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L'âge de Francine



  1. #1
    ablanc

    L'âge de Francine


    ------

    Quand Francine avait un an de plus que Diane avait quand Francine avait deux fois l’âge que Diane avait quand Francine avait la moitié de l’âge que Diane a maintenant, Diane avait la moitié de l’âge que Francine avait quand Diane avait la moitié de l’âge que Francine a maintenant.

    Sachant qu’une des deux personnes vient de prendre sa retraite, quel est l’âge de Francine ?

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    vincent66

    Re : L'âge de Francine

    Bonsoir
    Hum, c'est déjà combien l'âge de la retraite en France, 35 ou 65 ans ?
    Vincent
    Leonardo était ingénieur "sans papier", et moi diplômé juste...technicien...

  4. #3
    ablanc

    Re : L'âge de Francine

    Ca dépend des métiers et de l'âge auquel on a commencé à travailler. On peut certainement partir sur la soixantaine à peu prés.
    Bonne soirée.

  5. #4
    shokin

    Re : L'âge de Francine

    Par exemple, avec des solutions entières, maintenant, Francine aurait 96 ans et Diane 80 ans (retraite tardive) ?

    Autour des 60 ans :

    Diane aurait 49.6 ans, Francine aurait 59.6 ans.

    ou

    Diane aurait 64.8 ans, Francine aurait 77.8 ans.



    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Tlaloc

    Re : L'âge de Francine

    shokin, pourrais-tu s'il te plait développer ta méthode pour ceux qui aurait fatigué leur cerveau inutilement sur ce sujet ?

  8. #6
    shokin

    Re : L'âge de Francine

    Bon, je ne garantis pas que c'est juste. Je peux avoir fait des erreurs.

    Déjà, j'ai passé cinq minutes à bien comprendre la phrase au début.

    Quand Francine avait un an de plus que Diane avait quand Francine avait deux fois l’âge que Diane avait quand Francine avait la moitié de l’âge que Diane a maintenant, Diane avait la moitié de l’âge que Francine avait quand Diane avait la moitié de l’âge que Francine a maintenant.
    J'ai d'abord reformulé :

    Quand Francine avait un an de plus que l'âge que Diane avait quand Francine avait deux fois l’âge que Diane avait quand Francine avait la moitié de l’âge que Diane a maintenant, Diane avait la moitié de l’âge que Francine avait quand Diane avait la moitié de l’âge que Francine a maintenant.

    Dans ce genre de problème avec les âges, il y a un truc à se rappeler, souvent très utile : la différence des âges entre deux personnes est constante. Il y a donc des Francine et des Diane à mettre ensemble.

    Les voici en couleur : (je mets en gras pour qu'elles soient plus visibles)

    Quand Francine avait un an de plus que l'âge que Diane avait quand Francine avait deux fois l’âge que Diane avait quand Francine avait la moitié de l’âge que Diane a maintenant, Diane avait la moitié de l’âge que Francine avait quand Diane avait la moitié de l’âge que Francine a maintenant.

    Les éléments soulignés sont les relations.

    Comme la boucle est bouclée, on peut partir d'un couple (personne;couleur), puis aller de relation en relation, jusqu'à revenir au même couple. En gros, on arrivera à une équation du premier degré à deux inconnues.

    Il y a cinq couleurs (instants) et deux personnes donc dix couples. Nommons-les :

    F1, F2, F3, F4, F5
    D1, D2, D3, D4, D5


    Choisissons nos deux inconnues :

    soient D1 l'âge de Diane maintenant,
    t = Di-Fi pour tout i (soit l'âge de Diane moins l'âge de Francine)

    Mettons en jeu les relation soulignées !

    D1 : 2 = F2
    F2 + t = D2
    D2 * 2 = F3
    F3 + t = D3
    D3 + 1 = F4
    F4 + t = D4
    D4 * 2 = F5
    F5 + t = D5
    D5 * 2 = F1
    F1 + t = D1


    Donc de D1 à D1, nous avons effectué dix opérations. Il faudra alors tout exprimer en fonction de D1 jusqu'à exprimer D1 en fonction d'elle-même (après 9 substitutions pour éliminer les neuf autres inconnues).

    A partir des deux premières équations :

    D1 : 2 = F2
    F2 + t = D2


    Je peux écrire :

    D2 = (D1 : 2) + t

    A partir de cette dernière équation et de la troisième équation

    D2 * 2 = F3,

    je peux écrire :

    F3 = ((D1 : 2) + t) * 2

    Et ainsi de suite jusqu'à :

    (((((((((D1:2)+t)*2)+t)+1)+t)*2)+t)*2)+t=D1

    Ce qui donne, au final,

    4*D1+19t+4=D1
    3*D1+19t+4=0

    On a bien une égalité à deux variables et donc une infinité de couples possibles. [Cette égalité pourrait être comme l'équation cartésienne d'une droite dans le plan.]

    Exprimons D1 en fonction de t :

    D1 = (-19t-4)/3

    Prenons alors des valeurs t(i) auxquelles correspondent alors des valeurs D1(i)

    t(i) donne D1(i) et F(i) âge de Francine ; nous avons comme triplets (t(i) ; D1(i) ; F(i) ) : [là, je n'ai pris que les premiers entiers avec âges positifs]

    (-1 ; 5 ; 6)
    (-4 ; 24 ; 28)
    (-7 ; 43 ; 50) (une retraite anticipée [50 ans] pour Francine )
    (-10 ; 62 ; 72) peut jouer si Diane a pris sa retraite à 62 ans
    (-13 ; 81 ; 94) (des retraites tardives )
    (-16 ; 100 ; 116) pas de retraite avant 100 ans !
    (-19 ; 119 ; 138) quelle longévité !

    Bon, je n'ai pas les mêmes solutions qu'avant... bigre !



    Shokin
    Dernière modification par shokin ; 17/08/2011 à 23h53.
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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  10. #7
    Tlaloc

    Re : L'âge de Francine

    Citation Envoyé par shokin Voir le message
    Bon, je n'ai pas les mêmes solutions qu'avant... bigre !


    Merci bien pour l'explication qui pourrait difficilement être plus claire

  11. #8
    ablanc

    Re : L'âge de Francine

    Bravo Shokin pour la démonstration. Il fallait bien trouver 72 ans pour Francine et 62 pour Diane la retraitée.
    Je n'aurais pas su être aussi claire dans ma démonstration, avec les codes couleurs et tout et tout... Encore merci.
    J'aime bien cette énigme même si elle n'est pas ma préférée.
    A la prochaine.
    Annabelle.

  12. #9
    shokin

    Re : L'âge de Francine

    A la prochaine énigme !



    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  13. #10
    ablanc

    Re : L'âge de Francine

    Citation Envoyé par shokin Voir le message
    A la prochaine énigme !



    Shokin
    Avec plaisir, même si j'ai déjà posté mes préférées.
    A bientôt.
    Annabelle.

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