soit OABC un tétraèdre trirectangle en O
montrer que le carré de laire de ABC est égal à la somme des carrés des aires des faces OAB OAC et OBC
jadore ce probleme je lavais fait en terminale et il mavait donné du fil à retordre!
amusez vous bien!
Parce qu'à 17 ans tu es plus en terminale ?
C'est devenu si rare, un an d'avance ?Envoyé par benjy_star
Cordialement,
non je ne suis plus en terminale je suis en PCSI
Bien sûr que non. C'est juste que ça pourrait ressembler à une fausse excuse pour faire l'exercice à la place de quelqu'un, alors je pose la question...
Bonjour
Un tétraèdre trirectangle, c'est un coin de cube, de sommet O.
La section ABC est un triangle équilatéral. Les trois autres faces sont des triangles rectangles isocèles.
Une fois qu'on a vu ça, cela aide bien :
Soit a la longueur du segment OA.
Les faces OAB, OBC et OCA sont des moitiés de carrés de côté a, donc leur aire vaut a2/2.
La longueur AB (=BC = BA car la base est un triangle équilatéral) est la diagonale de ce carré. Donc AB = a * sqrt(2).
La hauteur d'un triangle équilatéral vaut sqrt(3)/2 fois sa base (on peut vérifier le théorème de pythagore).
Donc son aire vaut base x hauteur /2 = base * base * sqrt(3) /2 /2
Ici, base = AB, donc on a
Aire(ABC) = base * base * sqrt(3) /2 /2
= a * sqrt(2) * a * sqrt(2) * sqrt(3) /2 /2
= a2 * 2 * sqrt(3) /2 /2
= a2 * sqrt(3) / 2
Elevons les aires obtenues au carré :
Carré de l'aire (ABC) = 3* a4/4
Carré de l'aire (OAB) = a4/4
Donc on a bien Carré de l'aire (ABC) = Somme des carrés des trois autres aires (identiques).
CQFD
Dans un espace vectoriel discret, les boules fermées sont ouvertes.
Jolie démonstration pio2001.
Voilà un beau petit problème avec un objet géométrique simple qui fait intervenir à la fois les deux classiques de la géométrie utilisant les deux premières racines carrées d'entier naturels :
la diagonale du carré pour sqrt(2) et la hauteur du triangle équilatéral pour sqrt(3).
L'utisation des deux triangles particuliers les plus courants : le triangle isocèle rectangle et le triangle équilatéral et leur assemblage dans l'espace est aussi remarquable.
Bel exercice.
Pourquoi?
Cordialement,
Ce triangle est équilatéral car il a trois côtés de longueur a*sqrt(2) avec a qui est la longueur de l'arête du tétraèdre, ou encore a est la longueur de l'arête du cube dont est extrait le tétraèdre trirectangle.
Et c'est où dans l'énoncé tout ça?
Cordialement,
Oups !
C'est vrai, çà.
Copie à revoir : est-ce que cela marche dans le cas général ?
C'est ce que sous-entend l'énoncé du message #1.est-ce que cela marche dans le cas général ?
Cordialement,
PS: Je sais très bien que l'énoncé parle de carrés...
En effet, j'ai sauté sur une intuition qui n'était pas la bonne. Le "coin de cube" n'est pas forcément coupé perpendiculairement à la diagonale du cube.
Dans un espace vectoriel discret, les boules fermées sont ouvertes.
J'ai une démonstration en utilisant les outils basiques de relations métriques dans un triangle.
Cliquez pour afficher
Je vais développer la démo esquissée dans un de mes messages précédents, pour montrer une alternative.
Cliquez pour afficher
L'utilisation des produits vectoriels et leur interprétation géométrique est bien plus élégante que mon calcul littéral.
Mais il faut bien que la solution algébrique fonctionne et même si l'outil est lourd, il ne peut qu'aboutir.
Mais j'ai mis beaucoup de temps à trouver la bonne manière d'aborder les calculs, en tous cas beaucoup plus que ce qu'a demandé la solution géométrique à mmy.
Oui. Mais d'une certaine manière c'est plutôt l'usage de vecteurs surface qui est "lourd" : c'est de l'artillerie lourde! Si la solution que tu proposes demande plus d'huile de coude, elle part d'une base plus légère.
J'ai quand même posté l'approche avec la notion de "vecteurs surface" parce qu'elle montre un peu mieux ce qu'il se passe. Elle est plus "3D" en particulier.
Et, que la relation puisse se voir comme à la 3D ce que le théorème de pythagore est à la 2D est plus "transparent".
Cordialement,
Exactement !
Cette relation très pythagoricienne dans sa formulation, il a bien fallu que quelqu'un la découvre à un moment.
Trouver la réponse est une chose, mais trouver la question, c'est quand même mieux.
La géométrie donne une vision de ce qui se passe.
L'algèbre, non. Quand le dévellopement en 21 monômes (le long dévellopement que j'écris en fin de démo-j'ai d'ailleurs oublié d'en écrire deux de ces monômes) s'est réduit à une somme de 3 monômes, qui allaient bien, je me demandais : mais comment pouvait-on imaginer que cela allait arriver ?
