Avec le compas seulement !

[danyvio]

Bonjour !
A l'occasion d'un problème posé dans le forum "math des lycées et collèges", et qui demandait la solution d'un problème géométrique à l'aide seulement de la règle , la mémoire m'est revenue d'une science, dans laquelle paraît-il Napoléon 1er excellait, consistant à construire des points avec l'aide exclusive du compas. Exemple : soient deux points A et B d'un plan. Constuire le milieu du segment AB (non matérialisé par un trait!) à l'aide du seul compas. Comment s'appelait cette science ? Et quelle est la solution du "modeste" problème ci dessus ?
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[inviteda0d0541]

Bonjour, je ne connais pas le nom de cette science, mais pour construire le milieu...
En construisant 2 points équidistants de A et B (comme pour tracer la médiatrice), puis renouvellant l'opération avec ces 2 nouveaux points, on resserre un peu, au fur et à mesure en renouvellant l'opération les 2 points se rapprochent, jusqu'à devenir joints, on est alors au milieu de A et de B non ?

[danyvio]

Bonjour, je ne connais pas le nom de cette science, mais pour construire le milieu...
En construisant 2 points équidistants de A et B (comme pour tracer la médiatrice), puis renouvellant l'opération avec ces 2 nouveaux points, on resserre un peu, au fur et à mesure en renouvellant l'opération les 2 points se rapprochent, jusqu'à devenir joints, on est alors au milieu de A et de B non ?

Je n'ai pas souvenir de la solution, que j'avais lue et contrôlée il y a ... longtemps, mais en aucun cas il ne s'agissait d'une itération, mais bien d'une construction très précise. Cordialement.

[invite58549cb8]

Bonjour..
Je n’ai aucune idée quant au nom de cette science...par contre j’ai une proposition pour l’énigme !
Evidemment, une solution triviale et d’utiliser un compas et une règle (entendre par là une règle non graduée bien sûr)
Sinon au seul compas, l’idée est ici d’utiliser une hauteur des triangles !

Coommencons par le commencement,
1. Tout d’abord, il s’agit de tracer le symétrique de A par rapport à B.
Pour ce faire, on trace le cercle Cb de centre B passant par A.
Puis on trace un arc de cercle de centre A passant par B, une intersection nous donne le point M et on itère en faisant à nouveau un arc de cercle de centre M passant par B…
La troisième étape nous donne le point A’ (Grosso modo on a tracé des triangles équilatéraux).
2. On trace un cercle Ca’ de centre A’ passant par A et un cercle Ca de centre A passant par B, et on note C et D les intersections de ces 2 derniers cercles.
3. enfin on trace deux cercles (les derniers !!!) ayant pour centre respectif les deux intersections précédentes et passant par A. Leur seconde intersection donnant ipso facto le milieu I de AB

La preuve me dirait vous…
Le cercle Ca’ nous donne le symétrique (noté A’’) de A par rapport à A’, si on le dessinait avec une règle !
En considérant le triangle ACA’’, celui-ci est rectangle en C. La droite CD représente une hauteur de ce triangle, plus précisément le segment noté AH où H est l’intersection AA’’ et CD.
A partir de thalès, une relation connue des triangles rectangles est (dans ce cas-ci)
AC² = AH*AA’’
D’où AC² = AH * 4 AB or AC=AB..
Donc on en déduit AH=AB/4 et comme H est le milieu de AI, on a AI=AB/2


Bon, j’espère avoir été clair,
J’ai bien conscience que ce serait plus simple en le dessinant…

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]