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Polygones



  1. #1
    dgidgi

    Polygones


    ------

    Dans cette image :



    Combien voyez-vous :
    de losanges ?
    de trapèzes isocèles ?
    de parallélogrammes qui ne soient pas des losanges ?
    d'hexagones réguliers ?

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    dgidgi

    Re : Polygones

    Bon, commençons simplement, par les losanges par exemple.
    Ils ont cette forme :


    La grande diagonale est verticale, chacun des triangles équilatéraux qui le composent pouvant lui-même contenir d'autres triangles équilatéraux.

    Ces losanges ne sont pas difficiles à compter, il y en a autant que de triangles dénommés aux antipodes par certains ou antipodistes par d'autres dans un fil voisin, au motif qu'ils ont la tête en bas.

    Ils ont déjà été comptés !

  4. #3
    JPL
    Responsable des forums

    Re : Polygones

    Il y a des losanges de taille supérieure.
    Images attachées Images attachées
    Rien ne sert de penser, il faut réfléchir avant - Pierre Dac

  5. #4
    dgidgi

    Re : Polygones

    Bien sûr qu'il ya des losanges de taille supérieure. C'est ce que je dis en affirmant :" chacun des triangles équilatéraux qui le (mis pour le losange) composent pouvant lui-même contenir d'autres triangles équilatéraux".
    Ce que je veux dire, c'est que tous les losanges (qui ont donc ici un côté mesurant de un à cinq unités, l'unité étant la longueur du triangle équilatéral de base) ont tous la même orientation : la grande diagonale verticale, et que cela facilite la tâche du comptage.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    dgidgi

    Re : Polygones

    Citation Envoyé par dgidgi Voir le message
    Bien sûr qu'il ya des losanges de taille supérieure. C'est ce que je dis en affirmant :" chacun des triangles équilatéraux qui le (mis pour le losange) composent pouvant lui-même contenir d'autres triangles équilatéraux".
    Ce que je veux dire, c'est que tous les losanges (qui ont donc ici un côté mesurant de un à cinq unités, l'unité étant la longueur du triangle équilatéral de base) ont tous la même orientation : la grande diagonale verticale, et que cela facilite la tâche du comptage.
    Euh, cela m'a l'air d'une belle bétise....
    Il y a en fait trois familles de losanges, chacune d'elle ayant sa grande diagonale dans la direction d'un des axes de symétrie du triange équilatéral...

  8. #6
    SunnySky

    Re : Polygones

    Citation Envoyé par dgidgi Voir le message
    Il y a en fait trois familles de losanges, chacune d'elle ayant sa grande diagonale dans la direction d'un des axes de symétrie du triange équilatéral...
    Oui, bien sûr. Mais ça ne complique pas beaucoup le problème...

     Cliquez pour afficher
    Le monde se divise en 10 : ceux qui connaissent le code binaire et ceux qui ne le connaissent pas.

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  10. #7
    dgidgi

    Re : Polygones

    Ce n'était pas trois fois rien.
    Bien vu, SunnySky.

    On passe aux hexagones réguliers ?

  11. #8
    SunnySky

    Re : Polygones

    Pour les hexagones réguliers...

     Cliquez pour afficher
    Le monde se divise en 10 : ceux qui connaissent le code binaire et ceux qui ne le connaissent pas.

  12. #9
    dgidgi

    Re : Polygones

    Moi aussi, on va dire qu'on a bon.

    Bravo donc.

    On passe aux trapèzes isocèles ?
    Le décompte est plus long, les classer selon l'orientation de leur axe de symétrie me semble une idée raisonnable : comme pour les losanges, les rotations d'angles et de centre : le centre du triangle équilatéral le plus grand (ou bien celui du plus petit situé en plein centre de la figure), ces rotations laissent invariante la figure.
    Dernière modification par dgidgi ; 06/02/2011 à 16h02.

  13. #10
    SunnySky

    Re : Polygones

    Décompte vite fait...

     Cliquez pour afficher


    Peut-être trop vite fait.
    Le monde se divise en 10 : ceux qui connaissent le code binaire et ceux qui ne le connaissent pas.

  14. #11
    SunnySky

    Re : Polygones

    Beaucoup trop rapide en effet.

    Deuxième essai:

     Cliquez pour afficher
    Le monde se divise en 10 : ceux qui connaissent le code binaire et ceux qui ne le connaissent pas.

  15. #12
    dgidgi

    Re : Polygones

    Il en manque, mais sans détails, je ne sais pas dire lesquels.

    Quoique, sans être devin, je pense qu'il manque tous les trapèzes isocèles ayant la petite base vers le bas, pour ceux ayant l'axe de symétrie vertical, ainsi que ceux qu'on obtient à partir d'eux par rotation.

    On pourrait les appeler trapèzes isocèles antipodiens ou antipodistes.

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  17. #13
    SunnySky

    Re : Polygones

    J'explique ma réponse précédente.

    À mon avis tout trapèze est le résultat de la soustraction d'un triangle moins un triangle.

    Évidemment aucun trapèze ne peut être formé à partir d'un triangle de côté=1.

    Chaque triangle de côté=2 peut former 3 trapèzes. Je compte donc 3*45=135.

    Chaque triangle de côté=3 peut former 6 trapèzes. Je compte donc 6*36=216.

    Etc.

    Mais voilà...

    J'ai oublié de compter les triangles avec la tête en bas.

    Zut. Tu as raison, il m'en manque.

    Mais je connais mon erreur et je peux la corriger. Demain, peut-être. Là, j'arrive du Superbowl avec les idées pas très claires...
    Dernière modification par SunnySky ; 07/02/2011 à 04h03.
    Le monde se divise en 10 : ceux qui connaissent le code binaire et ceux qui ne le connaissent pas.

  18. #14
    dgidgi

    Re : Polygones

    Citation Envoyé par SunnySky Voir le message
    J'explique ma réponse précédente.

    À mon avis tout trapèze est le résultat de la soustraction d'un triangle moins un triangle.

    Évidemment aucun trapèze ne peut être formé à partir d'un triangle de côté=1.

    Chaque triangle de côté=2 peut former 3 trapèzes. Je compte donc 3*45=135.

    Chaque triangle de côté=3 peut former 6 trapèzes. Je compte donc 6*36=216.

    Etc.

    ...
    Bonne idée !!
    Ce décompte rejoint le mien (pour cette catégorie de trapèzes petite base "en haut") et c'est rassurant.
    Il pourra aussi être utilisé pour une autre catégorie de quadrilatères, ce n'est guère difficile maintenant de deviner laquelle.

  19. #15
    dgidgi

    Re : Polygones

    Citation Envoyé par dgidgi Voir le message
    Bonne idée !!
    Ce décompte rejoint le mien (pour cette catégorie de trapèzes petite base "en haut") et c'est rassurant.
    Il pourra aussi être utilisé pour une autre catégorie de quadrilatères, ce n'est guère difficile maintenant de deviner laquelle.
    Bon, je me cite moi-même, cela devient grave.

    Le décompte fait précédemment par SunnySky permet de compter les trapèzes ayant la grande base vers le bas (et ceux qu'on obtient par rotation de et ).
    mais il permet de compter aussi les parallélogrammes.

    Ainsi donc, SunnySky a trouvé le nombre de parallélogrammes.
     Cliquez pour afficher

    Mais attention, dans ce nombre de parallélogrammes sont inclus les losanges qui sont des parallélogrammes particuliers, mais qui ont déjà été dénombrés. Ils sont donc à retrancher du nombre total de parallélogrammes pour obtenir le nombre de parallélogrammes qui ne sont pas des losanges.

     Cliquez pour afficher


    Le comptage des trapèzes n'est pas terminé...
    Dernière modification par dgidgi ; 08/02/2011 à 19h45. Motif: qui ne sont pas des losanges

  20. #16
    dgidgi

    Re : Polygones

    Erratum.
    Il fallait lire :
     Cliquez pour afficher


    et

     Cliquez pour afficher


    Je commence à m'embrouiller...

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