constante de polygones réguliers

[invitef3dee274]

Le cercle possède une constante appelée pie. Quand est t'il des polygones réguliers tel le triangle équilatéral, le carré, le pentagone régulier etc...

Nous devons calculer le rapport entre 2 fois l'apothème et le périmètre de la figure.(inspiré du cercle)

Un carré d'apothème 3 a un périmètre de 24

Ainsi, la constante du carré est 24/(2*3)=4

Appelons la Ca

Ainsi le périmètre P du carré=
4*2*3=24
OU
2*Ca*a (même formule que le cercle )
=2*4*3=24 !!!
Son aire =
(3*2)²=36
Ou
Ca*a²(hey...comme le cercle!)
=4*3²=36


Prenons un triangle équilatéral d'apothème 4
c:côté du triangle

tan30=4/(c/2)

c/2=4/tan30

c=8/(1/racine(3))=8racine(3)

alors...la constante du triangle(appelons la Tri)=
(3*8racine(3))/(2*4)=3racine3

P=3*c=3*8racine3=24racine3
OU
2*tri*a=2*3racine3*4=24*racine 3

A=(c*a)/2*3
A=8racine(3)*4/2*3
A=48 racine3
OU
A=Tri*a²=3racine3 * 4²=48 racine3


En résumé, pour des polygones réguliers… Constante de polygone=
Périmètre/2 apothème

P=2constante*a
=2(P/2a)*a
P=P/a*a
P=P !!! Nous avons donc la réponse facilement grâce à la constante! Il faudrait la connaître pour chaque figure pour sauver du temps si on nous donne l’apothème et qu’il faut trouver immédiatement le périmètre.


A=constante*a²
A=P/2a*a²
A=(P/2)a


J'aimerais savoir si vous y voyez des erreurs, sinon tant mieux! Je ne pourrais expliquer pourquoi l'aire de tous polygones réguliers est égale au demi-périmètre multiplié par son apothème. Je ne l'ai pas essayé avec d'autres polygones que le carré et la triangle, mais je crois que ceci fonctionne bien avec tous les polygones réguliers.
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[inviteb87056e0]

Ce que tu trouves à faire mon ami, si je ne me trompe, c'est simplement des rapports de figures semblables.

[invitef3dee274]

Oui en gros c'est ça, mais en bout de ligne sa donne quand meme que A=a*(p/2) je trouve ça interessant. Cependant je ne compare pas vraiment 2 figure entre elle, mais les composante de la figure entre eux.

Bref je fait

P1/2a1=P2/2a2=Pn/2an (les chiffres et le n apres son des indices...)

ce qui revient à faire
P1/P2=2a1/2a2...

simplemetn que c'est polygones réguliers sont plsu utilisé que 2 triangle quelquon semblables et mériteraient d'avoir leur constante autant que le cercle Ce qui est surtout interessant est que les formules du cercle s'appliquent à ces polygones aussi avec leur propres constantes.

[inviteb87056e0]

Ta formule revient à diviser le périmètre par la mesure d'un segment. Il va donc de soit que la constante du carré est quatre. L'apothème d'un carré est égale à la mesure de la moitié d'un segment.

Pardon j'ai voulu éditer le message, mais il était trop tard.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb87056e0]

La constante d'un hexagone ne serait pas 6 par hasard ?

L'ami, le problème c'est que si je ne te donne pas le nom de la figure mais son apothème tu vas multiplier par deux pour trouver la mesure d'un segment et tu seras bloqué là. Ce qui est impressionant du nombre pi c'est justement qu'un cercle possède une infinité de côtsé et que la constante n'est pas rationnelle.

Théorème :

La constante d'un polygone est égal au nombre de côté qu'il possède c'est ça ?

[invitef3dee274]

Pour le carré c'est beaucoup plus simple je l'a trouvais surtout lfun pour le triangle la

[invitef3dee274]

je ne croirais pas il faudrai la calculer... la constante du triangle n'est pas 3...

je peux bien la calculer ici...
Hexagone d'apothème 1...
l'hexagone est composé de 6 triangle équilatéral, son rayon égale son coté
a²+(c/2)²=c²
a²=3c²/4
c²=4a²/3
c=racine(4a²/3)=2a/(racine3)=(2a*racine3)/3

P=6*(2a*racine3)/3=4a*racine3
Constante= P/2a=2racine3

il y a peut-etre des erreurs je l'ai fait un peu vite mais en gros c'est pas 6

[inviteb87056e0]

Aussi, pour un triangle équilatéral, un angle de 30 degrés est impossible.

[invitef3dee274]

iii la tu comprend un peu tout croche ce que j'ai dit je multiplie pas l'apothème par 2 pour trouvé le côté... l'apothème est pas toujoru la moitié d'un segement...
Je fait P/2a pour la constance car le cercle c'est P/d... d étant 2r... Ceci marche avec l'apothème des figures et non leur rayon( oui il y aura une constante mais elle ne marchera pas avec les formule du cercle...enfin je ne crois pas)

[inviteb87056e0]

Triangle équilatéral de côté 5cm.

Cste = P/2a
= 15/2(4)
= 15/8

P = 2Cste(a)
= 2(15/8)(4)
= 15

A = Cste(a²)
=(15/8)(16)
= 30

Est-ce que j'ai bien appliqué ce que tu proposes ?

[invitef3dee274]

non pas vraiment... la constante je lai deja mis et calculé(3racine3) sa depend pas du coté cest toujoru pareil...et de plsu lapotheme tu la msi a 4 cm mais un triangle équilatéral de 5 cm na pas un apotheme de 4 cm sa c sur!

[invitef3dee274]

pour l'angle de 30 degré cest que je divise le triangle en autre triangle ... bref je le divise en 3 triangle dont les coté sont les apotheme et je redivise cest triangle en 2... il on un angle de 90 un de 60 et bel et bien un de 30

[inviteb87056e0]

Triangle équilatéral de 5cm.

Apothème = (18,75)^0,5

Constante = Périmètre/2a
Constante = 15/2(18,75)^0,5
Constante = 1,73205...

Périmètre = 2Constante(a)
Périmètre = 2(1,73205)(18,75)^0,5
Périmètre = 15

Aire = Constante(a²)
Aire = 1,73205(18,75)
Aire = 32,47595...

Le périmètre est bon, pour une raison que j'ignore, mais l'aire me semble fausse. Après tout je suis très fatigué alros c'est peut-être moi qui m'invente des théorèmes ?

[invitef3dee274]

je doit avouer que je pige pas comment tu calcul ton apothème 18,75^0,5 ???.... et de 2 pour la milieme fois... je lai calculer la constante cest 3*racine de 3 lol..et sa donne pas 1,7 donc cest sur que ton apotheme est pas bonne

[inviteb87056e0]

L'apothème c'est un segment issu d'un sommet qui est perpendiculaire au côté opposé. Or dans un triangle équilatéral, il coupe le segment opposé en deux parties égales.

Hypothénuse^2 = a^2 + b^2
Hypothénuse^2 - a^2 = b^2
25 - 6,25 = b^2
18,75 = b^2
(18,75)^0,5 = b ( apothème )

Aire = Base x Apothème / 2
et non
Aire = Périmètre x Apothème / 2

[invitef3dee274]

aaa cest la que tu te trompe... l'apothème c'est un segement qui aprt du milieu du triangle jusqu'à la moitié d'un segement( ce qui implique que l'apotheme et perpendiculaire au segement)...imagine que c'est la rayon mais qui part pas du sommet mais de la moitié d'un coté...toi tu melange apotheme et hauteur.... tu aprle de la hauteur la!

[inviteb87056e0]

Ça fonctionne dans ce cas là !

( Ouh là là les notions de géométries sont loins )

[invitef3dee274]

Héhé! De plus je remarque que les constante tandent vers pie plus on ajoute des coté à notre polygone régulier...

triangle: 3 racine de 3( environ 5,2)
carré:4
hexagone: 2 racine de 3( environ 3,46)
...
cercle: 3,14159...

[inviteb87056e0]

J'ose avancer que c'est justement parce que l'on se rapproche de plus en plus d'un cercle. C'est à dire une figure qui a un nombre infini de côtés.

[invitef3dee274]

J'ose répondre que je suis tout à fait de ton avis!

[Universus]

Salut,

Je m'étais posé exactement la même question que toi et voici qu'est-ce que j'avais trouvé :

Avant tout, il faut préciser quelques variables qui seront utiles par la suite, soit:

, le rayon du cercle dans lequel est inscrit le polygone;
, le rayon du cercle inscrit dans le polygone ou l'apothème du polygone;
, le périmètre du polygone;
, la mesure d'un côté du polygone;
, le nombre de côté du polygone;

selon les formules suivantes :



et les rapports trigonométriques qui y sont liés

( est en degrés)

Premièrement, il y a le cas des polygones réguliers ayant un nombre de côté pair (carré, hexagone, octogone, etc.). Ceux-ci ont deux sortes de diagonales, disons la "grande diagonale" et la "petite diagonale" . est la diagonale partant d'un sommet du polygone, passant par son centre et finissant au sommet opposé. est la diagonale commençant au centre d'un côté, passant par le centre du polygone et finissant au centre du côté opposé.





Grâce à cela, on peut trouver le rapport entre le périmètre et les diagonales :





Deuxièmement, dans le cas des polygones réguliers ayant un nombre de côtés impair (pentagone, heptagone, etc), on a :

, la "moyenne diagonale" débutant à un sommet, passant par le centre du polygone et terminant au centre du côté opposé à l'angle de départ.



Là, ici, dépendamment de comment on procède, on peut trouver plusieurs formules équivalentes. La plus simple, dont je ne trouve pas la démarche... mais voilà :



Pour trouver , on utilise et dans les équations précédentes selon :



En espérant que cela n'a pas été trop long

Amicalement

[invitef3dee274]

Je ne comprend pas comment a peut être exprimé en degré si c'est l'apothème ou le rayon.... a est une longeur d'un segment et non une longueur d'arc...

[invitef3dee274]

Pour continuer, en pensant un peu, l'aire de tous polygone réguliers peut être divisible en n triangle( n étant le nombre de coté, et ces triangles ayant pour aire
c(le côté)*a(l'apothème) /2

Donc, l'aire = n( c*a/2)
le périmètre = nc
revenons à l'aire... = (nc)a/2
=Pa/2

Ce qui prouve ma théorie sur les constantes de chaques polygones réguliers:
Constante=P/2a
P=2C(constante)*a et
A=C*a² OU A=a*p/2 ( par substitution de la constante)

[inviteb87056e0]

J'ai joué avec les triangles après t'avoir parlé et j'en suis venu à :

apothème = 2Aire/périmètre

C'est valable pour tous les polygones réguliers. Mais lorsqu'on parle d'un cercle, l'apothème devient le rayon. C'est donc évident qu'il y existe une constante pour toutes les figures géométriques. C'est la même chose que toi.

[invitef3dee274]

comment en est tu arrivé à cela

[Universus]

Je ne comprend pas comment a peut être exprimé en degré si c'est l'apothème ou le rayon.... a est une longeur d'un segment et non une longueur d'arc...

Désolé, en fait, c'est qu'il existe a, l'apothème ainsi qu'alpha, un angle. En utilisant LaTeX, les deux lettres se ressemblent grandement... Mais alpha est légèrement plus ronde

J'ai joué avec les triangles après t'avoir parlé et j'en suis venu à :

apothème = 2Aire/périmètre

C'est valable pour tous les polygones réguliers

En effet. Chaque polygone régulier est composé de triangles isométriques de hauteur (l'apothème du polygone) et de base (le côté du polygone). Sachant que pour un seul de ces triangles, on a:



On trouve que l'aire du polygone est :



En isolant le , on obtient son équivalent, soit :



Amicalement

[invitef3dee274]

ca je sais je l'ai même écris plus haut! je voulais savoir s'il avait trouvé un autre moyen d'y arriver

[Universus]

D'accord, oui tu l'as trouvé. Mais où veux-tu en venir?

Ce qui prouve ma théorie sur les constantes de chaques polygones réguliers:
Constante=P/2a
P=2C(constante)*a et
A=C*a² OU A=a*p/2 ( par substitution de la constante)

Cela ne fonctionne pas pour les polygones réguliers ayant impair.

Puis la longueur de ta démarche n'est pas pratique. Pour m'en assurer, peux-tu m'expliquer comment tu procèdes pour calculer la constante d'un icosagone () de rayon 4,8 cm? Merci.

Sinon, de ce que nous parlons n'a rien de révolutionnaire : http://fr.wikipedia.org/wiki/Polygone

Amicalement

[inviteb87056e0]

Pour un triangle équilatéral.

Divisons le en trois triangles équilatéraux. Pour ces triangles , la hauteur correspond à l'apothème du grand triangle. Appellons le grand triangle G et les petits Z₁,Z₂ et Z₃. L'aire du grand triangle est égale à la somme des aires de Z₁,Z₂ et Z₃. Or l'aire de ces petits triangles est " base x hauteur / 2 ". Or donc l'aire du grand triangle est égale à " 3(base x hauteur /2) ". La hauteur de l'équation précédente est celle des petits triangles. Ça revient à dire " 3 x base x apothème /2 " dans quoi l'apothème est celle du grand triangle soit G. Considérons notre première équation :

a = apothème, b = base, A = aire, P = périmètre

(1) A = (3/2)ba
(2) P = 3b

De par la deuxième équation :

(3) b = P/3

Substitution de la formule 3 vers la formule 2 :

(4) A = (3/2)(P/3)a
(4) a = 2A/p

Pour un hexagone régulier :

L'aire d'un hexagone est égale à la somme des aires des 6 triangles équilatéraux qui le composent. L'aire de chacun de ces triangles est égale à " base x hauteur / 2 ". Par contre, la hauteur de ces petits triangles est égale à l'apothème de l'hexagone. Nous pouvons alors dire que :

a = apothème, b = base = côté de l'hexagone, A = aire, P = périmètre

(1) A = 6(base x hauteur /2)

* La hauteur étant celle des petits triangles. Elle correspond à l'apothème de l'hexagone :

(2) A = 3ba
(3) P = 6b

De par l'équation 3 :

(4) b = p/6

Par substitution de la quatrième équation vers la deuxième :

(5) A = 3(p/6)a
(5) A = pa/2

Par manipulations algébriques on peut dire que :

(6) a = 2A/p

Pour un polygone régulier à n côtés :

(1) A = n( base x apothème /2)
(2) P = nb
(3) b = P/n
(4) a = 2A/p

Bien sûr il y a probablement une exception à la règle comme le trapèze, le paraléllogramme et le losange, mais ça reste à vérifier.

[Universus]

Salut,

Pour un triangle équilatéral.

Divisons le en trois triangles équilatéraux.

Un triangle équilatéral ne peut pas être diviser en 3 triangles équilatéraux, mais en 4 au minimum (puisque chaqu'un de ces quatre peuvent l'être en 4 et ainsi de suite...). Le triangle équilatéral est divisé en 3 triangles isocèles et cela permet la démarche que tu as faite (qui, soit dit en passant, est la même que ce que nous avons décrite).

Bien sûr il y a probablement une exception à la règle comme le trapèze, le paraléllogramme et le losange, mais ça reste à vérifier.

Notre démarche ne s'applique qu'à des polygones réguliers, donc le trapèze, le paraléllogramme et le losange échappent à ces formules précises.

Amicalement