Petits problèmes mathématiques ...

[invite1a99f682]

Bonjour, voici quelques petits exercice mathématiques ... Pour faire travailler les méninges ...

Enoncé n° 1 :
Marilyn rencontre Mme Dupond qui se promène avec sa fille.
- Bonjour, Mme Dupond, je vois que vous avez une fille qui vous ressemble beaucoup. Avez-vous d'autres enfants ?
- Oui, j'ai deux enfants, mais l'autre ressemble plus à son père !

Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille ?

Enoncé n° 2 :
Prenez les n premiers nombres entiers, additionnez-les, élevez la somme au carré,
vous obtenez la somme des cubes de ces n nombres. Autrement dit : le carré de la somme est égal à la somme des cubes.
Etonnant, non ?
Essayer de la démontrer ...

Enoncé n° 3 :
Trois chirurgiens doivent opérer un patient.
Mais il n'y a que deux paires de gants stériles.
Comment procéder pour qu'aucun chirurgien ne risque une contamination
(par les autres ou par le patient) ?

Enoncé n° 4 :
André et Bertrand sont volontaires pour repeindre la maison.
Mais Dédé est en meilleure forme que Bébert : il ne lui faut que 20 heures pour peindre une maison, alors que Bébert met 30 heures.
Alors, s'ils s'y mettent tous les deux, chacun à son rythme, il leur faudra combien d'heures pour repeindre la maison ?

Voilà pour commencer ... Les réponses d'ici quelques jours (quand j'aurais trouvé ...) !!!

Konkombre
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[invite8b12b286]

numéro 3: il y en a un qui sort...

numéro 4: sauf erreur de calcul: 12 heures

[yat]

Enoncé n° 1 :
Marilyn rencontre Mme Dupond qui se promène avec sa fille.
- Bonjour, Mme Dupond, je vois que vous avez une fille qui vous ressemble beaucoup. Avez-vous d'autres enfants ?
- Oui, j'ai deux enfants, mais l'autre ressemble plus à son père !

Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille ?

Hmmmm... je vois le piège, mais tel que l'énoncé est posé, je pense que ça colle pas. A partir du moment ou on peut clairement dire qu'il y a l'enfant avec qui Mme Dupond se promène et l'enfant qui est resté à la maison, on a un ensemble ordonné. Du coup pour l'autre enfant on tombe sur 1/2.

Pour détailler un peu, voici les possibilités (équiprobables) de couples avec deux enfants, en plaçant en premier celui qui se promène avec Mme Dupond :FF, FG, GF, GG. Parmi ces quatre possibilités, deux seulement peuvent correspondre à la situation : FF et FG.

[invite765732342432]

Pour détailler un peu, voici les possibilités (équiprobables) de couples avec deux enfants, en plaçant en premier celui qui se promène avec Mme Dupond :FF, FG, GF, GG. Parmi ces quatre possibilités, deux seulement peuvent correspondre à la situation : FF et FG.

Etant donné l'énoncé, je dirai que la probabilité est de 0% si l'on s'appuie sur cette phrase:
"Marilyn rencontre Mme Dupond qui se promène avec sa fille"
SA suppose qu'elle n'en a qu'une...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeecca5b6]

Pour détailler un peu, voici les possibilités (équiprobables) de couples avec deux enfants, en plaçant en premier celui qui se promène avec Mme Dupond :FF, FG, GF, GG. Parmi ces quatre possibilités, deux seulement peuvent correspondre à la situation : FF et FG.

Y'a une autre version de la solution, avec laquelle je ne suis pas tout a fait d'accord, mais qui est pourtant logique (au passage si quelqu'un pouvait me dire ou ca cloche)
Un couple qui a 2 enfants peut obtenir 4 "jeux" d'enfants differents:
GG, FF, FG, GF
Sachant qu'il y a au moins une fille, les possibilités sont
FF, GF et FG
Soit 2 chances sur 3 pour que l'autre soit un garcon (et pas 1/2)

Voila !

[invite1a99f682]

Bonjour,

Enoncé n° 1 :
Le fait qu'elle ait une fille, dérange les critères de yat. En effet ... attention, on sait déjà qu'elle a une fille ...

La réponse ce soir sinon ...

Enoncé n° 3 :
On a besoin des trois chirurgiens ... C'est la guerre, enfin !!! Il faut s'imaginer ...

Enoncé n° 4 :
Fin de la recherche, le calcul est bon. Vainqueur : Orel

Voili voilà ... bonne journée à tous

K.

[invite1a99f682]

Enoncé n° 1 :
Tout à fait Evil.Saien ... La probabilité qu'elle est donc deux filles est de 1/3 ...

Konkombre

[yat]

Enoncé n° 2 :
Prenez les n premiers nombres entiers, additionnez-les, élevez la somme au carré,
vous obtenez la somme des cubes de ces n nombres. Autrement dit : le carré de la somme est égal à la somme des cubes.
Etonnant, non ?
Essayer de la démontrer ...

Bon, alors soit U_n la somme des n premiers entiers, et V_n la somme des n premiers cubes.
Pour être fair play, j'imagine qu'il faut oublier ce qu'on nous a dit en cours là-dessus... hum... alors disons qu'en considérant les n premiers entiers comme des rectangles de largeur 1 et de longueur n, je les colle tous debout l'un à coté de l'autre (pour obtenir une sorte d'escalier), et je me rend compte que si je duplique la figure et que je la fais tourner de 180 degrés, je peux remplir le rectangle de cotés n et n+1... mon intuition me souffle donc que U_n=n(n+1)/2.
Admettons qu'au rang n, cette propriété est vraie.
On a donc U_n+1=n(n+1)/2 + n+1
U_n+1=(n(n+1)+2(n+1))/2
U_n+1=((n+1)(n+2))/2
Donc si la propriété est vraie au rang n, elle l'est au rang n+1, et comme U₁=1 vérifie cette égalité, pour tout n>0, U_n=n(n+1)/2

Maintenant, on peut vérifier que pour tout n>0, V_n=U_n²=n²(n+1)²/4

Admettons qu'au rang n, cette propriété est vraie.
V_n+1=n²(n+1)²/4 + (n+1)³
V_n+1=(n⁴+2n³+n²)/4 + n³+3n²+3n+1
V_n+1=(n⁴+2n³+n²+4n³+12n²+12n+4)/4
V_n+1=(n⁴+6n³+13n²+12n+4)/4
V_n+1=(n⁴+2n³+n²+4n³+8n²+4n+4n²+8n+4)/4
V_n+1=(n²+4n+4)(n²+2n+1)/4
V_n+1=(n+2)²(n+1)²/4
Donc si la propriété est vraie au rang n, elle l'est au rang n+1, et comme V₁=1 vérifie cette égalité, pour tout n>0, V_n=U_n²

[inviteeecca5b6]

Enoncé n° 3 :

Plusieurs altérnatives:
- y'en a un qui donne les ordres et les 2 autres qui agissent
- celui qui n'a pas de gants se contente de donner les outils
- 2 chirurgiens n'utilisent qu'une seule main

Une petite question : faut-il qu'ils operent les 3 en meme temps ??

[yat]

Y'a une autre version de la solution, avec laquelle je ne suis pas tout a fait d'accord, mais qui est pourtant logique (au passage si quelqu'un pouvait me dire ou ca cloche)
Un couple qui a 2 enfants peut obtenir 4 "jeux" d'enfants differents:
GG, FF, FG, GF
Sachant qu'il y a au moins une fille, les possibilités sont
FF, GF et FG
Soit 2 chances sur 3 pour que l'autre soit un garcon (et pas 1/2)

Ce n'est pas une autre version de la solution, mais une solution à une autre version du problème.

Dans le cas présent, on ne respecte pas l'équiprobabilité des possibilités : en effet, l'énoncé ne nous dit pas exactement "il y a au moins une fille". Les deux informations qu'on a ici sont "Mme Dupond se promène avec un de ses deux enfants" et "cet enfant est une fille". Comme elle peut se promener avec n'importe lequel de ses deux enfants, même s'il y avait une fille elle aurait très bien pu se promener avec le garçon. Dans ce cas précis, le fait qu'elle se promène avec une fille fait donc intervenir les probabilités conditionnelles, c'est à dire que sur les deux combinaisons FG et GF, il n'y avait qu'une chance sur deux que Mme Dupond se promène avec sa fille, alors que dans le cas FF, elle se promène nécessairement avec une fille. Le cas FF est donc aussi probable que les cas FG et GF réunis.

Du coup, dans le cas donné dans l'énoncé, on a bien une chance sur deux que l'autre soit une fille.

[inviteeecca5b6]

Ok ! tout a fait d'accord

[invite6c250b59]

Enoncé n° 3 :
Trois chirurgiens doivent opérer un patient.
Mais il n'y a que deux paires de gants stériles.
Comment procéder pour qu'aucun chirurgien ne risque une contamination
(par les autres ou par le patient) ?

Deux chirurgiens prenent chacun une paire de gant, et opèrent le troisième

[invite1a99f682]

Bonsoir,

Enoncé n° 3 :
La solution est la suivante :
Désignons les chirurgiens par 1, 2, et 3 et les gants par A et B
Le chirurgien 1 met les gants A , puis les gants B par dessus, et commence à opérer le patient,
Le chirurgien 2 lui retire les gants B, les enfile et opère à son tour,
Le chirurgien 3 retire les gants A du chirurgien 1 en les retournant (comme une chaussette),
Le chirurgien 3 met les gants A retournés, les gants B par dessus, et termine l'opération.

Et voilà, on a les droits ...

Enoncé n° 2 :
Il me semble que yat a raison ... Bien joué !!!

Konkombre

[yat]

Enoncé n° 2 :
Il me semble que yat a raison ... Bien joué !!!

Ah bon ? Je suis un peu déçu, là... y a pas de solution plus élégante que le calcul brut ?

[invite1a99f682]

ReSalut,

Si tu as tout à fait raison, il existe un solution géométrique mais je cherche toujours ... Désolé, un peu de patience et ça arrive ...

K.

[shokin]

Enoncé n° 2 :
Prenez les n premiers nombres entiers, additionnez-les, élevez la somme au carré,
vous obtenez la somme des cubes de ces n nombres. Autrement dit : le carré de la somme est égal à la somme des cubes.
Etonnant, non ?
Essayer de la démontrer ...

Géométriquement, ça fait !

Imaginez un quadrillage orthonormé.

Je considère un carré de côté 1,
lequel se trouve au coin d'un carré de côté 3,
lequel se trouve au coin d'un carré de côté 6,
lequel se trouve au coin d'un carré de côté 10,
...,
lequel se trouve au coin d'un carré de côté n(n+1)/3.

Imaginez algébriquement la différence entre deux de ces carrés :

[(n+1)(n+2)/2]^2-[n(n+1)/2]^2
=[(n+1)(n+2)/2 + n(n+1)/2]*[(n+1)(n+2)/2 - n(n+1)/2]
=[(n+1)(2n+2)/2]*[(n+1)(2)/2]
=[(n+1)^2]*[n+1]
=(n+1)^3

En passant pour démontrer le n(n+1)/2 géométriquement :

Imaginez un rectangle 1*1 (dans le même quadrillage orthonormé),
lequel se trouve à côté d'un rectangle 1*2,
lequel se trouve à côté d'un rectangle 1*3,
...,
lequel se trouve à côté d'un rectangle 1*n, pour que tous forment un escalier.

Dédoublez cet escalier et faites-en tourner un de pi, et les deux s'emboîtent pour former un rectangle de côtés n et n+1.

Shokin

[invite59be8752]

n°1 : 1/2

n°4: ((20/2)+(30/2))/2 = 12.5

[invite59be8752]

n°1 : exact probabilité que ce soit une fille 0%
elle se promene avec sa fille l'autre enfant ne peut donc etre qu'un garcon

faith a bien vu

[yat]

n°1 : 1/2

n°4: ((20/2)+(30/2))/2 = 12.5

Bon, pour le 1 moi je suis d'accord même si ce n'est pas la réponse attendue (problème d'énoncé), mais pour le 4, tu te trompes :
Bébert met 30 heures pour repeindre une maison, et Dédé en met 20.
Donc en 60 heures, Bébert aura repeint 2 maisons et Dédé 3. Si a eux deux ils repeignent 5 maisons en 60 heures, ils mettront donc 12 heures pour en repeindre une. Pas 12,5. Toi tu calcules la moyenne du temps qu'ils mettraient à peindre chacun la moitié d'une maison, ce qui n'a pas vraiment de sens.

[invite59be8752]

exact yat j'ai fait un raisonnement erroné

après vérification mea culpa

[invite8b12b286]

Ils auraient très bien pu se dire: on peint chacun une moitié de la maison...

Mais je pense qu'il était sous entendu qu'ils voulaient tout peindre le plus rapidement possible.

[shokin]

Je pense également à 12 heures pour ces deux peintres. Je ne fais que répéter ce qu'a dit Orel.

Shokin

[yat]

Ils auraient très bien pu se dire: on peint chacun une moitié de la maison...

Dans ce cas là ils auraient mis quinze heures. Et il y en a un qui se serait tourné les pouces pendant les cinq dernières heures en attendant que l'autre finisse.
Alors forcément, quand au bout de 12 heures et quatre minutesle chef de chantier va venir vérifier que la maison est bien repeinte selon les délais qu'il avait calculés, il va en voir un qui se tourne les pouces, et celui-ci va se faire remonter les bretelles alors qu'il est plus efficace et qu'il a déjà abattu plus de travail que l'autre.

Comme la vie peut être injuste...