L’énigme de la piscine

[invite7776cfba]

L’énigme de la piscine par Annabelle Blanc.

Me trouvant à l’un des angles d’une piscine carré de 200 mètres de coté, je souhaite rejoindre le plus rapidement possible le petit ilot situé exactement en son centre. Sachant que je marche 2 fois plus vite que je nage, sur quelle distance dois-je marcher avant de me mettre à l’eau ?

S’il n’existe bien qu’une seule réponse, au moins deux solutions pour résoudre le problème peuvent être utilisées: la première est simplement mathématique mais la seconde, physique et intuitive, est à la fois plus intéressante et plus rapide, si vous vous souvenez toutefois de vos cours de physique du secondaire...
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[invite2313209787891133]

Bonjour

Je me lance avec une solution mi mathématique, mi intuitive:

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Étant donné que la vitesse déplacement est 2 fois plus rapide sur terre on peut considérer que le déplacement est 2 fois moins grand sur terre que dans l'eau, mais que la vitesse est constante.

Toutes les possibilités de trajet s'inscrivent dans un triangle comme je l'ai représenté en pièce jointe. Le trajet le plus court correspond à la hauteur du triangle (que l'on peut retrouver avec des formules de trigo simples).

En ce qui concerne la solution physique tu devrais donner un indice

[invite7776cfba]

Trés belle démonstration, Dudulle. Je suis impressionnée.

Ma solution physique est basée sur une formule connue utilisée en optique. Je me dis que si je m'en souviens encore, d'autres s'en souviendront également, même si on ne l'utilise pas tous les jours.

[invite2313209787891133]

Trés belle démonstration, Dudulle. Je suis impressionnée.

Ma solution physique est basée sur une formule connue utilisée en optique. Je me dis que si je m'en souviens encore, d'autres s'en souviendront également, même si on ne l'utilise pas tous les jours.

En fait ma demande était un clin d'œil (un mot à double sens).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7776cfba]

En fait ma demande était un clin d'œil (un mot à double sens).

Je l'ai donné, il est égal à 2.

Dis donc, c'est la forme je vois !

[invite6f9dc52a]

Toutes les possibilités de trajet s'inscrivent dans un triangle comme je l'ai représenté en pièce jointe. Le trajet le plus court correspond à la hauteur du triangle (que l'on peut retrouver avec des formules de trigo simples).

Formules de trigo simples, t'en a de bonnes toi : je me suis retrouvé a démontrer la loi de S-Descartes (m'apprendra a glander en cours) !

Trés belle démonstration, Dudulle. Je suis impressionnée.
Ma solution physique est basée sur une formule connue utilisée en optique. Je me dis que si je m'en souviens encore, d'autres s'en souviendront également, même si on ne l'utilise pas tous les jours.

Oui sa démonstration est celle de la "formule utilisée en optique" : http://physique.coursgratuits.net/op...refraction.php

Heureusement qu'ils sont gratuits, les cours ; ça me couterait cher, sinon !

[invite6f9dc52a]

J'oubliais : excellente, cette énigme (même si je pense que le niveau "lycée", amha, seconde ou terminale devrait être mentionné).

[invite2313209787891133]

Formules de trigo simples, t'en a de bonnes toi : je me suis retrouvé a démontrer la loi de S-Descartes (m'apprendra a glander en cours) !

C'est un probleme qui peut être résolu en utilisant uniquement Pythagore et les formules de trigo de base; c'est à la porté du niveau collège.

[invite2313209787891133]

Non, en effet, il y a une équation du second degré à résoudre, donc niveau lycée...

[invite6f9dc52a]

Puis il faut la dériver pour trouver les extrémums de la fonction ... (le raisonnement que j'ai suivi est dans le lien mais eux n'ont pas fait d'erreur de calcul).
La loi de réfraction, c'est la seconde (l'équation aussi, il me semble) et les dérivées première ou terminale ?).

[invite2313209787891133]

non, pas besoin de dérivée; en utilisant uniquement Pythagore tu retrouve l'hypoténuse à droite, avec le cos tu trouves l'angle correspondant, puis en posant un système d'équation à 2 inconnues tu calcules les 2 portions de l'hypoténuse calculée précédement.
Si il n'y avait cette équation du second degré à résoudre ce serait du niveau collège.

[invite6f9dc52a]

Je n'ai pas fait le même raisonnement que toi alors.
Il me manque la "loi" qui permet d'utiliser le cos directement ; tu peux me l'indiquer stp ?

(le raisonnement que j'ai fait était celui du lien : une seule équation avec un minimum à trouver : quelle valeur de X pour avoir le temps le plus court, X variant entre 0 et un demi coté de piscine).

[invite7776cfba]

non, pas besoin de dérivée; en utilisant uniquement Pythagore tu retrouve l'hypoténuse à droite, avec le cos tu trouves l'angle correspondant, puis en posant un système d'équation à 2 inconnues tu calcules les 2 portions de l'hypoténuse calculée précédement.
Si il n'y avait cette équation du second degré à résoudre ce serait du niveau collège.

Il ya donc 3 solutions de résolution du problème:
- celle de myoper qui demande effectivement l'utilisation d'une dérivée et qui était ma première option dans l'énoncé
- celle de dudulle, ingénieuse parce purement géométrique
- celle inspirée de l'optique qui ne demande pratiquement aucun calcul

[invite29cafaf3]

Je n'ai pas fait le même raisonnement que toi alors.
Il me manque la "loi" qui permet d'utiliser le cos directement ; tu peux me l'indiquer stp ?

Al Kashi ou Pythagore étendu :

C= racine(A²+b²-2AB cos(alpha)) (alpha étant l'angle opposé à A et B)

[invite6f9dc52a]

Al Kashi ou Pythagore étendu :

C= racine(A²+b²-2AB cos(alpha)) (alpha étant l'angle opposé à A et B)

Merci. (encore une de mes lacunes mais effectivement, c'est mieux avec).

[invite2313209787891133]

Je n'ai pas fait le même raisonnement que toi alors.
Il me manque la "loi" qui permet d'utiliser le cos directement ; tu peux me l'indiquer stp ?

(le raisonnement que j'ai fait était celui du lien : une seule équation avec un minimum à trouver : quelle valeur de X pour avoir le temps le plus court, X variant entre 0 et un demi coté de piscine).

En fait il n'y a même pas besoin de résoudre une équation; j'avais oublié une règle élémentaire: La somme des angles du triangle. Ce problème est donc bien à la portée du niveau collège.

- On cherche l'angle a : tan a * 100 = 50
- On déduit la valeur des angles avec la règle des sommes des angles d'un triangle.
- On calcule la longueur du petit segment PS de l'hypoténuse : sin(45-a) = PS / 100V2 (au passage si on pouvait m'expliquer comment mettre le symbole racine...)
- On calcule la longueur du trajet sur terre : cos a = PS / trajet

[invite29cafaf3]

Merci. (encore une de mes lacunes mais effectivement, c'est mieux avec).

Sauf que j'ai dit une grosse bêtise, alpha est l'angle opposé à C (et pas à A et B)

[inviteccac9361]

J'ai du mal à saisir toutes les subtilités.
Pourquoi des cos, tan ou autres pythagores ?

Pourtant Dudulle avait proposé un systeme ingenieux.
On dit que la vitesse est equivalente sur terre et dans l'eau, si on divise la distance de marche par 2.
A partir de là on travaille sur des distances equivalentes et comparables.

Donc le moment ou il faut se mettre à l'eau, est tres exactement la moitié de la demi-longueur du bassin.
Ensuite il est évident que la longeur de l'hypotenuse ne peut qu'être plus courte que la somme des cotés du triangle.

Sur le shema joint cela revient à commencer le trajet au "Depart 2".
Comment aller plus vite qu'en nageant à partir de ce point ?

[invite7776cfba]

J'ai du mal à saisir toutes les subtilités.
Pourquoi des cos, tan ou autres pythagores ?

Pourtant Dudulle avait proposé un systeme ingenieux.
On dit que la vitesse est equivalente sur terre et dans l'eau, si on divise la distance de marche par 2.
A partir de là on travaille sur des distances equivalentes et comparables.

Donc le moment ou il faut se mettre à l'eau, est tres exactement la moitié de la demi-longueur du bassin.
Ensuite il est évident que la longeur de l'hypotenuse ne peut qu'être plus courte que la somme des cotés du triangle.

Sur le shema joint cela revient à commencer le trajet au "Depart 2".
Comment aller plus vite qu'en nageant à partir de ce point ?

Le moment où il faut se mettre à l'eau n'est pas du tout la moitié de la demi-longueur du bassin.

[invite7776cfba]

J'ai du mal à saisir toutes les subtilités.
Pourquoi des cos, tan ou autres pythagores ?

Pourtant Dudulle avait proposé un systeme ingenieux.
On dit que la vitesse est equivalente sur terre et dans l'eau, si on divise la distance de marche par 2.
A partir de là on travaille sur des distances equivalentes et comparables.

Donc le moment ou il faut se mettre à l'eau, est tres exactement la moitié de la demi-longueur du bassin.
Ensuite il est évident que la longeur de l'hypotenuse ne peut qu'être plus courte que la somme des cotés du triangle.

Sur le shema joint cela revient à commencer le trajet au "Depart 2".
Comment aller plus vite qu'en nageant à partir de ce point ?

Avant de se mettre à l'eau, il faut marcher 42,2 mètres et pas 50.0 mètres, si mes calculs sont bons.

[inviteccac9361]

Avant de se mettre à l'eau, il faut marcher 42,2 mètres et pas 50.0 mètres, si mes calculs sont bons.

C'est pas faux.
On se met à l'eau avant d'avoir parcouru la moitié.
Interressant.

Je prefere l'analogie avec les rayons lumineux.
On sait que la lumiere prend le chemin le plus court-rapide.

[invite7776cfba]

Sauf demande expresse de votre part, je pose la solution détaillée dans 1 heure.
A+.

[invite7776cfba]

L’énigme de la piscine

Me trouvant à l’un des angles d’une piscine carré de 200 mètres de coté, je souhaite rejoindre le plus rapidement possible le petit ilot situé exactement en son centre. Sachant que je marche 2 fois plus vite que je nage, sur quelle distance dois-je marcher avant de me mettre à l’eau ?


1- Solution mathématique
soit a le demi coté de la piscine (a=100 mètres).
appelons y la distance à marcher et z la distance à nager
t1 = temps de marche,
v1 = vitesse de marche,
t2 = temps de nage,
v2 = vitesse de nage,
t = temps mis pour rejoindre l’ilot

v2 = v1 / 2
t1 = y / v1
z = √[(a-y)²+ a²] théorème de Pythagore

appelons pour simplifier x=a-y
alors z=√[x²+ a²]

t2 = z / v2 = 2 z / v1

t = t1 + t2
= (a-x) / v1 + 2√[x² + a²] / v1
= (a – x) + 2√[x² + a²]) / v1

t sera minimale pour la valeur x qui annule sa dérivée t’.
t’ = (-1 + [2 (2x) / 2] / √[x² + a²]) / v1
= (-1 + 2x /√[x² + a²]) / v1

t’ = 0 si
√[x² + a²] = 2x
x² + a² = 4x²
3x² = a²
x= a/√3
distance à marcher
y = a - x = (1-1/√3) a
= 42.2 mètres.

( distance à nager
z = √[x²+ a²]
= √[a²/ 3 + a²]
= (2 / V3 ) a
= 115.4 mètres )


2- Solution physique et logique
Je ne suis plus Annabelle mais un rayon de lumière qui se propage 2 fois moins vite dans une piscine rempli d’un élément d’indice de réfraction 2.
Loi de Descartes :
Sin α= 1/2
donc Tg α = 1 / √3 = x/a
donc x= a/√3
donc y= (1 - 1/√3) a

Je vais marcher sur 42.2 mètres puis enlever ma petite jupe et mon top rouge et ensuite me mettre à l’eau.

[invite4db4c657]

demande expresse!

hein? quoi? chui en rtard? bon ben... je sort

[inviteccac9361]

demande expresse!

hein? quoi? chui en rtard? bon ben... je sort

Il n'est jamais trop tard pour trouver une solution et sans rimer .
Qui dit qu'on ne peux pas aller plus loin ?

Par exemple :
Il y avais une autre solution envisageable non encore validée.

La piscine se trouve en fait à Montreal.
Il fait froid à Montreal et il se trouve que l'enigme se deroule en hiver.
9°C actuellement.

Comme c'est dimanche et que la piscine est fermée pour travaux, Anabelle qui justement est là pour les travaux coupe donc le chauffage et attend.
Elle n'enleve pas son blouson.
Et marche jusqu'au milieu de la piscine sur l'eau gelée.
Le chemin le plus court-rapide.

Sinon ce n'est plus une enigme mais un calcul.

[invite4db4c657]

a 9°C elle risque d'attendre longtemps...
question subsidiaire: au bout de combien de temps un récipient d'eau a 9°C gèle t'il?

[inviteccac9361]

a 9°C elle risque d'attendre longtemps...
question subsidiaire: au bout de combien de temps un récipient d'eau a 9°C gèle t'il?

Mais non, ça c'est maintenant.
C'est la Météo du jour, je suis allé regarder.
Je précise: "en hiver".
C'est logique, l'enigme ne date pas d'aujourd'hui.

[invite4db4c657]

Je parie que si on fournit un graphe donnant, en fonction de la température de l'air (mettons de -20 a-10°C) la durée que met une eau a 10°C pour geler et qu'on demande a des élèves (je verrait bien sa dans une batterie de tests chronométrés)... d'en déduire le temps que mettra une eau placée dans un environnement a 9°C pour geler, on obtient une réponse... une mauvaise réponse

(le bonne réponse est : 42ans.)

PS: bien insister sur les conditions atmosphériques normales... sans quoi...

PPS: on peut donner un indice en disant que le manipulateur a 42 ans et qu'il habite dans la loire.

[invite2313209787891133]

(le bonne réponse est : 42ans.)

Parce que 42 est la réponse à toutes les questions ?

[invite2313209787891133]

Plus sérieusement il est possible d'avoir de la glace à 9°C, mais il faut augmenter la pression.