Tétraèdre.

[invitef2708712]

Bonsoir l'exercice ci-dessous me pose une difficulté:

ABCD est un tétraèdre. G est le centre de gravité du triangle BCD, I le milieu de [CD], J le milieu de [AG] et K le barycentre de (A;3) et (B;1).
1/ Faire une figure et préciser l'égalité vectorielle permettant de construire K.
2/ Démontrer que les points I, J et K sont alignés.

Pour la 1/, j'en ai déduit que l'égalité vectorielle est: vect AK = 1/4 vect AB.
Mais, je ne sais pas comment démontrer que les points I, J et K sont alignés.

Je vous remercie pour l'aide que vous voudriez bien m'accorder.
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[Eriko]

Coordonnées barycentriques par rapport à A, B, C, D de :

I (0, 0, 1, 1) qu'on normalise => (0, 0, 1/2, 1/2)
J (3, 1, 1, 1) qu'on normalise => (1/2, 1/6, 1/6, 1/6)
K (3, 1, 0 , 0) qu'on normalise => (3/4, 1/4, 0, 0)

Tu trouves bien J milieu de [IK]

[Eriko]

Comme étape intermédiaire si tu ne comprends pas :

G barycentre de BCD donc ses coordonnées barycentriques par rapport à A, B, C, D sont (0, 1, 1, 1) (qu'on normalise normalement mais vu qu'on passe à l'étape suivante directe...) et comme J est le milieu de [AG] => ((1+1+1), 1, 1, 1) = (3, 1, 1, 1)

[Eriko]

Tu trouves bien J milieu de [IK]

Mea Culpa : J barycentre de (K, 2) (I, 1), il va falloir que je réapprenne à compter... 3+1 != 1+1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef2708712]

2/ On sait que I est le milieu de [CD] alors, vect IC + vect ID = vect 0.
De même, J, étant le milieu de [AG] alors, vect JA + vect JG = vect 0 et donc, l'isobarycentre de A et de G.
Par réduction, on a: vect KC + vect KD = 2vect KI et vect KA + vect KG = 2vect KJ.
On peut en déduire que J est le barycentre de {(A;3)(G;3)}.
G étant le centre de gravité, du triangle BCD, on utilise le théorème du barycentre partiel, pour obtenir que J est le barycentre de {(A;3), (B;1), (C;1), (D;1)}.
En utilisant, à nouveau, le théorème du barycentre partiel mais, en regroupant, d'une part, les points pondérés (A;3), (B;1) et d'autre part, les points pondérés (C;1) et (D;1), on constate que J est le barycentre de {(K;4), (I;2)}.
Or, pour démontrer un alignement de trois points, à l'aide du barycentre, on fait apparaître l'un des points comme barycentre des deux autres affectés de coefficients, qu'on a déterminé.
Par conséquent, les points I, J et K sont donc, bien alignés.

Qu'en pensez-vous?