Résolution d'une énigme

[invite1e25d2ab]

une princesse a l age que le prince aura quand la princesse aura le double de l age que le prince avait quand l age de la princesse etait la moitie de la somme de leur age actuel. quels sont leurs ages respectifs?
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[invite421bc1da]

Eh bien j'ai raisonné mathématiquement sur ton problème, et je trouve qu'il peut y avoir une infinité de solution (en admettant qu'ils peuvent vivre infiniment). Je donne ici uniquement la réponse, mais je peux détailler si tu veux:

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Le prince peut avoir un âge quelconque multiple de 3 (sauf 0), et si l'âge doit être juste, un multiple de 3 pair. Il suffit de multiplier alors cet âge par 4/3 et on a l'âge de la princesse. Ainsi, les âges respectifs peuvent être 6 et 8, 12 et 16, 18 et 24, 24 et 32, 30 et 40, 36 et 48,..., 37.537.662 et 50.050.216^^ et toutes ces solutions conviennent à l'énoncé.

[invite421bc1da]

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«Une princesse a l’âge que le prince aura quand la princesse aura le double de l’âge que le prince avait quand l’âge de la princesse était la moitie de la somme de leur âge actuel»

Soit x l’âge de la princesse et y l’âge du prince, x(1) et y(1) leur âge passé, x(2) et y(2) leur âge futur, A la différence x – x(1) ou y – y(1) et B la différence x(2) – x ou y(2) – y.



1) x(1) = (x + y)/2 = 1/2x + 1/2y ==> x(1) = 1/2x + 1/2y

2) A = x – x(1) = x – (1/2x + 1/2y) = 1/2x - 1/2y ==> A = 1/2x – 1/2y

3) y(1) = y – A = y – (1/2x - 1/2y) = 3/2y – 1/2x ==> y(1) = 3/2y – 1/2x

4) x(2) = 2y(1) = 2(3/2y – 1/2x) = 3y – x ==> x(2) = 3y – x

5) B = x(2) – x = 3y – x – x = 3y – 2x ==> B = 3y – 2x

6) y(2) = y + B = y + (3y – 2x) = 4y - 2x ==> y(2) = 4y – 2x

7) x = y(2) = 4y – 2x ==> x = 4y - 2x


Récapitulons :

Age Passé
x(1) = 1/2x + 1/2y
y(1) = 3/2y – 1/2x

Age Présent
x = 4y – 2x
y = y(1) – [x – x(1)] = 5y – 3x

Age Futur
x(2) = 3y – x
y(2) = 4y – 2x

Présent – Passé
A = 1/2x – 1/2y OU x – x(1) = 7/2y – 5/2x

Futur – Présent
B = 3y – 2x OU y(2) – y = x – y




A partir de la cinquième colonne :

1/2x + 5/2x – 1/2y – 7/2y = 0 ==> 3x – 4y = 0 ==> x = 4/3y

A partir de la dernière colonne :

3y + y – 2x – x = 0 ==> 4y – 3x = 0 ==> y = 3/4x

On retrouve la même relation.
En prenant n’importe quelle valeur de x et y respectant cette relation, on peut répondre à l’énoncé. On doit donc prendre les multiples de 3 (pairs si on veut l’âge juste) pour y et on multiplie par 4/3 pour obtenir x. Les plus petits âges possibles (justes) sont donc 6 et 8.

[invite421bc1da]

C'est pas ça?

[A voir en vidéo sur Futura]