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Probleme du train



  1. #1
    rhô têta point carré

    Probleme du train


    ------

    Soit un train qui met 5h pour parcourir 500km.

    Existe t il forcement un laps de temps de 1h pendant lequel le train va parcourir exactement 100km ?

    Meme question pour 2h et 200km...

    On justifiera les réponses...

    -----
    "L'Univers est une machine à faire des Dieux" H. Bergson

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  3. #2
    Argyre

    Re : Probleme du train

    Citation Envoyé par rhô têta point carré
    Soit un train qui met 5h pour parcourir 500km.

    Existe t il forcement un laps de temps de 1h pendant lequel le train va parcourir exactement 100km ?

    Meme question pour 2h et 200km...

    On justifiera les réponses...
    Yes.
    Pour la démo, intuitivement, comme il existe pour tout x >100 une vitesse sur les derniers 100 km, et que la vitesse moyenne est de 100 km/h, alors il faut bien qu'il y ait des plus que 100km/h et des moins que 100km/h... et comme la fonction est continue, il y aura des passages à 100km/h.

  4. #3
    rhô têta point carré

    Re : Probleme du train

    on ne cherche pas des passages a 100km/h mais que pendant une durée de 1h, on fasse 100km !! copletement different...

    relisez bien l'énoncé
    "L'Univers est une machine à faire des Dieux" H. Bergson

  5. #4
    matthias

    Re : Probleme du train

    Mais la technique est la même. Il suffit d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction g(t) = f(t) - f(t-1) où f(t) est la distance parcourue en fonction du temps.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invité576543
    Invité

    Re : Probleme du train

    La fonction qui donne le nb de km dans l'heure qui précède est continue.

    Les cinq points à 1 h, 2 h, 3 , 4 et 5 totalisent 500 km. Il y en en au moins 1 supérieur ou égal à 100, et la courbe part à 0...

    EDIT: Croisement avec Matthias

  8. #6
    Argyre

    Re : Probleme du train

    Citation Envoyé par rhô têta point carré
    on ne cherche pas des passages a 100km/h mais que pendant une durée de 1h, on fasse 100km !! copletement different...

    relisez bien l'énoncé
    Je ne parlais pas de vitesse instantanée, mais de vitesse moyenne sur les derniers 100 km. Relis bien mon post.

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  10. #7
    claude27

    Re : Probleme du train

    Citation Envoyé par rhô têta point carré
    on ne cherche pas des passages a 100km/h mais que pendant une durée de 1h, on fasse 100km !! copletement different...

    relisez bien l'énoncé
    oui , il suffit simplement que pendant ce laps de temps de 1 heure , la vitesse moyenne soit de 100km/h !
    ce qui n' empêche pas de remplir les conditions énoncées initialement , sans sortir de formule d' aucune sorte

    mais , ai je bien relu l' énoncé

  11. #8
    matthias

    Re : Probleme du train

    Par contre ça ne marche pas pour 2h et 200 km/h

  12. #9
    claude27

    Re : Probleme du train

    oui , je pense avoir bien relu !
    sur une quelconque période de 1 heure , placée indifféremment sur la période de 5 heures , il suffit que la moyenne soit de 100 km / h
    pas de pb !
    Dernière modification par claude27 ; 13/01/2006 à 13h24.

  13. #10
    invité576543
    Invité

    Re : Probleme du train

    Citation Envoyé par matthias
    Par contre ça ne marche pas pour 2h et 200 km
    170 km/h la première heure, 0 la seconde, 160 km/h la troisième, 0 la quatrième, 170 la cinquième.

  14. #11
    matthias

    Re : Probleme du train

    J'avais presque exactement le même contre-exemple
    J'avais mis 190 à la place de 170 et 120 à la place de 160.

  15. #12
    matthias

    Re : Probleme du train

    D'ailleurs si on prend 500/3 = 166.66... km/h sur les heures 1, 3 et 5, on voit qu'en 2 heures le train parcourt toujours 166,66... km

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  17. #13
    invité576543
    Invité

    Re : Probleme du train

    Quelle est alors la condition sur x pour qu'il y ait obligatoirement une tranche de x heures où le parcours dépasse ou est égal à 100x km ?? Au pif, que 5/x soit entier?

    Cordialement,

  18. #14
    matthias

    Re : Probleme du train

    Avec 5/x entier ça marche bien oui.
    Maintenant il faudrait un contre-exemple pour 5/x non entier, avec x quelconque. Je pense que ça doit bien se faire si 5/x est rationnel, sinon il doit falloir bidouiller.

  19. #15
    mécano41

    Re : Probleme du train

    Bonjour

    Dans un repère cartésien on représente e=f(t)
    On marque :
    point P (t=5 , e=500)
    point Q (t=0 , e=500)
    point R (t=5 , e=0)

    OP est le mouvement à vitesse moyenne 100 km/h sur 500 km. La pente de OP est la vitesse moyenne.

    Sur OP, on marque :
    point M (t1 , e1) et point N (t1+1 , e1+100)

    Dans OQPR il existe forcément un segment équipollent à MN.

    Le graphe OABP represente le mouvement.
    Les pentes de OA, AB et BP représentent respectivement les vitesses moyennes avant, pendant et après la phase à 100 km/h pendant une heure.

    Limites : MN doit être < OP et, physiquement, A ne peut se trouver sur OQ, ni B sur OR (vitesses infinies)

    Idem avec 2 h et 200 km.

    Etes-vous d'accord ?

    Salut. A bientôt

  20. #16
    matthias

    Re : Probleme du train

    Que sont les points A et B ? Je ne comprends pas ta démonstration.

    Idem avec 2 h et 200 km.
    Bah, non. On a déjà donné des contre-exemples pour ce cas.

  21. #17
    mécano41

    Re : Probleme du train

    Citation Envoyé par matthias
    Que sont les points A et B ? Je ne comprends pas ta démonstration.


    Bah, non. On a déjà donné des contre-exemples pour ce cas.
    Bonjour
    D&#233;sol&#233;, il fallait lire :
    Dans OQPR il existe forc&#233;ment un segment AB &#233;quipollent &#224; MN.

    Pour le cas 200 km en 2 heures, si tu vas par exemple &#224; 200 km/h pendant 1/4 h puis &#224; 100 km/h pendant 1 h puis &#224; 66.666 km/h pendant 3/4 h tu as bien fait 200 km en 2 heures avec un passage &#224; vitesse moyenne de 100 km/h ou bien me trompe-je ?

  22. #18
    invité576543
    Invité

    Re : Probleme du train

    Citation Envoyé par mécano41
    Pour le cas 200 km en 2 heures, si tu vas par exemple à 200 km/h pendant 1/4 h puis à 100 km/h pendant 1 h puis à 66.666 km/h pendant 3/4 h tu as bien fait 200 km en 2 heures avec un passage à vitesse moyenne de 100 km/h ou bien me trompe-je ?
    Nous avons interprété le problème comme demandant si, le trajet total restant de 500 km, il existe ou non un intervalle de 2 h et 200 km.

    Cordialement,

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  24. #19
    mécano41

    Re : Probleme du train

    Citation Envoyé par mmy
    Nous avons interprété le problème comme demandant si, le trajet total restant de 500 km, il existe ou non un intervalle de 2 h et 200 km.

    Cordialement,
    Bonjour

    Effectivement j'avais mal interpr&#233;t&#233; l'&#233;nonc&#233;. Merci.

    Il me semble cependant que cela ne change rien pour ce deuxi&#232;me cas. Avec le m&#234;me principe et sur un graphe de 500 km/5 h on peut placer un segment AB de 200 km /2h par exemple en faisant A(t=1 , e=200) et B(t=3 , e=400) :
    En faisant 200 km en 1 h (200km/h) puis les 200 km en 2 h (100 km/h) et enfin 100 km en 2h (50 km/h)
    on aura bien fait 500 km en 5h avec un passage de 200 km en 2h.

    O&#249; est mon erreur ?

    A bient&#244;t

  25. #20
    invité576543
    Invité

    Re : Probleme du train

    Citation Envoyé par mécano41
    Il me semble cependant que cela ne change rien pour ce deuxième cas. Avec le même principe et sur un graphe de 500 km/5 h on peut placer un segment AB de 200 km /2h par exemple en faisant A(t=1 , e=200) et B(t=3 , e=400) :
    En faisant 200 km en 1 h (200km/h) puis les 200 km en 2 h (100 km/h) et enfin 100 km en 2h (50 km/h)
    on aura bien fait 500 km en 5h avec un passage de 200 km en 2h.

    Où est mon erreur ?

    A bientôt
    Il n'y a pas d'erreur, mais la question est de savoir si dans tous les cas il y a un tel intervalle. En fait, il y a des cas où il y en a (la vitesse constante de 100 km/h est le plus simple exemple, d'ailleurs!), et des cas où il n'y en pas, comme ceux qui ont exhibés dans des postes plus anciens.

    Cordialement,

  26. #21
    mécano41

    Re : Probleme du train

    Désolé mais deuxième coquille dans mon post #15 (Première coquille voir post #17). Il faut lire :
    Limites : MN doit être < OP et, physiquement parlant, A ne peut se trouver sur OQ, ni B sur PR (vitesses infinies).

    A bientôt

  27. #22
    homotopie

    Re : Probleme du train

    Citation Envoyé par rhô têta point carré
    Soit un train qui met 5h pour parcourir 500km.

    Existe t il forcement un laps de temps de 1h pendant lequel le train va parcourir exactement 100km ?

    Meme question pour 2h et 200km...

    On justifiera les réponses...
    Réponse : oui pour 1h et 100 km ; non pour 2h et 200 km. La différence entre les deux est bien que 5/1 est entier contrairement à 5/2. (Comme Matthias et mmy en ont eu l'intuition.)
    Justification :
    le problème se simplifiera en effectuant le changement f(t)=d(t)-100t où t est le temps variant de 0 à 5, d la distance en km. (C'est la même transformation que dans la démonstration classique du théorème des acroissements finis.)
    Le problème revient donc à savoir s'il existe nécessairement une valeur de t telle que f(t+c)-f(t)=0 pour une fonction continue f telle que f(0)=f(5)=0. (les cas considérés ici sont c=1 et c=2)
    Le plus délicat, et le plus instructif, est le contre-exemple, à savoir construire une fonction f telle que :
    1) f(x+c)-f(x)<>0 pour tout x compris entre 0 et 5-c.
    2) f(0)=f(5)=0
    Faire seulement le 1) est trivial : toute fonction g strictement croissante convient par exemple. On peut toujours fixer g(0)=0 d'où g(5)>0.
    "correction" du défaut en t=5
    on pose f=g+h
    i) f(x+c)-f(x)<>0, une possibilité simple est de prendre une fonction h c-périodique. En effet, dans ce cas f(x+c)-f(x)= g(x+c)-g(x)+(hx+c)-h(x)=g(x+c)-g(x)<>0.
    ii) f(0)=0 donc h(0)=0 et f(5)=0 donc h(5)=-g(5).
    Est-ce possible pour h de remplir ces 3 conditions? Il n'est pas difficile de se rendre compte que la seule obstruction possible est que 0 et 5 soient congrus modulo c, càd que 5/c soit entier.
    Le cas c=2 est donc résolu, contre-exemple explicite :
    d(t)=110t-10sin²(pi*t/2) ; càd g(t)=10t et h(t)=-10sin²(pi*t/2).
    Pour c=1 (et plus généralement c=5/n avec n entier) comme suggéré par Matthias en posant ici : v(t)=(f(t+c)-f(t))/c, on a
    v(5-c)+...+v(c)+v(0)=0 d'où v (vitesse moyenne sur c heure corrigée par rapport à la moyenne de 100 km/h) prend au moins une fois une valeur positive et au moins une fois une valeur négative (positive et négative dans le sens large) et comme elle est supposée continue elle s'annule nécessairement.

    Dernières remarques :
    1) Pour ceux qui sont à l'aise avec, regarder le problème sur un cylindre est éclairant)
    2) les contre-exemples de Matthias et mmy ne sont pas valides car ne montrent que la vitesse moyenne sur 2 h n'est pas de 100km/h seulement pour un nombre fini d'intervalles. (Ces "contre-exemples", d'ailleurs, contrediraient également, s'ils étaient valides, le résultat positif pour c=1h).
    3) Mécano, le problème technique de ta démonstration est que celle-ci ne prouve que si des vitesses moyennes sur les intervalles de deux heures sont toutes supérieures à 100 km/h alors il existe nécessairement des vitesses moyennes inférieures à 100 km/h mais finalement "sans contrôle" sur la longueur de ceux-ci. Le problème intuitif (j'ai fait la même erreur au départ d'ailleurs avant de buter sur l'impossibilité de se ramener au cas des valeurs intermédiaires ou au théorème de Rolle) est que les cordes au graphe d'une fonction ne se comportent pas comme les tangentes : dans le contre-exemple que j'ai donné toutes les cordes pour 2h ont même direction!

  28. #23
    invité576543
    Invité

    Re : Probleme du train

    Citation Envoyé par homotopie
    R
    2) les contre-exemples de Matthias et mmy ne sont pas valides car ne montrent que la vitesse moyenne sur 2 h n'est pas de 100km/h seulement pour un nombre fini d'intervalles. (Ces "contre-exemples", d'ailleurs, contrediraient &#233;galement, s'ils &#233;taient valides, le r&#233;sultat positif pour c=1h).
    Expliques! Par exemple en donnant un intervalle qui marche dans les contre-exemples propos&#233;s.

    A ce que j'en vois, tous les intervalles de 2h ont une vitesse diff&#233;rente de 100 km/h, et pas seulement un nombre fini d'entre eux.

    Et c'est tr&#232;s facile de trouver un intervalle de 1 heure pour 100 km.

    Cordialement,
    Dernière modification par invité576543 ; 17/01/2006 à 16h09.

  29. #24
    invité576543
    Invité

    Re : Probleme du train

    Citation Envoyé par homotopie
    Est-ce possible pour h de remplir ces 3 conditions? Il n'est pas difficile de se rendre compte que la seule obstruction possible est que 0 et 5 soient congrus modulo c, c&#224;d que 5/c soit entier.

    Pour ceux qui aiment bien comprendre, le contrexemple g&#233;n&#233;ral est :

    h(t)=-10sin&#178;(pi*t/c)

    g(t)=10tsin&#178;(pi*5/c)

    d'o&#249;

    d(t)=100t + 10t sin&#178;(pi*5/c) - 10sin&#178;(pi*t/c)

    Il marche si et seulement si g(t)<>0 pour t>0, donc si 5/c n'est pas entier.

    Cordialement,

  30. Publicité
  31. #25
    homotopie

    Re : Probleme du train

    Citation Envoyé par mmy
    170 km/h la première heure, 0 la seconde, 160 km/h la troisième, 0 la quatrième, 170 la cinquième.
    Autant pour moi, il semble qu'il y ait eu mauvaise interprétation de ma part : j'avais lu cette réponse comme des seules moyennes sur 5 intervalles et non des vitesses constantes. (Cela vient que lorsqu'on parle de train dans ce genre de problème je suppose la vitesse de celui-ci comme continue).

  32. #26
    mehditlili

    Re : Probleme du train

    pour montrer que tous les anes ne sont pas noirs , il suffit de montrer qu'un ane est blanc
    aucune information sur la vitesse n'a été donné , j'en conclut qu'elle peu varier a souhait donc
    pour 5 heure / 500 km ca peu etre fait comme ceci
    train en repos pendant 4 heures
    train a 500km/h pendant 1 heure

    de meme pour 2 heure / 200 km
    1 heure de repos puis 1 heure /200 km
    j'espere que je en deconne pas !!mais je crois pas ke ce ke jai dit soit faux!!

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