L'énigme des femmes de Bagdad

[invite98b26bf4]

Salut à tous!

Je vous propose une énigme assez connue mais dont la solution habituellement donnée m'a paru simplement fausse. Merci de me dire ce que vous en pensez :

Le calife de Bagdad convoqua un jour tous les hommes mariés de sa cité. On suppose que la monogamie était dans ces temps la règle. Le calife leur tint ces propos:
"Afin de lutter contre l'adultère, je demande à chacun d'entre vous, s'il s'aperçoit qu'il est trompé, de tuer sa femme le soir même à minuit."
"De plus, je peux vous dire qu'au moins deux femmes sont infidèles à leur mari."
Evidemment, les habitants de Badgad sont très obéissants à l'égard de leur commandeur des croyants, et appliquent à la lettre tous les ordres donnés. Cependant, comme il est d'ailleurs toujours d'usage, les cocus sont les seuls à ignorer l'infidélité de leur femme. Chaque mari sait quelles sont les femmes infidèles des autres maris, mais ignore si sa propre femme l'est ou non. Par contre, on suppose que les habitants de Bagdad ont une grande intelligence logique, et qu'ils sont donc tout à fait capable de tirer des conclusions sur leur propre situation à partir du comportement des autres.
Rien ne se passe pendant 12 jours. Mais le treizième jour, à minuit, tous les maris cocus exécutent leurs femmes. Combien y avait il de femmes infidèles à Baddad ?

Voici la solution donnée :

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Chacun sait qu'il y a au moins deux femmes infidèles à Bagdad. Supposons qu'il y ait eu exactement deux femmes. Chaque mari cocu ne connaitrait qu'une seule femme infidèle chez les autres. Il en déduirait donc immédiatement que la deuxième femme infidèle est nécessairement la sienne. Il la tuerait alors le soir même. Si rien ne se passe le premier soir, cela signifie qu'il y a au moins trois femmes infidèles à Bagad, ce que tous les maris déduisent le lendemain. Mais alors, quiconque ne connaîtrait que deux maris cocus en concluraient qu'il l'est lui aussi, et tuerait sa femme le soir même. Si rien ne se passe le deuxième soir, c'est qu'il y a alors au moins quatre femmes infidèles. On peut ainsi continuer: si rien ne se passe le nième soir, cela signifie qu'il y a au moins n+2 femmes infidèles. Mais si des exécutions ont lieu le nième soir, alors, c'est qu'il y avait n+1 cocus. Les meurtres ayant lieu le 13èmesoir, on en déduit que Bagdad comptait 14 maris trompés.

Et ce qui semble logique :

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Dès le premier soir, et comme il est dit dans l'énigme, tous les hommes savent qu'il y a 14 femmes infidèles - sauf les cocus qui n'en connaissent que 13 -, donc l'indice donné par le Calife est juste mais ne sert à rien. Il n'y a dès lors aucun moyen pour les cocus de s’apercevoir de l'infidélité de leur femme et celles-ci peuvent dormir tranquille.

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[CM63]

Bonsoir,

Je ne comprends pas ta solution:

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Dès le premier soir, et comme il est dit dans l'énigme, tous les hommes savent qu'il y a 14 femmes infidèles

Ben non, tout ce qu'ils savent c'est qu'il en a au moins 2.

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- sauf les cocus qui n'en connaissent que 13 -,

Ok, sauf que c'est pas 13 mais une ,

Et donc je ne comprends pas ta conclusion:

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donc l'indice donné par le Calife est juste mais ne sert à rien. Il n'y a dès lors aucun moyen pour les cocus de s’apercevoir de l'infidélité de leur femme et celles-ci peuvent dormir tranquille.

Bonne soirée.

[invite98b26bf4]

"Chaque mari sait quelles sont les femmes infidèles des autres maris, mais ignore si sa propre femme l'est ou non"

A partir de là les hommes non cocus connaissent depuis toujours le nombre de femmes infidèles - 14 - et les hommes cocus ignorent simplement pour leur femme : ils n'en connaissent que 13. Ce contexte de base ne change pas après le discours du Calife car rien ne permet aux cocus de deviner l’infidélité de leur femme. Le raisonnement par récurrence de la solution classique est impossible et il ne se passera rien le 13ème jour. L'énigme est donc insoluble, et je ne crois pas qu'il existe une bonne formulation de l'énoncé permettant à la solution classique d'être envisageable.

[Titiou64]

Bonjour,

Pour moi ça ne change rien au problème qu'il le sache tous dès le début.
Chaque cocu croit qu'il y'a 13 femmes infidèles. Donc pendant les 12 premières nuits, y'a rien : tous les maris attendent pour savoir si leur femme est infidèle ou pas.
SI les femmes ne sont pas mortes le 13° jour, c'est que la leur l'est aussi. Et ils en prennent tous conscience la 13° nuit.

Avec la connaissance de toutes les femmes infidèles -1 dès le début, cette énigme est à rapprocher de celle des moines maudits http://forums.futura-sciences.com/sc...ne-maudit.html

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite98b26bf4]

Chaque cocu croit qu'il y'a 13 femmes infidèles. Donc pendant les 12 premières nuits, y'a rien : tous les maris attendent pour savoir si leur femme est infidèle ou pas.
SI les femmes ne sont pas mortes le 13° jour, c'est que la leur l'est aussi. Et ils en prennent tous conscience la 13° nuit.

Et comment prennent-ils conscience que leur femme est infidèle, et cela subitement le 13e jour ? La seule chose que savent les maris de Bagdad est la même chaque soir : il y a des femmes infidèles mais les cocus l'ignorent et ne les tuent pas. Chaque mari de Bagdad est alors obligé de douter de la fidélité de sa femme, sans pouvoir jamais avoir de certitude. Bref les femmes de Bagdad sont tranquilles.

[Amanuensis]

La question a été posée récemment sur ce forum, et a donner lieu à des développements importants.

(Novembre dernier, http://forums.futura-sciences.com/sc...e-realite.html)

[Sur les 107 messages, beaucoup sont sans intérêt ; ne pas s'y arrêter, le reste fait correctement le tour du sujet.]

Peut-être pas utile de recommencer un "débat", reprenant les mêmes arguments?

[Et les conclusions sont :

1) L'indice donné par le calife est nécessaire :

2) l'énigme est soluble

3) Cela change tout que dès le début l'indice soit indiqué.

4) Il est correct que, puisque le nombre de cocus est de 14, tout le monde sait qu'il y en a au moins un avant que le calife ne l'affirme.

La subtilité est que l'information donnée n'est pas qu'il y a au moins un cocu, mais que quelle que soit la situation envisagée il aurait été su dès le début qu'il y avait au moins un cocu.

Les développements sur cette idée, et d'autres, sont trouvables dans la discussion indiquée.]

[invite98b26bf4]

Merci pour le lien Amanuensis mais malgré les diverses lectures du problèmes envisagées je reste (malheureusement, vu l'acceptation générale de la solution classique) sur ma position qui me semble sans erreur de logique :

Après l'annonce du Calife, les maris dont la femme est fidèle connaissent 14 cocus et les cocus seulement 13 (car il ignorent pour leur femme). Le Calife n'apprend donc rien à personne en déclarant qu'il existe au moins 2 femmes infidèles.
Dès lors aucun type de raisonnement ne peut permettre à un mari de connaître l'infidélité de sa femme. La situation logique est bloquée : aucun mari n'a de certitude pour tuer sa femme et pourtant tous savent qu'il existe des femmes infidèles. Tous les maris, cocus compris, ne peuvent que douter de la fidélité de leur épouse.

La solution classique met en scène un raisonnement par l'absurde (plutôt que par récurrence) qui ne peut avoir lieu car sans amorce logique. Si un mari se met en pensée à la place d'un cocu, il ne peut que constater que celui-ci n'en sait pas plus que lui. Il n'y aucune raison pour qu'il poursuive cette plus avant cette mise en abîme ("j'imagine qu'un cocu imagine qu'un cocu imagine...") ne permettant aucune déduction.

Comme l'énoncé de cette énigme indique un événement qui ne peut se dérouler le 13e jour, celle-ci est à la fois sans solution et absurde. Et c'est sans doute la seule raison qui la fait paraître si compliquée.

[interferences]

Bonsoir,

Plaçons nous dans la tête d'un mari cocu.
Il voit 13 femmes infidèles et le calife lui a dit qu'au moins 2 femmes sont infidèles.
Le premier jour rien ne se passe, ce qui est normal pense-t-il car il y a 13 ou 14 femmes infidèles donc tout le monde en voit plus de 2.
Maintenant si il n'y avait eu que 2 femmes infidèles, il y aurait eu 2 meurtres.
Si il ne s'est rien passé, c'est qu'il y en a au moins 3, ce que tout le monde savait. Néanmoins le compteur du calife est toujours actif...car il n'y a aucune raison qu'il soit inactif !! Il n'y a rien à imaginer, il s'agit de logique.
Le deuxième jour de l'annonce, si rien ne se passe, c'est qu'il y a au moins 4 femmes infidèles etc...

Même si le Calife n'apprends rien à personne en disant qu'il y a 2 femmes infidèles, il rajoute :
"Afin de lutter contre l'adultère, je demande à chacun d'entre vous, s'il s'aperçoit qu'il est trompé, de tuer sa femme le soir même à minuit."

C'est la combinaison de ces 2 informations qui met en route le compteur logique.

[Amanuensis]

Après l'annonce du Calife, les maris dont la femme est fidèle connaissent 14 cocus et les cocus seulement 13 (car il ignorent pour leur femme). Le Calife n'apprend donc rien à personne en déclarant qu'il existe au moins 2 femmes infidèles.

Correct.

Dès lors aucun type de raisonnement ne peut permettre à un mari de connaître l'infidélité de sa femme.

Mais ça c'est incorrect.

La solution classique met en scène un raisonnement par l'absurde (plutôt que par récurrence)

Correct.

qui ne peut avoir lieu car sans amorce logique.

Comme ce n'est pas une récurrence, pas besoin d'une "amorce logique". C'est une régression, une suite de raisonnements par l'absurde qu'on peut finir grâce (et seulement grâce) à l'indication donnée par le calife.

Comme l'énoncé de cette énigme indique un événement qui ne peut se dérouler le 13e jour, celle-ci est à la fois sans solution et absurde. Et c'est sans doute la seule raison qui la fait paraître si compliquée.

Incorrect.

Ce qui se passe est que le raisonnement par régression arrière ne peut aboutir que le 13e jour.

La question est "j'observe 13 infidèles, est-ce qu'il y en a 13 ou 14?". De là une régression vers le passé, une suite de raisonnements par l'absurde, qui n'aboutissent à une contradiction seulement avec l'affirmation du calife, et cela n'est possible que le dernier jour.

Il n'y a aucun raisonnement à faire les premiers jours, l'information utile n'est pas encore obtenue. Mais quand elle est obtenue, le raisonnement qu'elle déclenche ne peut se conclure qu'avec l'indication du calife.

L'erreur courante est de présenter une "récurrence" qui se ferait jour après jour en partant de l'indication du calife. Ca c'est faux. Le raisonnement se fait le dernier jour (à une date prévisible par les cocus!), s'amorce sur l'information qu'on a atteint ce jour et se "ferme" sur l'indication du calife.

[invite98b26bf4]

Eureka! La solution classique de l'énigme est bel est bien juste!

Je formule la solution à ma manière si cela peut aider quelqu'un d'autre à l'avenir :

Le nombre de femmes infidèles donné par le Calife s'incrémente chaque jour de 1 car si aucune femme infidèle n'a été tuée la veille, cela signifie que les cocus en connaissaient davantage et gardaient espoir que leur femme soit fidèle.
Lorsque le nombre variable du Calife dépasse le nombre de femmes infidèles connus par les maris trompés, ceux-ci comprennent tout et tuent leur femmes le soir même. Les jeux sont faits et il n'y plus de cocus à Bagdad.

Merci à Interferences & Amanuensis pour vos explications!

[Nicophil]

Bonjour,

Le nombre de femmes infidèles donné par le Calife s'incrémente chaque jour de 1 car si aucune femme infidèle n'a été tuée la veille, cela signifie que les cocus en connaissaient davantage et gardaient espoir que leur femme soit fidèle.
Lorsque le nombre variable du Calife dépasse le nombre de femmes infidèles connus par les maris trompés, ceux-ci comprennent tout et tuent leur femmes le soir même. Les jeux sont faits et il n'y plus de cocus à Bagdad.

Pour le coup, je suis sceptique sur l'incrémentation.
En effet, examinons la situation :
- il y a 14 infidèles.
- il y a 13 hommes qui connaissent 13 infidèles et tous les autres hommes qui en connaissent 14.
- tous les hommes qui connaissent 14 infidèles espèrent qu'il n'y en a pas 15 et donc qu'il y a 13 hommes qui croient qu'il n'y en a que 13.
- les 13 hommes qui ne connaissent que 13 infidèles espèrent qu'il n'y en a pas 14 et donc qu'il y a 12 hommes qui croient qu'il n'y en a que 12.
- Personne ne peut croire qu'il y ait 2 hommes qui ne connaissent que 2 femmes infidèles. L'incrémentation ne peut donc pas commencer.

[Amanuensis]

Ce qui incrémente c'est le nombre minimal de femmes infidèles qu'on peut dériver de l'information donnée par le calife.