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Des p'tits trous, des p'tits trous, toujours des p'tits trous...



  1. #1
    invite78632345678

    Angry Des p'tits trous, des p'tits trous, toujours des p'tits trous...


    ------

    Salut,

    Vous l'avez certainement déjà vu, mais bon je le mets quand même, parce-que j'aimerais bien avoir une réponse...

    L'image ci-dessous présente deux triangles, composés des mêmes figures. Seule la disposition de ces figures change d'un triangle à l'autre, et pourtant gros problème. Regardez l'image vous comprendrez.

    D'où vient ce trou ?

    Je propose de raisonner avec les aires.

    Considérons le triangle du dessus :
    Soit A1 son aire. A1 = 32.5 cm2 (on prendra 1 carreau = 1cm)

    Dans ce même triangle :
    L’aire du triangle rouge est 12 cm2
    L’aire du triangle vert est 5 cm2
    L’aire de la figure orange est 7 cm2
    L’aire de la figure vert clair est 8 cm2

    Premier problème : 12 + 5 + 7 + 8 = 32 et non 32.5….

    Considérons à présent le triangle du dessous :
    Soit A2 son aire. A2 = 32.5 – 1 = 31.5 cm2

    Les aires des figures qui composent ce triangle sont les mêmes que précédemment, donc là encore 12 + 5 + 7 + 8 = 32 et non 31.5…

    D’où vient le problème ? Ais-je le droit de raisonner en ajoutant les aires ou en les soustrayant ?

    Nombre de profs de maths se sont penchés sur le sujet et n’ont pas trouvé. Essayez même de modéliser la situation en vrai (avec du carton par exemple) et vous vous y casserez le nez.

    Voilà, peut-être est-ce un problème impossible à résoudre, mais si quelqu’un a une idée…

    ++

    -----
    Images attachées Images attachées

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  3. #2
    kNz

    Re : Des p'tits trous, des p'tits trous, toujours des p'tits trous...

    J'ai hâte que la pièce jointe soit validée !

  4. #3
    deep_turtle

    Re : Des p'tits trous, des p'tits trous, toujours des p'tits trous...

    Je suis étonné que tes profs n'aient pas trouvé, c'est un grand classique !

    Vérifie bien qu'il s'agit effectivement des mêmes triangles dans les deux cas... (en fait, en regardant attentivement la figure jointe en s'éloignant un peu de l'écran, on voit très bien où est le problème : regarde la grande hypothénuse dans les deux cas, elle est un peu bizarre...)
    « D'avoir rejeté le néant, j'ai découvert le vide» -- Yves Klein

  5. #4
    charlie

    Re : Des p'tits trous, des p'tits trous, toujours des p'tits trous...

    exact!

    Il y a quelques hypothénuses un peu tordues

    C
    Soon, oh soon the light, ours to shape for all time, ours the right; the sun will lead us.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invite78632345678

    Re : Des p'tits trous, des p'tits trous, toujours des p'tits trous...

    C'est vrai qu'en s'éloignant, l'hypoténuse du triangle du dessus semble se courber.

    C'est donc cette courbure qui empêche de vérifier le fait que l'aire du triangle ne soit pas égale à la somme des aires des figures qui le composent.

    Même explication pour le triangle du dessous ? On dirait que son hypoténuse se courbe, mais dans le sens opposé de ce que l'on constate avec le premier triangle.
    Dernière modification par invite78632345678 ; 04/02/2006 à 11h59.

  8. #6
    matthias

    Re : Des p'tits trous, des p'tits trous, toujours des p'tits trous...

    Citation Envoyé par clémenton
    Nombre de profs de maths se sont penchés sur le sujet et n’ont pas trouvé.
    Ca c'est pour la légende ...

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  10. #7
    deep_turtle

    Re : Des p'tits trous, des p'tits trous, toujours des p'tits trous...

    C'est donc cette courbure qui empêche de vérifier le fait que l'aire du triangle ne soit pas égale à la somme des aires des figures qui le composent.
    Si ! L'aire de la figure totale est TOUJOURS égale à la somme des aires des sous-figures, mais simplement les deux triangles (celui du haut et celui du bas) ne sont pas les mêmes, rien d'étonnant donc à ce qu'au final l'un ait une aire plus grande que l'autre !
    Dernière modification par deep_turtle ; 04/02/2006 à 12h20.
    « D'avoir rejeté le néant, j'ai découvert le vide» -- Yves Klein

  11. #8
    matthias

    Re : Des p'tits trous, des p'tits trous, toujours des p'tits trous...

    Citation Envoyé par deep_turtle
    mais simplement les deux triangles (celui du haut et celui du bas) ne sont pas les mêmes
    D'autant plus que ce ne sont pas des triangles

  12. #9
    charlie

    Re : Des p'tits trous, des p'tits trous, toujours des p'tits trous...

    hé oui, le premier est un quadrilatère, bizarre certes, mais un quadrilatère

    C pas matheux pour 2 sous mais qui aime bien ce genre d'énigmes
    Soon, oh soon the light, ours to shape for all time, ours the right; the sun will lead us.

  13. #10
    deep_turtle

    Re : Des p'tits trous, des p'tits trous, toujours des p'tits trous...

    Le second aussi, en fait...

    On s'en rend compte en calculant la pente de la droite par laquelle passe l'hypothénuse (rapport du coté vertical sur le côté horizontal) : pour le triangle rouge la pente vaut 3/8 et pour le triangle vert 2/5. L'illusion vient du fait que ces quantité sont relativement proches (respectivement 0,375 et 0,4). Il existe surement des versions plus élaborées et plus déconcertantes de cette énigme avec des pentes encore plus proches.
    « D'avoir rejeté le néant, j'ai découvert le vide» -- Yves Klein

  14. #11
    invite78632345678

    Re : Des p'tits trous, des p'tits trous, toujours des p'tits trous...

    Bien vu, j'avais pas pensé à calculer ça. Mes profs et collègues vont être verts !

  15. #12
    charlie

    Re : Des p'tits trous, des p'tits trous, toujours des p'tits trous...

    J'ai déja vu une énigme comme ça où avec les mêmes pièces, on pouvait créer un rectangle plein et un autre rectangle avec un trou au milieu. Bien sûr on ne prétentait pas que les 2 rectangles étaient de même aire ce coup-ci. C'était dans un Pour la Science, faudrait que je fouille mes archives

    C
    Soon, oh soon the light, ours to shape for all time, ours the right; the sun will lead us.

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  17. #13
    matthias

    Re : Des p'tits trous, des p'tits trous, toujours des p'tits trous...

    L'énigme proposée ici a aussi été publiée dans un vieux Pour la Science

  18. #14
    martini_bird

    Re : Des p'tits trous, des p'tits trous, toujours des p'tits trous...

    Salut,

    Lewis Carroll (oui oui l'auteur de Alice au pays des merveilles mais également diplômé d'Oxford et pas mauvais en maths) est à l'origine de ce problème (qui est une variante de l'original).

    Cordialement.

  19. #15
    invite78632345678

    Re : Des p'tits trous, des p'tits trous, toujours des p'tits trous...

    Assez surprenant je dois dire. Merci pour l'info.

  20. #16
    tiffan

    Talking Re : Des p'tits trous, des p'tits trous, toujours des p'tits trous...

    Hahahahaha comme je me suis pris la tête avec cette énigme ... c'est un truc de fou ...
    L'idée de soustraire les aires n'est pas une mauvaise idée ... bon ça ne te donne pas la réponse mais ça peut te mettre sur la voie COURAGE !!!

  21. #17
    polo974

    Re : Des p'tits trous, des p'tits trous, toujours des p'tits trous...

    Dit en quelques mots pas trop matheux:

    Là où le triangle vert descend exactement de 2 pour 5, le rouge descend moins vite.
    Donc dans la première figure la pente est un peu creusée alors que dans celle du bas, elle est gonflée.

    Et comme chacun sait, dans un soufflet, il y a de l'air: le petit carré blanc.

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