division par 0

[Médiat]

Bonsoir,

Il fait un raccourci : en fait, la notation E^F est très pratique pour la définition qu'il en a donnée, car pour des ensembles E et F finis,
(Card E^F) = (Card E)^{(Card F)}.

Et si E et F sont vides, comme il existe tout de même une application de l'ensemble vide vers lui-même, il est pratique de noter 0⁰ = 1

Nous sommes bien d'accord que la notation peut représenter plusieurs objets mathématiques différents (qui coïncident sur leur domaine commun, d'où la notation commune).

Par définition de l'exponentiation des cardinaux |E|^|F| = |applications de F dans E| que E et F soient finis ou non, ce n'est donc pas une question de pratique, mais de définition.
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[invite9ac7aecb]

Par définition de l'exponentiation des cardinaux, |E|^|F| = |applications de F dans E| que E et F soient finis ou non

Oui, mais je voulais simplifier car certains semblent peu familiers de l'infini, donc il y aurait pu avoir confusion entre l'infini de l'analyse (une limite) et l'infini des cardinaux ou des ordinaux

ce n'est donc pas une question de pratique, mais de définition.

Ok

[inviteda201019]

Alors si je comprend bien

limite de 1/x si x tend vers 0 positif = +∞ et
limite de 1/x si x tend vers 0 négatif = -∞ et
1/x si x=0 n'est pas défini

[invite9ac7aecb]

Oui, c'est tout bon !

[khurnous]

Bonjour,

Question que je me suis posé, et lors de mes recherches j'ai trouvé des réponses plus fines.

Si vous connaissez, pourriez-vous me dire ce que cela vaut ?

1°En informatique : le standard IEEE 754, prévoit un résultat pour la division par 0: 0/0 donne pour sa part NaN « Not a Number ». Visiblement c'est utilisé dans certains cas...

2°Jesper Carlström (mathématicien) et James Anderson (prof d'informatique) ont travaillés sur le sujet. Chacun obtient des résultats assez exotiques.

3°"Quid est" de l'analyse non standard et des nombres hyperréels ? Il me semble bien que dans certaines situations la division par zéro n'est pas impossible.

Merci de vos réponses

[invite4492c379]

Bonjour,

Question que je me suis posé, et lors de mes recherches j'ai trouvé des réponses plus fines.

Si vous connaissez, pourriez-vous me dire ce que cela vaut ?

1°En informatique : le standard IEEE 754, prévoit un résultat pour la division par 0: 0/0 donne pour sa part NaN « Not a Number ». Visiblement c'est utilisé dans certains cas...

(...)

Merci de vos réponses

Hello,
Je ne vais m'exprimer que sur la partie «informatique». NaN est une manière d'utiliser la représentation de nombres réels pour indiquer que le résultat d'une opération est soit invalide (comme 0/0, et d'une manière générale toutes le FI avec une sorte d'exception pour 0⁰ où cela dépend de la fonction utilisée) ou irreprésentable (sqrt(-1), d'une manière générale tout ce qui donne un complexe pour résultat), cette représentation est différente des infinis (inf). Tu obtiens un inf quand tu as une division par 0 mais dont le numérateur n'est pas nul mais aussi dans le cas d'un log(0) par exemple.
Ce standard est uniquement un standard permettant d'obtenir les mêmes résultats et comportements quel que soit l'ordinateur sur lequel on fait tourner un calcul et n'est en aucun cas une formalisation mathématique des réels.

[Médiat]

Bonjour,

3°"Quid est" de l'analyse non standard et des nombres hyperréels ? Il me semble bien que dans certaines situations la division par zéro n'est pas impossible.

La division par 0 n'est pas possible ni en ANS ni dans le hyperréels, par contre, il y est possible de définir la division par des nombres "infiniment proche de 0", par des nombres dont la valeur absolue est strictement plus petite que tous les nombres réels (donc on peut diviser par des nombres dont la partie standard est égal à 0 (mais ce n'est pas 0 pour autant)).

[Médiat]

Je viens de jeter un oeil sur les travaux de Jesper Carlström, il construit une structure à partir d'un anneau (ou semi-anneau) par passage au quotient d'une relation d'équivalence bien choisie un peu sur le modèle de la construction de à partir de , sauf qu'il définit sa relation d'équivalence (de façon un peu différente) sur .
Le problème est que le résultat n'est plus un anneau (l'addition n'est même plus un groupe).

[invite57ce320c]

interessant tout ca, mais je me pose une question pourquoi ∞/∞ n'a pas de solution, ne devrait il pas etre égal a 1, a moins qu'il existe des infini plus grand que d'autres?

[invite57ce320c]

et en ce qui concerne le 0, les division de chiffres plus proches de 0 tendent vers ∞ ou - ∞
vu que diviser par un nombre c'est multiplier par son inverse plus une division est proche de 0 plus son résultat tend vers ∞ ou vers -∞

donc, si on suis cette logique serait il possible que l'ensemble des nombres qu'on connais soit réuni par une division par 0

ce qui signifierais que l'ensemble des nombres allant vers ∞ ou vers -∞ soit relié par un nombre très proche de la limite des 2 ensembles un nombre fermant la boucle entre 0----->+∞ ------>(résultat de la division par 0) ------->-∞ -------> 0
(etc etc)

donc l'ensemble des nombre pourraient ils former une boucle ?

[karlp]

Bonjour,
La division par 0 n'est pas possible ni en ANS ni dans le hyperréels, par contre, il y est possible de définir la division par des nombres "infiniment proche de 0", par des nombres dont la valeur absolue est strictement plus petite que tous les nombres réels (donc on peut diviser par des nombres dont la partie standard est égal à 0 (mais ce n'est pas 0 pour autant)).

Re-bonjour

Le hasard fait bien les choses: mon fils me demandait avant hier pourquoi on ne peut diviser par 0. Mes maigres connaissances m'ont conduit à lui répondre que si on admettait cela, alors il était possible de démontrer que n'importe quel entier est égal à n'importe quel autre (je suis loin d'être assuré de la rigueur du raisonnement que j'ai tenu).
Nous avons ensuite constaté que lorsqu'on divisait un entier par des nombres de plus en plus proches de zéro, le résultat tendait vers l'infini. Le petit m'a posé une colle : qu'est-ce qui nous interdit d'admettre qu'un entier naturel divisé par zéro soit égal à oméga ? (au passage je remarque que la découverte de ce nombre ne lui a posé aucune difficulté, malgré ou grâce à son très jeune âge ?).
Je suis incapable de répondre à cela

[noureddine2]

qu'est-ce qui nous interdit d'admettre qu'un entier naturel divisé par zéro soit égal à oméga ? (au passage je remarque que la découverte de ce nombre ne lui a posé aucune difficulté, malgré ou grâce à son très jeune âge ?).
Je suis incapable de répondre à cela

tu lui dit qu'en physique le zéro et l'infinis sont des limites qu'on ne peut pas atteindre .
mais en maths on peut imaginer le zéro et l'infinis (oméga) , mais ça reste qu'une imagination de l'esprit .

[Médiat]

Bonjour très cher karlp,

Nous avons ensuite constaté que lorsqu'on divisait un entier par des nombres de plus en plus proches de zéro, le résultat tendait vers l'infini. Le petit m'a posé une colle : qu'est-ce qui nous interdit d'admettre qu'un entier naturel divisé par zéro soit égal à oméga ?

Parce que dans ce cas on perd beaucoup de propriétés, par exemple si et , en appliquant les propriétés habituelles, on obtient et et donc 2 = 3 (cf. votre premier paragraphe).

L'analyse non standard (entre autres) répond à ce besoin : si on note , et bien est tout bêtement égal à .

Je vous invite à jeter un oeil là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958180, le chapitre sur les infinitésimaux (chapitre incomplet, j'avais prévu à minima une introduction : "Infinitésimaux : généralités et historique" et envisagé de parler de "Smooth Infinitesimal Analysis", mais j'ai craqué avant de les écrire).

(au passage je remarque que la découverte de ce nombre ne lui a posé aucune difficulté, malgré ou grâce à son très jeune âge ?).
Je suis incapable de répondre à cela

Je suis incapable de donner une réponse pertinente, mais les discussions avec mes enfants sur des sujets, parfois compliqués (hôtel de Hilbert par exemple), montrent qu'ils comprennent plus vite que beaucoup d'adultes (moins de freins culturels entravent l'imagination, peut-être).

[karlp]

Bonjour très cher karlp,

1) Parce que dans ce cas on perd beaucoup de propriétés, par exemple si et , en appliquant les propriétés habituelles, on obtient et et donc 2 = 3 (cf. votre premier paragraphe).

2) L'analyse non standard (entre autres) répond à ce besoin : si on note , et bien est tout bêtement égal à .

3) Je vous invite à jeter un oeil là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958180, le chapitre sur les infinitésimaux (chapitre incomplet, j'avais prévu à minima une introduction : "Infinitésimaux : généralités et historique" et envisagé de parler de "Smooth Infinitesimal Analysis", mais j'ai craqué avant de les écrire).


4) Je suis incapable de donner une réponse pertinente, mais les discussions avec mes enfants sur des sujets, parfois compliqués (hôtel de Hilbert par exemple), montrent qu'ils comprennent plus vite que beaucoup d'adultes (moins de freins culturels entravent l'imagination, peut-être).

Bonjour à tous, merci à vous très cher Médiat !

1) J'aurais dû y penser puisque c'est très exactement ce raisonnement que j'avais tenu

2) Magnifique ! (j'attends avec impatience le moment où mon fils reviendra sur le sujet; je suis sûr qu'il va rire aux éclats en découvrant ce nombre non standard)

3) Quelle torture de manquer à ce point de temps; je n'y manquerais toutefois pas dès que possible.

4) Vous avez parfaitement raison : les enfants ignorent totalement les interdits qu'Aristote ont fait peser sur l'infini (en revanche ma fille de 6 ans refuse les négatifs, pour la même raison que celle que Delahaye impute aux"anciens" dans un article sur les hyper ensembles).

Excellente journée !

[khurnous]

Je me souviens qu'en recherchant des réponses sur ce sujet, je me suis rendu compte qu'une partie tient à des conceptions philosophiques, mais qui ont pour particularité d'être le point de départ de cette question.

1°Le zéro existe, de manière plus ou moins élaborée depuis le début de l'écriture. C'est une notation d'absence. Le chemin pour en faire un chiffre à part entière est long. Chez les Grecs la notion "d'absence" est intellectuellement inconcevable, c'est à l'opposé de leurs mentalités.

2°Au même moment, les mathématiciens indiens commencent à "jouer" avec cette notion pour finir par l'intégrer dans leur mathématique. Philosophiquement, la notion "d'absence" ne leur pose aucun soucis en raison de leur conception de l'univers.

Ce n'est que progressivement que ce chiffre, entre définitivement dans les systèmes mathématiques, avec les conséquences sur les opérations que nous connaissons. Intellectuellement, diviser par zéro est comme aboutir au néant, or le néant (et non pas le vide) étant inconcevable ceci ne peut exister.

Cette "perception" est maintenue et reconnue, tout en étant argumentée comme l'on fait les intervenants précédents par des exemples cités.

Désolé ci mon propos est hors sujet, mais la naissance des math est passionnante et se trouve profondément liée à la représentation mentale de l'univers et de la "réalité".

[JPL]

J'ai dans ma bibliothèque Zéro, la biographie d'une idée dangereuse par Charles Seife (chez JC Lattès).

[invitef17c7c8d]

Seule une pratique inductive peut prouver l'impossibilité de diviser par zéro.
Il faut faire des propositions, faire du calcul propositionnel..

On suppose:

Soit T la proposition : "Diviser un nombre par zéro"

Soit A l'hypothèse "Il existe un nombre "
Soit (not A) l'hypothèse négation de A.

Alors T permet de déduire (A) et T permet de déduire (not A), c'est à dire qu'on obtient une absurdité . C'est la notion d'Absurde.
Donc T est contradictoire ou non-cohérente.

De l'absurde on peut dériver n'importe quoi.

[SunnySky]

Supposons que j'ai une tarte qui pèse 100g et que je cherche à savoir combien de fourmis sont nécessaires pour manger cette tarte. Si on suppose que chaque fourmi ne mange que 0,1g de tarte j'ai besoin de 1000 fourmis pour faire disparaître ma tarte. Ce 1000 provient évidemment de 100g/0,1g.

Maintenant si chaque fourmi mange 0,01g il est facile de calculer qu'il faut 10 000 fourmis (100g/0,01g) pour faire disparaître la tarte.

Et si aucune fourmi ne mange de tarte? Si chaque fourmi mange exactement 0g de tarte, combien de fourmis sont nécessaires pour faire disparaître la tarte? Eh bien... c'est impossible de faire disparaître la tarte! Donc la division par zéro est impossible.

Un raisonnement de ce type pourrait peut-être satisfaire la curiosité d'un enfant.

[invite57ce320c]

oui effectivement et c'est très logique

[clmm2012]

Supposons que j'ai une tarte qui pèse 100g et que je cherche à savoir combien de fourmis sont nécessaires pour manger cette tarte. Si on suppose que chaque fourmi ne mange que 0,1g de tarte j'ai besoin de 1000 fourmis pour faire disparaître ma tarte. Ce 1000 provient évidemment de 100g/0,1g.

Maintenant si chaque fourmi mange 0,01g il est facile de calculer qu'il faut 10 000 fourmis (100g/0,01g) pour faire disparaître la tarte.

Et si aucune fourmi ne mange de tarte? Si chaque fourmi mange exactement 0g de tarte, combien de fourmis sont nécessaires pour faire disparaître la tarte? Eh bien... c'est impossible de faire disparaître la tarte! Donc la division par zéro est impossible.

Un raisonnement de ce type pourrait peut-être satisfaire la curiosité d'un enfant.

Bonsoir,

Mathématiquement, je comprends le raisonnement, bien que les maths et moi...

Si je veux diviser la tarte par "rien", dans la vraie vie cela revient... à ne pas la diviser, puisque je ne la divise pas, et donc ma tarte reste entière, donc divisée par 1, ce qui est son état d'origine (avant que ces foutues fourmis viennent tenter de me tirer en douce ma tarte). Donc la tarte reste "un"... donc toujours dans son état d'origine, donc toujours divisée par 1. J'en conclu que diviser par rien revient ) diviser par 1

Il y a pire: est ce que je peux diviser la tarte par 0,1? Ça donnerait vraiment 10 tartes? Ben, oui! puisque si je divise par un nombre compris entre 0 et 1 (1 étant exclu) en fait je multiplie. Ce sont les pâtissiers qui seraient contents. Mathématiquement c'est possible, mais dans la vraie vie, j'ai comme le début d'un doute où je me dis que diviser quelque chose d'existant, physiquement parlant, par un nombre compris entre 0 et 1 (1 exclu) n'est pas possible.

"Saperlipopette"! Voilà que vouloir diviser une tarte par un nombre négatif devient un casse tête terrible et qui relève de la magie! Si je divise la tarte par (-1) que se passe t'il? C'est simple: j'ai tout simplement bouffé la tarte... Si, si! Au départ j'ai +1 tarte puisqu'elle est "naturellement" divisée par 1. Si je divise la tarte par -1, j'ai alors -1 tarte. Donc, au final: 1 tarte +(-1) tarte = 0 tarte. Ce qui revient aussi à l'avoir fait déguster aux 10 000 fourmis à raison de 1g chacune. Bon, je continue: si je divis ma tarte d'origine par (-2) je vais alors recevoir... une tarte (Aie! Bon c'est vrai que celle là je ne l'ai pas volée... Tapez plus s'il vous plait)

Au fait, combien ça pèse une fourmi, en Europe? On va dire moins de pas grand chose et en tout cas moins d'un gramme. Donc, faire avaler ces 100 grames de tartes à 10 000 fourmis se révèle, dans la vraie vie, impossible, sauf à accepter d'assister à leur repas un temps infini. D'où on peut déduire qu'il est presque autant impossible de faire manger cette tarte par 10 000 satanées fourmis que de la diviser par n'importe quel nombre inférieur à 1.

Oui, je sais! Les maths et moi...

A+

[invited2911447]

Il est impossible de diviser par 0 pour la simple et bonne raison que si on divise par 0 ( =diviser par rien), est comme si on ne divisait pas.
Or, diviser, c'est ce qui est voulu! Tu ne vas pas diviser 10 pommes en 0 tas, il faut un changement, et si tu divise 10 par 0, tu n'as pas divisé, au final !

Simple comme bonjour...

[obi76]

Il est impossible de diviser par 0 pour la simple et bonne raison que si on divise par 0 ( =diviser par rien), est comme si on ne divisait pas.

N'importe quoi... résumé bref de ce que tu dis : 1/0 = 1.

[inviteccac9361]

Il est impossible de diviser par 0 pour la simple et bonne raison que si on divise par 0 ( =diviser par rien), est comme si on ne divisait pas.

Excellent.

Cette remarque, ajoutée à celle-ci :

N'importe quoi... résumé bref de ce que tu dis : 1/0 = 1.

montre à mon avis que si "tout" peut être assimilé à 1, "rien" ne peut pas quant à lui être assimilé à 0 aussi simplement dans le cadre algébrique.

Bien qu'on parle effectivement en informatique, de logique "tout ou rien", "1 ou 0"...

A noter que concrètement, le 0, l'absence d'un état choisi, particulier, comme en informatique (un potentiel éléctrique) est une notion relative à un autre état, choisi, particulier. (le 0 ne valant pas nécéssairement 0 volt)

L'absence d'un état n'est pas un "état d'absence".
L'absence ici étant relative à la présence, elle ne constitue pas un état "positif", mais plutôt un rapport potentiel, lié à la virtualité d'être présent.

L'absence est donc virtuelle, alors que la présence est concrête.

[Deedee81]

Salut,

L'absence est donc virtuelle, alors que la présence est concrête.

Moi je dirais plutôt que les derniers messages, concrètement, c'est virtuellement n'importe quoi

Bon, on est dans le forum ludique, mais tout de même

[WizardOfLinn]

http://www.cnrtl.fr/etymologie/z%C3%A9ro

Je n'aurais pas cru que certaines expressions utilisant "zéro" étaient si anciennes :
zero : personne nulle, sans valeur. Expression familière déjà utilisée en 1512
"...Childeric [...] n'estoit estimé que pour ombrage, ou pour un zero au nombre des chiffres..."

"La boule à zéro" ne daterait que de 1966

[Médiat]

Bonjour,

Je n'aurais pas cru que certaines expressions utilisant "zéro" étaient si anciennes :
zero : personne nulle, sans valeur. Expression familière déjà utilisée en 1512

Leonardo Fibonacci (1175 - 1250) est considéré comme l'introducteur du zéro en Europe, rien d'anormal à ce que 300 ans plus tard on en trouve des traces dans le langage.

[Deedee81]

Salut,

Tiens, une question toute bête. Le zéro n'existait évidemment pas dans l'écriture romaine. Mais comment notaient-ils le zéro ? Je veux dire pour indiquer une absence : un blanc ? Le mot rien ou vide (en latin évidemment ) ? Par exemple quand ils calculaient, disons, XI - XI, qu'écrivaient-ils pour le résultat ? (je sais que dans certaines civilisations c'était un vide, dans d'autres il existait un symbole pour le zéro sans nécessairement avoir de numération de position).

[Médiat]

Bonjour,

Je ne sais pas ce que faisait les Romains, mais le zéro en tant que nombre n'est apparu qu'au 7ième siècle aux Indes (Brahmagupta) et au 9ième siècle en occident (Al-Khawarizmi), donc je vois mal les Romains écrivant IX - IX = "Un symbole/absence de symbole" avant ces dates, voire avant que Fibonacci ne l'introduise en Italie.

[invite29cafaf3]

Moi, j'ai une question nettement plus bête : combien de fois en 2013 va t-on voir revenir cette question (bête) récurrente sur la division pas zéro ?
Question subsidiaire : combien de posts et de pages cela va t-il engendrer sans aucune utilité ?

[Deedee81]

donc je vois mal les Romains écrivant IX - IX = "Un symbole/absence de symbole" avant ces dates, voire avant que Fibonacci ne l'introduise en Italie.

Pourtant, quand ils avaient neufs pommes, ça devait leur arriver de toutes les manger Mais je suppose qu'ils se contentaient de dire "y a plus rien".

Pour les exemples, je parlais des "zéros" ou des "vides" utilisés dans d'autres systèmes de numérations (pas nécessairement positionnels !) que les chiffres indo-arabes. A savoir cunéiforme, egyptien, maya, chinois,... Mais comme ce n'est pas ma spécialité, je n'ai pas du tout retenu lesquels utilisaient un symbole pour dire "résultat = plus rien" ou un simple vide (il semble me souvenir que les babyloniens avaient une numération de position avec un vide pour le zéro, ce qui ne devait pas être franchement très pratique ) Je ne sais plus du tout dans quel cas il y avait un "oeil" qui voulait dire "vide" utilisé comme résultat zéro (mais pas comme zéro positionnel, ça c'est une découverte majeure des indiens), je me demande si ce n'était pas les mayas.