Carres et triangles

[invite7776cfba]

Une petite dernière toute bête.
Vous connaissez les nombres carrés, soient 1,4,9, 16,...
Vous connaissez les nombres triangulaires qui s'écrivent comme la somme des n premiers nombres entiers, soient 1,3,6,10, 15, ...

Comment démontrer (facilement *) qu'un nombre triangulaire multiplié par 8 et auquel on ajoute 1 est égal à un nombre carré ?


(*) facilement = niveau primaire ou classe de 6ième
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[invite21dfc132]

Bonjour,

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forme générale des nombres triangulaires :

n(n+1)/2=(n²+n)/2

x8

4(n²+n)

+1

4n²+4n+1

factorisation (a²+2ab+b², a=2n, b=1)

(2n+1)²

CQFD

Cordialement,

Hibou

Edit : Argl, c'est pas du niveau 6e ça, il faudrait faire un dessin

[invite21dfc132]

Rebonjour,

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 n lignes ...
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   n colonnes

x2

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 n lignes ...
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      n+1 colonnes

soit

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  n lignes...
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    n+1 colonnes

x4 (ce qui nous fait donc un x8 au total)

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  2n lignes...
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    2n+2 colonnes

On prend une colonne de n cubes que l'on met horizontalement (soit +1 ligne de 2n cubes en bas, et - 1 colonne à droite) :

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  2n+1 lignes...
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    2n+1 colonnes (avec un cube manquant)

Mais il manque un cube parce que la colonne transposée avait 2n cubes et pas 2n+1

On rajoute un cube et on a le résultat.

C'est mois formel comme ça mais je doute tout de même qu'un élève de 6e normal normal soit capable de le comprendre

Cordialement,

Hibou

[invite7776cfba]

Je suis d'accord. Il y a donc une démonstration un peu plus simple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7776cfba]

Beaucoup plus simple...

[invite21dfc132]

En effet, mais là comme le dessin avec des cubes est chianf, je vais schématiser :

 Cliquez pour afficher

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avec o le cube manquant.

Cordialement,

Hibou

[invite7776cfba]

En effet, mais là comme le dessin avec des cubes est chianf, je vais schématiser :

 Cliquez pour afficher

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avec o le cube manquant.

Cordialement,

Hibou

Bravo ! C'était bien celà !
Bonne soirée.