le lièvre et la tortue

[invite6869f62e]

Salut !!!
Voila une enigme plutot sympa à faire qui est de la probabilité .....
Le lièvre et la tortue font une course comme dans la célèbre fable sauf que voilà dans notre histoire de matheu on joue avec deux dés un pour le lièvre et un pour la tortue non truqués
Si le lièvre fait un 6 il gagne...
Si la tortue fait un chiffre compris entre 1 et 5 et ça 5 fois de suite elle gagne ...
Voilà lequel des deux à le plus de chance de gagner bien sur il faut dire pourquoi snon c'est pas drole
Si vous vous voulez des précisions n'hésitez pas !!!
Bon courage
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[danyvio]

En supposant que le lièvre a droit à un jeter de dé et la tortue 5 jeters (ce que tu devrais préciser), le lièvre a une proba de tirer le 6 de 1/6 =0,166.. et la tortue de tirer différent de 6 cinq fois de (5/6)⁵ soit environ 0,4018 donc...

[invite6869f62e]

sauf que ce n'est pas le cas on continue jusqu'a ce qu'il y ait un gagnant ..et il y en a forcement un au bout de 5 lancers ....
Le mieux est de faire une simulation ..enfin pour mon cas ça a marché ou un ar bre des probabilités.

[Amanuensis]

En supposant que le lièvre a droit à un jeter de dé et la tortue 5 jeters (ce que tu devrais préciser), le lièvre a une proba de tirer le 6 de 1/6 =0,166.. et la tortue de tirer différent de 6 cinq fois de (5/6)⁵ soit environ 0,4018 donc...

Ma compréhension est que chaque camp tire son dé simultanément.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

sauf que ce n'est pas le cas on continue jusqu'a ce qu'il y ait un gagnant ..et il y en a forcement un au bout de 5 lancers ....

Pour que ce soit le cas il faudrait un seul dé, ce qui n'est pas ce que décrit l'énoncé.

Si chacun tire son dé, le jeu à une probabilité non nulle de dépasser n'importe quel nombre de tirage.

(Avec un seul dé, c'est plutôt simple ; avec deux, chacun le sien, c'est bien plus compliqué et je m'étais fait la réflexion que cela l'était trop pour la rubrique...)

[invite6869f62e]

Pour moi c'était pareil avec un ou deux dés mais je me end compte que c'est bien plus dur ... il vaut mieux considérer qu'il n'y a qu'un seul dé pour les deux animaux
Excusez moi !!!

[inviteccac9361]

sauf que ce n'est pas le cas on continue jusqu'a ce qu'il y ait un gagnant ..et il y en a forcement un au bout de 5 lancers ....

Non.
Le Lièvre ou la Tortue peuvent lancer 6 fois leur dé sans qu'il n'y ai de gagnant, voir 7 fois ou plus.

[invite6869f62e]

Je n'ai pas souvenir de ça lorsque j'avais réalisé une simulation avec calculatrice il y avait toujours un gagnant jamais match nul ..

[Amanuensis]

Non.
Le Lièvre ou la Tortue peuvent lancer 6 fois leur dé sans qu'il n'y ai de gagnant, voir 7 fois ou plus.

Faut lire le fil... Theos59 a rectifié le coup.

Je n'ai pas souvenir de ça lorsque j'avais réalisé une simulation avec calculatrice il y avait toujours un gagnant jamais match nul ..

Avec un seul dé, c'est correct.

[inviteccac9361]

Faut lire le fil... Theos59 a rectifié le coup.

Peut-être...je préfère répeter, dit autrement.
Et effectivement il peut y avoir match nul.

[Amanuensis]

Peut-être...je préfère répeter, dit autrement.

Pas sympa pour theos.

Et effectivement il peut y avoir match nul.

Non, pas avec la nouvelle donne, c'est à dire avec un seul dé.

Serait-il possible qu'on se limite à ce cas là, comme proposé par l'initiateur ?

[inviteccac9361]

Pas sympa pour theos.

Il n'y a aucun sous-entendu, c'est pure logique.

Non, pas avec la nouvelle donne, c'est à dire avec un seul dé.
Serait-il possible qu'on se limite à ce cas là, comme proposé par l'initiateur ?

Là, j'ai effectivement lu un peu vite.
Adjugé pour 1 seul dé.

[invitef17c7c8d]

Je ne vois pas en quoi le fait d'utiliser le même dé change quelque chose au problème...
On peut imaginer avoir les tirages suivant par exemple ...
Tortue: 1 2 3 4 6 5 4 3 2 6 etc..
Lièvre: 1 2 3 4 5 4 3 2 1 2 etc..
Donc plus de 5 tirages non ???

[invite9ac7aecb]

Je suppose que justement, le fait d'utiliser un seul dé signifie que les tirages sont valables pour les 2 joueurs.

[invite6869f62e]

Effectivemnt le tirage est valable pour les deux joueurs sinon avoir un ou deux dans ce cas revient au meme.....
Désolé mais j'ai assez de mal à me faire comprendre parfois..

[invitef17c7c8d]

Je suppose que justement, le fait d'utiliser un seul dé signifie que les tirages sont valables pour les 2 joueurs.

Bien vu! Donc du coup si je repars de ce qu'a écrit danyvio :
on a pour le lièvre une proba de 0,830 et pour la tortue 0,402.
Donc le lièvre a deux fois plus de chance de gagner que la tortue.

[Amanuensis]

Bien vu! Donc du coup si je repars de ce qu'a écrit danyvio :
on a pour le lièvre une proba de 0,830 et pour la tortue 0,402.
Donc le lièvre a deux fois plus de chance de gagner que la tortue.

Cela ne fait pas un total de 1... Comme il n'y a pas possibilité d'ex-aequo, il y a un problème...

(J'imagine que le 0,830 vient de 5 fois 0,166 ? Dans ce cas, c'est cette méthode de calcul qui est erronée.)

[inviteccac9361]

on a pour le lièvre une proba de 0,830 et pour la tortue 0,402.
Donc le lièvre a deux fois plus de chance de gagner que la tortue.

Le jeu etant fini.
La somme des probabilités fait 1,232
Il y a un shmilblick non ?

[inviteccac9361]

Cela ne fait pas un total de 1... Comme il n'y a pas possibilité d'ex-aequo, il y a un problème...

J'ai dégainé trop lentement.

Sinon, la manière sans équivoque de procéder pour faire ce calcul, consiste à énumérer très exactement l'ensemble des cas possibles.

Je n'ai pas souvenir de ça lorsque j'avais réalisé une simulation avec calculatrice

Ou la methode statistique approchée, avec une calculatrice ou un programme PC ?
Simuler les lancers 1 million de fois par exemple.

[invite6869f62e]

Je ne comprends pas pourquoi vous n'y arrivez pas avec un arbre de probabilité et une règle toute simple j'ai un résultat correct

[inviteccac9361]

Déja, la simulation informatique donne invariablement 65.8x pour le Lievre(tirage 6) et 44.2x pour la tortue(tirages 1 à 5) pour 100 Millions de tirages.

Si je n'ai pas bogué.
Que j'ai boggué...
J'y retourne...

[inviteccac9361]

Correction faite, la simulation informatique donne une probabilité d'environ 0.60 pour le Lievre(tirage 6) et 0.40 pour la tortue(tirages 1 à 5).

[invitef17c7c8d]

Ne peut-on pas reformuler le problème de façon équivalente : "Quel est la probabilité pour que le 6 ne sorte pas lors des 5 premiers tirages?" La réponse est alors :1 - 5/6=1/6.
Donc le lièvre a 6 fois plus de chance de gagner que la tortue....

[Amanuensis]

Ne peut-on pas reformuler le problème de façon équivalente : "Quel est la probabilité pour que le 6 ne sorte pas lors des 5 premiers tirages?" La réponse est alors :1 - 5/6=1/6.

Non, c'est la même erreur que le calcul du 0,830 ; c'est le même calcul en fait.

Prenons le cas de deux tirages : sur les 36 possibilités, il y en a 5x5 sans le 6... Il y en a donc 11 avec un 6, et non pas 12.

[invitef17c7c8d]

Pouvez vous m'aider tout d'abord à estimer à la louche qui du lièvre ou de la tortue à le plus de chance de gagner?
Si l'on suppose avoir un dé avec 1000 faces, on pourrait par exemple dire :"Quel est la probabilité pour que le nombre 256(par exemple) ne sorte pas lors de 999 lancers ?" La probabilité est très faible dans ce cas non?

[Amanuensis]

Pouvez vous m'aider tout d'abord à estimer à la louche qui du lièvre ou de la tortue à le plus de chance de gagner?

Vous avez déjà donné la réponse ! Le 0,402 est correct (ainsi que la formule pour l'obtenir donnée par Danyvio), et comme les événements "la tortue gagne" et "le lièvre gagne" sont complémentaires, la probabilité que le lièvre gagne est 1-0,402 = 0,598.

[invitef17c7c8d]

OK.
Donc avec un dé à 5 faces, on obtient (4/5)^4=0,41.
Avec un dé à 4 faces, on obtient (3/4)^3=0,42
Avec un dé à 100 faces, on obtient (99/100)^99=0,37

Le rapport de force semble être toujours le même quel que soit le nombre de faces du dé!!! Curieux

[Amanuensis]

OK.
Donc avec un dé à 5 faces, on obtient (4/5)^4=0,41.
Avec un dé à 4 faces, on obtient (3/4)^3=0,42
Avec un dé à 100 faces, on obtient (99/100)^99=0,37

Le rapport de force semble être toujours le même quel que soit le nombre de faces du dé!!! Curieux

(1-1/n)ⁿ tend vers 1/e = 0,3679... quand n tend vers l'infini.

[invitef17c7c8d]

Intuitivement, j'aurais pensé que la probabilité aurait du tendre vers 0 ou 1 quand le nombre de faces du dé tend vers l'infini, mais certainement pas vers une constante universelle!
Je suis bluffé par ce résultat.

[inviteaf48d29f]

Intuitivement, j'aurais pensé que la probabilité aurait du tendre vers 0 ou 1 quand le nombre de faces du dé tend vers l'infini, mais certainement pas vers une constante universelle!
Je suis bluffé par ce résultat.

0 et 1 sont des constantes universelles.