x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

[invite51d17075]

je ne sais à qui tu répond.
je répondais à : "chercher l'erreur" dans le raisonnement, ce que j'ai fait.
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[stefjm]

c'est là l'erreur,
c'est une implication, pas une équivalence.
x²+x+1=0 => x^3=1 mais pas l'inverse ( un polynome de degré 3 n'est pas équivalent à un polynome de degré 2)
donc tu ne peux revenir en arrière pour la conclusion

Pas très clair l'équivalence de polynômes...

x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0

Les racines de l'un sont les racines de l'autre.

[Amanuensis]

x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0

Les racines de l'un sont les racines de l'autre.

L'ensemble des racines de x^3-1 est le même que celui de (x-1)(x^2+x+1). Et alors?

[invite51d17075]

@stefjm :
je précise même que la manip correspond indirectement à ce que tu fais.
tu multiplies le polynome par (x-1) pour justifier ensuite que x=1 est solution !!!! c'est " balot "

[stefjm]

C'était bien dans cet espris que je l'avais écrit, mais le commentaire d'Amanuensis m'inquiète un peu.
(Du genre un truc sur la multiplicité possible d'une racine...)

[invite51d17075]

ha bon ? pas moi.
le fait simple reste que la pseudo démo paradoxale du post #1 provient d'un passage par implication qui est présentée comme une équivalence.
c'est une erreur souvent commise en maths.

[stefjm]

Et pourquoi 1 ne serait pas racine double de x^3-1 ?
et donc de X^2+x+1 ?

[Deedee81]

Salut,

Et pourquoi 1 ne serait pas racine double de x^3-1 ?

Ben, parce qu'il ne l'est pas, c'est tout. Essaie (x-1)(x-1)(x-p) = x^3-1. Trouve-moi p (éventuellement complexe) (vérifiant l'égalité pour tout x, évidemment). Ce n'est pas possible => ce n'est pas une racine double.

[invite51d17075]

oui est très facile à résoudre dans les complexes

1 racine réelle et 2 racines complexes.
et on a
=>
donc les racines du polynome du second degré sont incluses dans celle du 3 ème degré.
d'ailleurs les 2 racines complexes satisfont bien

c'est simple et tout bête.
pourquoi chercher compliqué

[Amanuensis]

Et pourquoi 1 ne serait pas racine double de x^3-1 ?
et donc de X^2+x+1 ?

C'est le cas dans Z/3Z (triple en fait).

(Et on a bien x^3-1 = (x-1)²(x-p), avec p=1)

[Deedee81]

C'est le cas dans Z/3Z (triple en fait).

Arf, c'est vrai qu'il faudrait toujours préciser.

Alors pour Stef : dans R ou dans C c'est une racine simple.

Merci,

[stefjm]

Arf, c'est vrai qu'il faudrait toujours préciser.
Alors pour Stef : dans R ou dans C c'est une racine simple.

J'ai quelques notions de logique et d'abstraction quand même.
J'ai d'abord dis cela :

C'était bien dans cet esprit que je l'avais écrit, mais le commentaire d'Amanuensis m'inquiète un peu.
(Du genre un truc sur la multiplicité possible d'une racine...)

et puis j"ai eu peur d'en avoir trop dit...
alors je n'ai parlé que de racine double, parce que triple vous aurait peut-être mis la puce l'oreille...
(Dans Z/2Z aussi, il se passe des trucs marrants... )

Et pourquoi 1 ne serait pas racine double de x^3-1 ?
et donc de X^2+x+1 ?

[Deedee81]

Perso, je ne m'étais pas posé la question, à cause du titre de ce fil !!!!

[Amanuensis]

Oui, le titre parle de R. Mais les excursions dans C ont été nombreuses, alors pourquoi se limiter? D'autant plus que le raisonnement de base est valide avec un minimum de propriétés pour l'anneau. Intéressant de voir où la spécificité de R intervient...

[stefjm]

Je suis tombé récemment sur
http://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant

[Deedee81]

Salut,

alors pourquoi se limiter?

Aucune raison. Je donnais juste la raison pour laquelle je n'y avais pas pensé.
(parfois il ne faut pas lire entre les lignes, il n'y a rien )

Je suis tombé récemment sur
http://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant

Ah, ça m'a l'air fort complet.

Merci,