Course poursuite

[invite2313209787891133]

Bonjour à tous

Une souris se trouve sur un damier de 100*100 cases ; chaque case étant désignée par des coordonnées comme sur un graphique.
A t=0 la souris est sur la case (1,1), et cette souris se déplace vers le "haut" d'une case par minute, c'est à dire qu'au bout d'une minute elle sera sur la case (1,2), la minute suivante sur la case (1,3) etc.

Par ailleurs, à t=0, un chat se trouve sur la case (100,1). Le chat avance 2 fois plus vite que la souris et se dirige à tout instant en ligne droite vers celle ci.

Par ailleurs, à t=0, un chien se trouve sur la case (1,100), et il se dirige à tout instant vers le chat en ligne droite.

Le but de l’énigme est le suivant : A quelle vitesse le chien doit il se déplacer pour rencontrer le chat à l'instant précis ou celui ci rencontre la souris.
Petite question subsidiaire : Sur quelle case cette rencontre aura elle lieu ?
Petite question subsidiaire n°2 : Pouvez vous tracez les trajectoires ?

Bonne chance
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[CM63]

Bonjour,

La souris se déplace-t-elle brusquement d'une case à une autre chaque minute, ou a vitesse constante?

Bonne journée.

[CM63]

Bonjour,

N'y a-t-il pas une inexactitude dans l'énoncé? Si le chat se déplace à tout instant vers la souris, il ne va pas se déplacer en ligne droite, puisqu'il va suivre la "courbe du chien" (dans le cas où la souris se déplace à vitesse constante). Même réflexion pour le chien.

Il vaudrait mieux dire : le chat se déplace à vitesse constante en se dirigeant en permanence vers la souris. Même chose pour le chien.

Evidemment, il vaudrait mieux dire : le chat se déplace à module de vitesse constante et oriente en permanence sa trajectoire en direction de la souris, mais ça c'est trop matheux pour un énoncé d'énigme dans la rubrique "la science en s'amusant" .

Bonne journée.

[invite51d17075]

a moins d'une astuce,
je le vois aussi( à première vue ) comme un pb purement mathématique et pas immédiat. ( genre equa diff )

ps: les damiers sont-ils utiles sachant que chat et chien ont des trajectoires non linéaires ?

bref : astuce ou calcul bourrin ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2313209787891133]

Bonjour

Je ne connaissais pas cette notion de "courbe du chien" ; j'ai pensé à ce problème par hasard. Pour la résolution je suppose donc qu'il faudra passer par les outils mathématiques.
En ce qui concerne la vitesse de la souris elle est supposée constante, et le chat se déplace effectivement en permanence en direction de la souris.

[CM63]

Bonjour,

La "courbe du chien" est la trajectoire d'un chien qui part du point (0,a) et qui se dirige vers son maître qui, lui part de l'origine et se déplace sur l'axe des x, à une vitesse V. Le chien se déplace à une vitesse double de celle du maître (par exemple). Tu trouveras l'équation de cette courbe facilement sur le web.

Des variantes peuvent être obtenues lorsque le rapport des vitesses n'est pas 2 mais une autre valeur. Par exemple si le chien se déplace à la même vitesse que le maître, il ne va jamais le rattraper et suivre une trajectoire asymptotique, dont l'asymptote est horizontale.

Dans le cas du problème que tu nous poses, le chat suit la "courbe du chien" en jouant le rôle du chien, la souris, elle, jouant le rôle du maître. Quant au chien (celui de ton problème), il suit la "courbe du chien" d'un maître qui suivrait déjà la courbe du chien. Son équation est évidemment plus compliquée. Bon courage!

Personnellement je m'étais posé un problème différent : 3 chiens sont sur les 3 sommets d'un triangle équilatéral. Le chien A se dirige vers le chien B, le chien B vers C, le chien C vers A. Quelle est leur trajectoire? J'avais montré que leur trajectoire est une spirale exponentielle. Les 3 chiens se rejoignent en l'origine, au bout d'un temps fini, en regardant dans une direction indéterminée (ça c'est pas sûr, enfin bref).

Bonne journée

[CM63]

Bonjour,

En fait ce second problème est connu sous le nom de problème des souris, et les trajectoires sont des spirales logarithmiques et non pas exponentielles.

Bonne soirée.

[invite51d17075]

[invite179e6258]

et si la souris se déplace selon un mouvement brownien, est-ce que le chien suit lui-aussi un mouvement brownien? de même paramètre de dispersion?

[invite51d17075]

je pense que non, la dérivée de la trajectoire, pas elle-même ?

[JPL]

Le mouvement brownien, comme la plupart (ou toutes ?) les fractales n'a pas de dérivée.

[invite51d17075]

on parle bien du poursuivant de la souris, pas d'elle même ?

[JPL]

Le chien ne peut pas suivre la dérivée d'une trajectoire brownienne puisque cette dérivée n’existe pas. Ou alors je n'ai pas compris.

[invite51d17075]

Le chien ne peut pas suivre la dérivée d'une trajectoire brownienne puisque cette dérivée n’existe pas. Ou alors je n'ai pas compris.

moi aussi, j'ai peut être pas compris.
le chien suit la trajectoire de la souris ( qui est browniènne donc continue et non dérivable ), mais pas la dérivée de la trajectoire de la souris.
celà étant, ma réponse initiale était instinctive.
j'attend les explications de toi, topick, ou tout ceux qui modélise proprement le truc ,: )

[invite51d17075]

je me corrige et complète.
je suppose qu'effectivement le poursuivant suit une trajectoire ( type brownienne ) mais avec un coef de dispersion décroissant en fct de t.
à condition que V(poursuivant)>K* "vitesse de dispersion" de la souris.
je cherche le mot adhoc.

[CM63]

Bonjour,

D'une façon générale, la trajectoire du mobile suiveur va être "smouthée" par rapport à celle du maître.

Bonne journée.

[invite179e6258]

je crois que je vois comment on pourrait aborder le problème de la souris brownienne, mais j'ai la flemme de poser le calcul. Par contre c'est facile à simuler. Et quand je simule... je vois que mon intuition était absolument fausse. Le chien ne suit pas du tout une trajectoire brownienne, il rattrape très vite la souris. Dans les deux réalisation ci-dessous, le chien va respectivement à 5% et 1% de la vitesse de la souris.

en noir : la souris (qui par de la position (0,0))
en rouge : le chien (qui part de (100,0))
le point vert : le festin du chien (du coup ce serait mieux avec un chat...)

[invite179e6258]

en fait le meilleure tactique pour la souris, c'est de fuir tout droit dans la direction opposée à celle du chat (va pour le chat). C'est du reste ce qu'on observe chez les animaux.

[invite2313209787891133]

je crois que je vois comment on pourrait aborder le problème de la souris brownienne, mais j'ai la flemme de poser le calcul. Par contre c'est facile à simuler. Et quand je simule... je vois que mon intuition était absolument fausse. Le chien ne suit pas du tout une trajectoire brownienne, il rattrape très vite la souris. Dans les deux réalisation ci-dessous, le chien va respectivement à 5% et 1% de la vitesse de la souris.

en noir : la souris (qui par de la position (0,0))
en rouge : le chien (qui part de (100,0))
le point vert : le festin du chien (du coup ce serait mieux avec un chat...)

Bonjour

Ce n'est pas l'énoncé : Un chien poursuit un chat qui poursuit une souris.

[invite51d17075]

Bonjour

Ce n'est pas l'énoncé : Un chien poursuit un chat qui poursuit une souris.

ben , fais le toi-même !
j'avais trouvé la bonne intégrale pour le chat, ensuite la flemme de la calculer, et du coup on va pas en remettre un coup pour le chien ( je parle pour moi )
dans la mesure ou il n'y a pas d'astuce, mais des calculs plutôt complexes.
à chacun son envie de s'y coller ou pas.

je remercie d'ailleurs,toopick de sa simulation. et sa question était "elle" plus marrante !
ma première impression était bonne (pas la seconde ), sur sa question , le chat n'a pas un mouvement brownien.

[invite2313209787891133]

ben , fais le toi-même !
j'avais trouvé la bonne intégrale pour le chat, ensuite la flemme de la calculer, et du coup on va pas en remettre un coup pour le chien ( je parle pour moi )
dans la mesure ou il n'y a pas d'astuce, mais des calculs plutôt complexes.
à chacun son envie de s'y coller ou pas.

Pourquoi tant d'agressivité ?
J'ai cherché la solution de ce problème avant de le poser bien évidement, mais je ne l'ai pas fait par calcul, et je voulais voir les approches de chacun.

[invite51d17075]

ce n'est pas de l'agressivité.
l'approche de chacun tu l'as eu.
equa diff chiantes à résoudre.

[invite2313209787891133]

Je pense que tu devrais te relire avant de valider (ou demander l'avis d'un tiers si tu manques de jugement) car tu es assez coutumier du fait.
Pour ma part je n'ai pas utilisé d'équa diff ni de simulation ; ce n'est pas parce que tu connais une façon de résoudre un problème que c'est l'unique façon de faire.

[invite179e6258]

il y a souvent (toujours sans-doute) plusieurs approches possibles d'un problème mathématique, mais une équation différentielle me semble ici l'approche canonique. Dans le cas d'une souris aléatoire, c'est aussi comme ça que je verrais les choses (avec ce qu'on appelle le calcul d'Itô)

[invite51d17075]

Je pense que tu devrais te relire avant de valider (ou demander l'avis d'un tiers si tu manques de jugement) car tu es assez coutumier du fait.Pour ma part je n'ai pas utilisé d'équa diff ni de simulation ; ce n'est pas parce que tu connais une façon de résoudre un problème que c'est l'unique façon de faire.

de quels faits ? la précision m'interesse.
par ailleurs, si tu as une solution astucieuse pour résoudre cette "equation" avec simplicité, je suis preneur !
et même tout ouie.

edit: vu l'énoncé; je pose le pb de cette façon tout comme toothpick me semble-t-il !
enfin, j'ai parfois au contraire proposé plusieurs approches dans les forums maths !