Economie : le retour.

[azad]

Salut.
Encore un truc d'économe.
Cette fois il s'agit de quatre ville disposées aux quatre sommets d'un carré. Ce sont des villes nouvelles, et se pose le problème de les relier par un réseau routier. Fidèle à la tradition, notre carré a pour coté l'unité. Comment relier les quatre villes par un réseau le plus court possible ?
Note. La valeur numérique que vous allez trouver, semble bien, intuitivement, répondre à la question. Et si je ne vous demande pas de démontrer que c'est effectivement la bonne réponse, c'est surtout, parce que j'en suis incapable moi-même.
Je crois que cette démonstration tient du calcul des variations. S'il y a des amateurs, à vos chaines d'arpenteurs !
-----

[vincent66]

Bonsoir
Avec les côtés du carré on aurait 4, avec 3 des 4 côtés 3, alors que :

 Cliquez pour afficher

avec les deux diagonales on a 2x racine carrée de 2 soit 2,8...

Vincent

[azad]

Ha j'oubliais, bien sûr on pourrait relier les quatre villes par les cotés des carrés. Ou par ses diagonales.Mais ce serait gaspiller de l'asphalte. Faut trouver mieux.
Vincent... j'ai un peu tardé avant de poster ce message. Mais tu vois que j'écarte les deux diagonales. Il y a plus court.

[invite765732342432]

2.736, je ne vois pas plus court...

[A voir en vidéo sur Futura]

[vincent66]

huit tiers..?

[bvph]

1+sqrt 3 = 2,73

 Cliquez pour afficher

arbre de Steiner

[danyvio]

Je connais la réponse, puisque j'avais posté ce problème il y a longtemps. Une indication toutefois : vivent les angles de 2/3

[azad]

Le 8/3 de Vincent ferait le bonheur de l' entrepreneur de chantier public qui atteindrait cette valeur. Mais reste à voir comment il a trouvé cette valeur ? Qui semble la meilleure possible.

Faith a trouvé 2.736 soit sans doute 1/2 +sqrt (5). Un poil trop grand.

Et bien sur bvph avec son 1 +sqrt (3) l'emporte avec 3/1000 d'avance.

Et en prime il évoque un certain Steiner, dont j'ignorais l'existence jusqu'à ce matin. Après vérification il apparaît que Mr Steiner était un pro de la recherche opérationnelle, et j'aimerais voir comment on peut démontrer ce résultat.
Parce que, l'arbre en question qui est très intuitif, permet par les méthodes de la géométrie analytique élémentaire de trouver la fonction donnant la somme de la longueur des tracés, ensuite une dérivation nous donne la valeur qui minimise cette fonction.
Seulement, comme je le disais dans l'énoncé : l'intuition nous souffle un tracé. Mais comment démontrer que ce tracé est précisément celui qui conduit à la bonne solution. Une âme charitable pour me répondre ? Merci.

[bvph]

Fais des recherches avec : chemin le plus court, bulles de savons
cordialement

[azad]

Salut
Tu es gentil, mais j'ai essayé, une fois, et j'ai mis trois mois et 12 boites d' aspégic 1000, pour m'en remettre. Et il m'en reste des traces : je n'utilise plus de savon moussant.

[danyvio]

Les abeilles ont trouvé la solution depuis longtemps...

[vincent66]

En effet j'ai fait une erreur de calcul, je sors..!
Vincent

[azad]

Les abeilles ont trouvé la solution depuis longtemps…

http://sciencesetavenir.nouvelobs.co...t-resolue.html

Voilà, comme moi, après mon expérience sur les bulles de savon.
C'est la fièvre de la masse prolétarienne, et rien d'autre, qui fait ces hexagones.

[vincent66]

Et d'un coup un seul on économise le bitume ainsi que l'essence..