonjour,

    Tu n'as pas précisé la longueur de la tête de la chèvre ni la longueur de corde qu'il faut pour faire un noeud au collier

    Et puis j'ai l'impression que c'est le même problème qu'ici : (surligner)
    http://forums.futura-sciences.com/thread103975.html
    Mais comme les modos participent et qu'en plus ils trouvent la réponse c'est que ça n'est pas la même chose et donc que je n'ai rien compris au sujet...

    Sinon f6bes, le piquet est planté sur le périmètre du cercle, et non sur le centre donc même si la corde est plus longue que le rayon, la chèvre ne mangera pas tout le champ.

    Cordialement,
    Whirlwind

  19. #15
    f6bes

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    Citation Envoyé par whirlwind Voir le message
    ......
    Sinon f6bes, le piquet est planté sur le périmètre du cercle, et non sur le centre donc même si la corde est plus longue que le rayon, la chèvre ne mangera pas tout le champ.

    Cordialement,
    Whirlwind
    Merçi whir.......
    Va falloir que je change les lunettes !!!!!!
    Je me disais aussi , c'est relativement façile !
    A+ Cordialement
    "Ce fut la goutte d'eau de trop qui mit le feu aux poudres!"

  20. #16
    martini_bird

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    AVERTISSEMENT : ce qui suit dévoile une résolution possible de l'énigme.

    Salut,

    je propose une première solution à l'énigme, par la "face nord". J'en connais une autre plus élémentaire : je la posterai aujourd'hui si j'ai le temps, sinon demain.

    ______________

    Notation : est le cercle limitant le champ, son centre, et son rayon est pris pour unité. Le champ a pour aire .

    est le cercle délimitant la région dans laquelle peut évoluer la chèvre, de centre le piquet, et de rayon , la longueur de la corde.

    Il est clair que le problème admet une symétrie d'axe .

    On note la moitié de l'aire délimitée par : c'est la somme des aires et , respectivement en bleu et rouge sur la figure.

    Le problème revient à trouver tel que soit le quart de l'aire totale du champ, qui vaut : on doit donc résoudre l'équation


    ______________

    On se place dans le repère orthonormé de centre dont l'axe des abscisses est . L'équation des arcs de cercle sont et , de sorte que les aires et sont données par les intégrales :





    est l'abscisse du point d'intersection de avec . Un calcul rapide donne puisque vérifie .

    Soit et deux primitives de et respectivement. Par exemple :





    L'équation devient donc :



    Après évaluation des termes et multiplication par 2, l'équation s'écrit :



    Soit finalement :



    Géométriquement, on sait déjà que est une fonction strictement croissante de : le membre de gauche ci-dessous est donc décroissant (car multiplié par -1), et s'annule pour un nombre compris entre 0 et 2 : une petite recherche numérique des racines (par dichotomie par exemple) donne la valeur approchée 1, 158 728 473.

    Cordialement.
    Images attachées Images attachées
    Dernière modification par martini_bird ; 29/10/2006 à 11h09. Motif: Coquille (signe)
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  21. #17
    mécano41

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    Bonjour,

    Aire délimitée par : arc AB, DO et AO :



    Aire triangle AOB :



    Aire délimitée par : arc AC, AB et AC :



    Il faut avoir :



    Comme on arrive à :



    D'autre part, on a :



    On élimine R pour obtenir :



    A résoudre numériquement pour trouver l'angle. Ensuite on calcule :

    Fichiers attachés Fichiers attachés

  22. #18
    martini_bird

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    Salut,

    merci mécano41 : c'est la démo que j'avais en tête.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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  24. #19
    ABN84

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    bonsoir,
    Citation Envoyé par mimas029 Voir le message
    plus serieusement je crois que c est un un probleme de lunule en relation avec la longueur du segment entre les 2 points secants des cercles et leurs aires respectives

    depuis quand on utilise topsolid tour des trucs pareil
    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Salut,

    merci mécano41 : c'est la démo que j'avais en tête.

    Cordialement.
    mauvais perdant
    "Engineering is the art of making what you want from what you get"

  25. #20
    Yoyo

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    Merci beaucoup a vous pour ces solutions

    Yoyo

  26. #21
    martini_bird

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    Salut,

    Citation Envoyé par einstein Voir le message
    mauvais perdant
    Tss...

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    je propose une première solution à l'énigme, par la "face nord". J'en connais une autre plus élémentaire : je la posterai aujourd'hui si j'ai le temps, sinon demain.


    Bonne journée !
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  27. #22
    mécano41

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    Citation Envoyé par einstein Voir le message
    ...mauvais perdant
    Pourquoi ? Il y avait quelque chose à gagner ? De mon côté, c'est juste pour m'amuser

    Bonne journée

  28. #23
    mimas029

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    Citation Envoyé par einstein Voir le message
    bonsoir,

    depuis quand on utilise topsolid tour des trucs pareil

    mauvais perdant
    lol je suis programmeur regleur c est plus un reflexe qu autre chose

  29. #24
    mimas029

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    je sais que ca enleve un peu le coté ludique mais ca verifie que martini bird n a fait aucune erreur dans ses calculs
    pour un champs de 100m il faut theoriquement il faut une corde de 115.87m et des poussieres

    un mort est une tragedie, mille morts sont une statistique (staline)

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  31. #25
    mimas029

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    je l ai fait au diametre mais ca revient au meme
    un mort est une tragedie, mille morts sont une statistique (staline)

  32. #26
    ABN84

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    Citation Envoyé par mécano41 Voir le message
    Pourquoi ? Il y avait quelque chose à gagner ? De mon côté, c'est juste pour m'amuser

    Bonne journée
    De mon côté, c'est juste pour taquiner
    "Engineering is the art of making what you want from what you get"

  33. #27
    GuillaumeD

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    <<'Cré vin Dieu, d'jà t'met pas d'la corde mais d'la chaîne, sinon la biquette e't'bouffe la corde pour s'faire la malle, pis t'y met de la clôture électrique pour parquer la bestiole et pis voilà>>.
    Signé:
    Monsieur Jean.

  34. #28
    laurisa

    Re : Probleme du paysan et de son champ

    Citation Envoyé par GuillaumeD Voir le message
    <<'Cré vin Dieu, d'jà t'met pas d'la corde mais d'la chaîne, sinon la biquette e't'bouffe la corde pour s'faire la malle, pis t'y met de la clôture électrique pour parquer la bestiole et pis voilà>>.
    Signé:
    Monsieur Jean.
    Salut,

    Moi je vote pour cette solution là!
    « Celui qui excelle ne discute pas, il maîtrise sa science et se tait. » Lao-Tseu

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