Ecrire un nombre de deux façon différentes

[mbollaert]

Bon allez je me lance. J'ai eu l'idée d'un petit problème mathématique lié à une propriété de certains nombres qui est peu connue je crois. Je demande votre indulgence si je ne formule pas bien la question, voire même si ma réponse s'avère fausse pour une raison qui m'échapperait (on ne sait jamais ). Bref, voilà l'énigme :

Existe-t-il des nombres réels qui peuvent s'écrire d'au moins deux façons différentes ?

Je ne parle pas de formules mathématiques, mais simplement de l'écriture du nombre au moyen des chiffres 0 à 9 et éventuellement d'une virgule. Les "..." sont également autorisés pour les nombres rationnels. Si vous séchez, je vous donnerai des indices =)
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[mbollaert]

Oups j'oubliais :

Bien sûr, il ne s'agit pas d'ajouter des zéros. Ainsi par exemple, "08" et "8" n'est pas une bonne réponse, de même que "5.1" et "5.10".

[invitedb5bdc8a]

0.999999..... et 1.000000 ..... par exemple ?

[invite3bc31a43]

0.999999999999999999999999...= 1

[A voir en vidéo sur Futura]

[mbollaert]

Bon, c'est plus connu que je ne le pensais

Une démo ?

[invite3bc31a43]

A toi l'honneur, c'est toi qui a posé le probleme

[mbollaert]

J'attends un peu, peut-être que certains auront envie de la chercher ? J'en connais une qui est très simple et ne nécessite pas d'utiliser de théorèmes.

[invite7553e94d]

Soit x=0.9999...
<=> 10x = 9.9999...
<=> 10x = 9 + x
<=> 10x - x = 9
<=> 9x = 9
<=> x = 1
<=> 0.9999... = 1

CQFD vainqueur !

[mbollaert]

Bien vu

Je ne pensais pas que cette propriété était si connue ; je l'ai découverte par hasard alors que j'étais encore au lycée, et je ne l'ai jamais vue en classe...Vous avez appris cela en cours ?

[invite980a875f]

Salut,
pour écrire un nombre d'une autre manière on peu aussi changer de base, passer en base 2, 3, 4...
Ex:
En base 3, 39 s'écrira 111

[invitedb5bdc8a]

Bien vu

Je ne pensais pas que cette propriété était si connue ; je l'ai découverte par hasard alors que j'étais encore au lycée, et je ne l'ai jamais vue en classe...Vous avez appris cela en cours ?

En fait oui, dans le cadre des nombres rationnels (comment retrouver l'écriture rationnelle à partir de l'écriture décimale rériodique).

[BioBen]

Soit x=0.9999...
<=> 10x = 9.9999...
<=> 10x = 9 + x
<=> 10x - x = 9
<=> 9x = 9
<=> x = 1
<=> 0.9999... = 1

Bah moi je connaissais pas dut tout ... c'est possible de démontréer que c'est vrai pour tout nombre proche d'un entier (je csais pas si c'est très clair...)? Enfin le démontrer de mainère littéral quoi.
a+
ben

[invite00411460]

bah tu rajoutes 5 de chaque coté de la dernière relation...

et hop

5.999999... = 6

(:/)

[mbollaert]

En fait oui, dans le cadre des nombres rationnels (comment retrouver l'écriture rationnelle à partir de l'écriture décimale rériodique).

OK, je l'avais trouvée en bidouillant un petit programme en basic (1985...) qui faisait cela

Mes profs ont dû le zapper (ou alors, c'est moi ). Merci.

[BioBen]

bah tu rajoutes 5 de chaque coté de la dernière relation...

et hop

5.999999... = 6

(:/)

Non c'est pas ca que je veux, je voudrais savoir si l'on peut démontrer que c'est vrai pour toute valeur de x, une démonstration littérale quoi, pas juste un exemple...
a+
ben

[invite3bc31a43]

Non c'est pas ca que je veux, je voudrais savoir si l'on peut démontrer que c'est vrai pour toute valeur de x, une démonstration littérale quoi, pas juste un exemple...
a+
ben

Oui juste la semaine derniere on a fait la démonstration littérale en cours c'était assez long kememe

[invite980a875f]

Pardon, je me suis trompé, 39 s'écrit 1110 en base 3, et non pas 111.

[mbollaert]

J'ai trouvé cela dans les archives :

http://forums.futura-sciences.com/ar...hp/t-4244.html

Sinon, je pense qu'on doit pouvoir le montrer aussi par une question de "densité" (c'est un peu loin dans ma mémoire pour que je sois plus précis...), i.e. si on ne peut pas intercaler un nombre entre deux valeurs x et y, on doit pouvoir montrer que x = y ?

Sharp de toute façon, je ne parlais que de base 10

[invite93279690]

je crois qu'on peut le faire de maniere litterale avec les series geometriques non?

[spi100]

Bah moi je connaissais pas dut tout ... c'est possible de démontréer que c'est vrai pour tout nombre proche d'un entier (je csais pas si c'est très clair...)? Enfin le démontrer de mainère littéral quoi.
a+
ben

n,999999..., avec n entier, c'est aussi . La somme est une simple progression géométrique et vaut , d'où le résultat : n,99999... = n + 1.

[invite980a875f]

Salut,

Sharp de toute façon, je ne parlais que de base 10

Je m'en doutais un peu mais comme ce n'était pas précisé, j'ai quand même donné cet exemple qui permet d'écrire les nombres d'une infinité de façons différentes...

[invite6b1a864b]

moi je n'ai jamais été d'accord avec ça... peut importe ce qu'en dise les illlustres mathématiciens.
0.99999... est différent de 1

De même 1/x quand x tend vers l'infinie est toujours différent de 0 (mais oui, la limite vaut zéro).
Il n'existe pas de réél tel que 1/x=0. C'est strict et précis.

Maintenant savoir si 0.9999.... = limite ( 0.99999)....

admettons....

(d'ailleurs "admettons..." est différent de "je l'admet", même si ça veut dire que je l'admet)