Polygones

[invite36e4dbaa]

Dans cette image :



Combien voyez-vous :
de losanges ?
de trapèzes isocèles ?
de parallélogrammes qui ne soient pas des losanges ?
d'hexagones réguliers ?
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[invite36e4dbaa]

Bon, commençons simplement, par les losanges par exemple.
Ils ont cette forme :


La grande diagonale est verticale, chacun des triangles équilatéraux qui le composent pouvant lui-même contenir d'autres triangles équilatéraux.

Ces losanges ne sont pas difficiles à compter, il y en a autant que de triangles dénommés aux antipodes par certains ou antipodistes par d'autres dans un fil voisin, au motif qu'ils ont la tête en bas.

Ils ont déjà été comptés !

[JPL]

Il y a des losanges de taille supérieure.

[invite36e4dbaa]

Bien sûr qu'il ya des losanges de taille supérieure. C'est ce que je dis en affirmant :" chacun des triangles équilatéraux qui le (mis pour le losange) composent pouvant lui-même contenir d'autres triangles équilatéraux".
Ce que je veux dire, c'est que tous les losanges (qui ont donc ici un côté mesurant de un à cinq unités, l'unité étant la longueur du triangle équilatéral de base) ont tous la même orientation : la grande diagonale verticale, et que cela facilite la tâche du comptage.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite36e4dbaa]

Bien sûr qu'il ya des losanges de taille supérieure. C'est ce que je dis en affirmant :" chacun des triangles équilatéraux qui le (mis pour le losange) composent pouvant lui-même contenir d'autres triangles équilatéraux".
Ce que je veux dire, c'est que tous les losanges (qui ont donc ici un côté mesurant de un à cinq unités, l'unité étant la longueur du triangle équilatéral de base) ont tous la même orientation : la grande diagonale verticale, et que cela facilite la tâche du comptage.

Euh, cela m'a l'air d'une belle bétise....
Il y a en fait trois familles de losanges, chacune d'elle ayant sa grande diagonale dans la direction d'un des axes de symétrie du triange équilatéral...

[SunnySky]

Il y a en fait trois familles de losanges, chacune d'elle ayant sa grande diagonale dans la direction d'un des axes de symétrie du triange équilatéral...

Oui, bien sûr. Mais ça ne complique pas beaucoup le problème...

 Cliquez pour afficher

Il suffit de donner une rotation de 120 degrés puis de 240 degrés à la figure pour trouver, par symétrie, le nombre de "losanges inclinés". À mon avis, 3*95 devrait être la solution.

[invite36e4dbaa]

Ce n'était pas trois fois rien.
Bien vu, SunnySky.

On passe aux hexagones réguliers ?

[SunnySky]

Pour les hexagones réguliers...

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J'en vois 36+15+3=54.

[invite36e4dbaa]

Moi aussi, on va dire qu'on a bon.

Bravo donc.

On passe aux trapèzes isocèles ?
Le décompte est plus long, les classer selon l'orientation de leur axe de symétrie me semble une idée raisonnable : comme pour les losanges, les rotations d'angles et de centre : le centre du triangle équilatéral le plus grand (ou bien celui du plus petit situé en plein centre de la figure), ces rotations laissent invariante la figure.

[SunnySky]

Décompte vite fait...

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231

Peut-être trop vite fait.

[SunnySky]

Beaucoup trop rapide en effet.

Deuxième essai:

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1485

[invite36e4dbaa]

Il en manque, mais sans détails, je ne sais pas dire lesquels.

Quoique, sans être devin, je pense qu'il manque tous les trapèzes isocèles ayant la petite base vers le bas, pour ceux ayant l'axe de symétrie vertical, ainsi que ceux qu'on obtient à partir d'eux par rotation.

On pourrait les appeler trapèzes isocèles antipodiens ou antipodistes.

[SunnySky]

J'explique ma réponse précédente.

À mon avis tout trapèze est le résultat de la soustraction d'un triangle moins un triangle.

Évidemment aucun trapèze ne peut être formé à partir d'un triangle de côté=1.

Chaque triangle de côté=2 peut former 3 trapèzes. Je compte donc 3*45=135.

Chaque triangle de côté=3 peut former 6 trapèzes. Je compte donc 6*36=216.

Etc.

Mais voilà...

J'ai oublié de compter les triangles avec la tête en bas.

Zut. Tu as raison, il m'en manque.

Mais je connais mon erreur et je peux la corriger. Demain, peut-être. Là, j'arrive du Superbowl avec les idées pas très claires...

[invite36e4dbaa]

J'explique ma réponse précédente.

À mon avis tout trapèze est le résultat de la soustraction d'un triangle moins un triangle.

Évidemment aucun trapèze ne peut être formé à partir d'un triangle de côté=1.

Chaque triangle de côté=2 peut former 3 trapèzes. Je compte donc 3*45=135.

Chaque triangle de côté=3 peut former 6 trapèzes. Je compte donc 6*36=216.

Etc.

...

Bonne idée !!
Ce décompte rejoint le mien (pour cette catégorie de trapèzes petite base "en haut") et c'est rassurant.
Il pourra aussi être utilisé pour une autre catégorie de quadrilatères, ce n'est guère difficile maintenant de deviner laquelle.

[invite36e4dbaa]

Bonne idée !!
Ce décompte rejoint le mien (pour cette catégorie de trapèzes petite base "en haut") et c'est rassurant.
Il pourra aussi être utilisé pour une autre catégorie de quadrilatères, ce n'est guère difficile maintenant de deviner laquelle.

Bon, je me cite moi-même, cela devient grave.

Le décompte fait précédemment par SunnySky permet de compter les trapèzes ayant la grande base vers le bas (et ceux qu'on obtient par rotation de et ).
mais il permet de compter aussi les parallélogrammes.

Ainsi donc, SunnySky a trouvé le nombre de parallélogrammes.

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1985

Mais attention, dans ce nombre de parallélogrammes sont inclus les losanges qui sont des parallélogrammes particuliers, mais qui ont déjà été dénombrés. Ils sont donc à retrancher du nombre total de parallélogrammes pour obtenir le nombre de parallélogrammes qui ne sont pas des losanges.

 Cliquez pour afficher

nombre de parallélogrammes qui ne sont pas des losanges :
1985 - 395 = 1590
le nombre de parallélogrammes qui ne sont pas des losanges est 1 590

Le comptage des trapèzes n'est pas terminé...

[invite36e4dbaa]

Erratum.
Il fallait lire :

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nombre de parallèlogrammes total : 1485

et

 Cliquez pour afficher

nombre de parallélogrammes non losanges :
1 485 - 285 = 1 200

Je commence à m'embrouiller...