On divise un triangle BRV (bleu-rouge-vert) en n² "petits" triangles égaux. (n est un entier non nul)
Pour ce faire, on divise les côtés en n parties de même longueur ce qui donne 3(n-1) nouveaux sommets (qu'on appellera latéraux).
On trace ensuite les parallèles aux côtés du triangle BVR passant par ces sommets latéraux (ainsi 2 segments sont tracés à partir de chacun de ces sommets latéraux.) Cette opération crée n(n-1)/2 nouveaux sommets qu'on appelera intérieurs.
Un petit triangle est naturellement un triangle de la figure ainsi obtenue ne contenant aucun sommet en son intérieur. On peut vérifier qu'ils sont en nombre de n².
Le luxe de détail numérique est juste là pour s'assurer que la figure est la bonne (il suffit de construire les cas n=1, 2, 3, 4 pour s'en assurer : ça va vite avec ces petits nombres).
Maintenant, on attribue une couleur bleue, rouge ou verte (et seulement une de celle là) à chaque sommet : les sommets B, V et R, les sommets latéraux et les sommets intérieurs.
Chaque petit triangle a donc 3 couleurs aux sommets (non nécessairement distincts). Un triangle est dit blanc si il a les trois couleurs à ses sommets.
Le but est de montrer qu'il y a au moins un triangle blanc.
Evidemment il faut ajouter une règle (sinon on colore tous les sommets de la même couleur et adieu les triangles blancs), la voici :
un sommet latéral ne peut recevoir qu'une couleur de son côté : s'il est sur le côté BR, il est soit bleu soit rouge mais pas vert; s'il est sur le côté BV, il est soit bleu soit vert mais pas rouge; et l'équivalent s'il est sur le côté RV.
Cette simple règle suffit à imposer à ce qu'il y ait toujours un triangle blanc, joli non? Mais pourquoi?
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