des dés

[invite986312212]

bonjour à tous,

je vous soumets un petit problème amusant. Je ne l'ai pas inventé, je donnerai la référence avec la solution.

si on jette deux dés ordinaires, et qu'on s'intéresse à la somme, on peut obtenir les nombres de 2 à 12, avec les fréquences 1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1 (1 façon d'obtenir 2, 2 façons d'obtenir 3, etc).

Est-ce qu'on peut choisir d'autres nombres que les nombres de 1 à 6 pour les faces de deux dés (à six face) et obtenir pour la somme les nombres de 2 à 12 avec les mêmes fréquences?
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[invite8241b23e]

Salut !

Je pense que ça marche pour toutes les paires de dés identiques ayant 6 nombres consécutifs.

Enfin je pense...

[invite36e4dbaa]

1 + x ; 2 + x ; 3 + x ; 4 + x ; 5 + x ; 6 + x pour un dé

et

1 - x ; 2 - x ; 3 - x ; 4 - x ; 5 - x et 6 - x pour l'autre dé.

x étant ici un nombre quelconque réel.

[invite986312212]

non non, il faut que les sommes soient les nombres 2,3,...,12.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

la solution de dgidgi est correcte selon mon énoncé (incorrect), mea culpa. En fait j'avais oublié de préciser que les nombres inscrits sur les faces des dés devaient être strictement positifs.

[invite4b3b38f4]

Bonjour,

voilà ma réponse :
1 dé avec des nombres de 7 à 12
1 dé avec des nombres de 0 à -5

la somme obtenue peut aller de 2 à 12

A+
Patrice

[invite986312212]

essayons avec des nombres strictements positifs.

[invite64697f2a]

Quand tu dis "avec les mêmes fréquences", il faut comprendre:
->"... que les deux dés classiques"?
-> ou "les 11 valeurs sont équiprobables"?

[invite986312212]

il faut trouver 6 nombres a1,..,a6 >0 et 6 nombres b1,..,b6 >0 tels que les sommes ai+bj prennent les valeurs 2,3,..,12 avec les fréquences 1,2,3,... (les mêmes qu'avec des dés ordinaires).

[SunnySky]

Ai-je droit aux nombres fractionnaires?

Par exemple, un dé avec 0,9; 1,9; 2,9; 3,9; 4,9 et 5,9 et l'autre dé avec 1,1; 2,1; 3,1; 4,1; 5,1 et 6,1?

Si je n'y ai pas droit, alors je ne vois pas comment on pourrait y arriver... Chaque dé devrait avoir un 1 pour que la somme de 2 soit accessible; chaque dé devrait avoir un 6 pour qu'il y ait 6 possibilités d'obtenir 7, chaque dé devrait avoir un 2 pour qu'il y ait 2 façons d'obtenir 3, etc.

À moins d'avoir le droit aux dés pipés?

[invite36e4dbaa]

la solution de dgidgi est correcte selon mon énoncé (incorrect), mea culpa. En fait j'avais oublié de préciser que les nombres inscrits sur les faces des dés devaient être strictement positifs.

Il n'y a qu'à rajouter : - 1 < x < 1 (ou bien valeur absolue de x < 1)
à ma réponse.

[invite986312212]

il faut des nombres entiers. Ca me semblait évident s'agissant de dés, mais c'est vrai que rien n'est évident tant que ce n'est pas écrit.

je donne une indication: l'un des dés a moins de nombres différents que de faces.

[invite36e4dbaa]

Essaie de dire ce qu'il faut modifier cette fois à ton énoncé pour rejeter celle-là .

Premier dé : 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7.
Deuxième dé : rien ou blanc ou 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5.

C'est le cas x = 1 (ou aussi bien x = - 1 de ma solution précédente).

Apparemment, la réponse n'est pas difficile, mais la question est dure (à poser, en tout cas)!!!!

[invite986312212]

d'accord je m'y suis pris à trois fois, mais j'ai bien écrit strictement positifs

[invite7dcb65f7]

1 er dé : = (1, 2, 2, 3, 3, 4)
2ème dé: = (1, 3, 4, 5, 6, 8)

[invite986312212]

bravo!
as-tu trouvé en tatonnant? parce qu'il y a une méthode pour arriver à cette solution, méthode qui permet de montrer qu'elle est unique.

[invite986312212]

la méthode repose sur la notion de fonction génératrice.
On considère le polynôme (en z)
Si on l'élève au carré et qu'on développe suivant les puissances de z,on constate que le coefficient de est le nombre de façons d'obtenir la somme en lançant deux dés.
Si maintenant on considère un dé à six faces avec les nombres (entiers strictement positifs) , la fonction génératrice correspondante est . Le problème revient donc à trouver douze nombres strictement positifs tels que .

pour résoudre ce problème il faut factoriser . On trouve (je passe les détails mais ce n'est pas difficile) . Les fonctions et sont composées de ces facteurs. Si on ajoute les contraintes qu'on doit avoir et on trouve qu'il n'y a que deux solutions: la paire de dés ordinaires et la paire de dés indiquée par mesfig.

ce problème provient d'un petit livre fort intéressant: Analytic Number Theory de Donald J Newman (Springer, 2000)

[invite36e4dbaa]

. Les fonctions et sont composées de ces facteurs. Si on ajoute les contraintes qu'on doit avoir et on trouve qu'il n'y a que deux solutions: la paire de dés ordinaires et la paire de dés indiquée par mesfig.

Merci de ces développements.
Au moins, ce problème m'aura intéressé.

Pourrait-on avoir des explicitations sur la manière de "les trouver" en rajoutant les contraintes citées, qu'il n'y a que deux solutions ?

J'aimerais voir à quel moment il est clair que la théorie impose de résoudre dans (c'est ce qu'il fallait faire, n'est-ce pas).

[invite986312212]

non, la théorie n'impose pas de résoudre en entiers strictement positif. C'était une donnée du problème, que j'avais oublié de mentionner. Les fonctions génératrices n'interviennent que pour les entiers.
La fonction g est produit de 4 facteurs et on doit avoir , et donc 8 facteurs à distribuer entre et . Comme et s'annulent pour chacune doit avoir l'un des deux facteurs . Pour qu'on ait il lui faut le facteur , et de même pour .
Finalement, il ne reste que les deux facteurs à distribuer entre et . Si on en donne un à chacune, on trouve la solution i.e. les dés classiques. Si on affecte les deux à cela donne (avec un peu de patience), ce qui correspond au dé (1,3,4,5,6,8) et ce qui scorrespond au dé (1,2,2,3,3,4).

[invite36e4dbaa]

Très fort, et très clair.

Merci bien.