L'âge de grand-père.

[invite7776cfba]

Dans le cadre de l'énigme de l'autobus que j'ai postée il y a quelques jours, certains ont souhaité à un certain moment connaître l'âge de Grand-Père. Cette nouvelle petite énigme, qui n'est pas inédite je pense (j'espère qu'elle n'a pas encore été postée sur ce forum), va vous permettre de le trouver.


L’âge de grand-père par Annabelle Blanc.
Voici quelques années, Grand-père m’avait dit un jour: Annabelle, quand j’aurai 5 fois ton âge, j’aurai 3 fois ton âge. Ce matin, il m’a dit cette fois : Annabelle, quand j’avais 3 fois ton âge, j’avais 5 fois ton âge.

Au fait, quel âge a Grand-père ?
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[invite87420132543]

Ce matin, il m’a dit cette fois : Annabelle, quand j’avais 3 fois ton âge, j’avais 5 fois ton âge.

Cette phrase me paraît curieuse.
Elle veut dire qu'il fut un temps ou Grand-père avait 3 fois l'âge d'Annabelle.
Entre temps, Annabelle et Grand-père ont vieillit et depuis grand-père ne peut plus avoir 5 fois l'âge d'Annabelle mais seulement moins de 3 fois.

[Amanuensis]

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10011 pour lui, 10-1 pour elle

[Amanuensis]

J'ai donné une solution en nombres entiers, sachant que c'est ce qui est implicitement demandé. Mais si on prend la question autrement, il y a une infinité de solutions.

Par exemple, le grand-père peut avoir 56 2/3 années d'âge, et sa petite fille 16 2/3.

En effet, quand il avait 3 fois 16 2/3 (50 ans), il avait 5 fois l'âge de sa petite fille à ce moment là (10 ans).

Et quelques années plus tôt, lorsqu'il avait 52 ans, elle en avait 12, et il pouvait dire que lorsqu'il aurait 5 fois 12 ans (60 ans), il aurait 3 fois fois l'âge de sa petite-fille alors (20 ans).

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Bref, l'énigme peut être améliorée en précisant que tous les âges sont entiers (ils sont nés le même jour calendaire, et les dialogues tiennent place toutes deux un jour anniversaire).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef17c7c8d]

Sauriez vous traduire cette énigme sous la forme d'un problème d'optimisation?
Trouver le minimum d'une fonction soumise à des contraintes.

Si vous trouvez la bonne formulation, je peux demander à mon "ami" Matlab de calculer la réponse.

L'intérêt d'avoir un modèle numérique serait de pouvoir ensuite raffiner l'énigme.

Si vous ne connaissez rien en optimisation, je peux vous expliquer dans les grandes lignes.

[Deedee81]

Salut,

Facile :

Au fait, quel âge a Grand-père ?

Vieux

Désolé,

[invite7776cfba]

Je n'ai pas le temps aujourd'hui mais tout ce qui a été proposé jusqu'à présent est faux.
Il y a des équations à poser... et à résoudre.

Bon courage!

[invite7776cfba]

Cette phrase me paraît curieuse.
Elle veut dire qu'il fut un temps ou Grand-père avait 3 fois l'âge d'Annabelle.
Entre temps, Annabelle et Grand-père ont vieillit et depuis grand-père ne peut plus avoir 5 fois l'âge d'Annabelle mais seulement moins de 3 fois.

L'interpretation de cette phrase est justement la clé de l'énigme.

[Amanuensis]

Je n'ai pas le temps aujourd'hui mais tout ce qui a été proposé jusqu'à présent est faux.

Facile à dire !

Facile de vérifier que mes réponses répondent à l'énigme. Maintenant, qu'elle soit mal posée est quelque chose de discutable.

(Ma réponse en valeurs entières est quelque peu cryptée, pour laisser à d'autres la possibilité de trouver. Le déchiffrage n'est pas très dur pour qui connaît.)

[invite9ac7aecb]

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Pépé a 85 ans?

[invite9ac7aecb]

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Je détaille ma solution:
Dans le passé, grand-père a y', Annabelle a x':
La première phrase nous dit que lorsque Grand-père aura 5*x', il aura 3 fois l'âge futur d'Annabelle, ie x' + (5*x' - y').
D'où 3*y' = 13*x'
De même, Grand-père a aujourd'hui y, et Annabelle x.
Alors 5*y=17*x

Or l'écart d'âge est constant, ie y'-x' = y - x.
D'où, après simplification, 78*y = 85*y'.
Comme 78 et 85 sont premiers entre-eux, l'âge de papy est un multiple de 85, et à moins qu'il ne fasse péter le record de Jeanne Calment, il ne peut avoir que 85 ans

[invite79d10163]

Selon moi, le grand père a 85 ans.

Lors de la première discussion le grand père avait 78 ans et Annabelle 18.

Lors de la seconde discussion, le grand père avait 85 ans et la fille 25.

Le système d'équations est le suivant :

phrase 1 : Soit x1 l'age d'Anna au moment de la première conversation et y1 l'age de son grand père à ce moment, on en déduit que:

3 ( x1 + (5x1-y1) ) = 5x1

phrase 2 : Soit x2 l'age d'Anna au moment de la seconde conversation et y2 l'age de son grand père à ce moment, on en déduit que:

5 ( x2 - (y2 - 3x2 ) ) = 3x2

De plus on sait aussi que les deux vieillissent à la même vitesse :

( y2 - y1 ) = ( x2 - x1 )

On en déduit que x2 = c1 * x1 et y2 = c2 * y1
où c1 et c2 sont des constantes.



Enfin un bémol, pour déterminer l'age j'ai finalement pris les premières valeurs entières des dernières équations ...

[Amanuensis]

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L'ensemble des solutions est comme suit :

Soit Δ la différence d'âge.

Lors du second dialogue grand-père a 17Δ/12 années d'âge, et sa petite fille 5Δ/12.

En effet, quand il avait 3 fois 5Δ/12 (5Δ/4 ans), il avait 5 fois l'âge de sa petite fille à ce moment là (Δ/4 ans).

Et quelques années plus tôt (premier dialogue), lorsqu'il avait 13Δ/10 ans, elle en avait 3Δ/10, et il pouvait dire que lorsqu'il aurait 5 fois 3Δ/10 ans (3Δ/2 ans), il aurait 3 fois fois l'âge de sa petite-fille alors (Δ/2 ans).

Les âges sont entiers si Δ est multiple de ppcm(10,12)=60. La valeur Δ=60 donne la solution indiquée par Clemgon et skydancer.

[invite9ac7aecb]

À Amanuensis:
Quel était le codage? J'ai pensé aux nombres binaires mais ça ne correspond pas à ma solution, et le tiret me laisse perplexe (ou alors c'est un moins?)…

[Amanuensis]

À Amanuensis:
Quel était le codage? J'ai pensé aux nombres binaires mais ça ne correspond pas à ma solution, et le tiret me laisse perplexe (ou alors c'est un moins?)…

La relation entre 10011 et 85 devrait être trouvable. De là, on peut trouver la signification du - et pourquoi 10-1 encode 25.

[invite9ac7aecb]

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J'ai pensé à la base 2, j'avais pas pensé à la base 3
je cherche pour le tiret!

[invite87420132543]

"10-1" veut dire "1001 - 10", en base 3 bien sûr.

Je m’aperçois qu'il y a des "frappés" sur ce forum pour faire donner des codages comme ça. Ceci étant dit sans mauvais jugement.

[invite9ac7aecb]

Merci à ours.des.carpates et à Amenuensis pour leurs explications (Amenuensis m'ayant expliqué par MP).
Je ne connaissais pas cette "base", mais c'est intéressant!


NB: ça s'appelle la base trinaire balancée (cf wiki)

[invite7776cfba]

Bravo en tout cas à tous ceux qui ont trouvé la solution. J'aime bien cette énigme même si les gens à qui on la propose vous regarde en général de manière bizarre.
Et en plus, on a appris quelque chose au niveau des codages. Merci amanuensis.

[invite7776cfba]

5 fois ton âge, 3 fois ton âge ...

Et avec d'autres chiffres (ou nombres) que 3 et 5, existe-t-il des solutions ?