Des p'tits trous, des p'tits trous, toujours des p'tits trous...

[invite3a0844ce]

Salut,

Vous l'avez certainement déjà vu, mais bon je le mets quand même, parce-que j'aimerais bien avoir une réponse...

L'image ci-dessous présente deux triangles, composés des mêmes figures. Seule la disposition de ces figures change d'un triangle à l'autre, et pourtant gros problème. Regardez l'image vous comprendrez.

D'où vient ce trou ?

Je propose de raisonner avec les aires.

Considérons le triangle du dessus :
Soit A1 son aire. A1 = 32.5 cm2 (on prendra 1 carreau = 1cm)

Dans ce même triangle :
L’aire du triangle rouge est 12 cm2
L’aire du triangle vert est 5 cm2
L’aire de la figure orange est 7 cm2
L’aire de la figure vert clair est 8 cm2

Premier problème : 12 + 5 + 7 + 8 = 32 et non 32.5….

Considérons à présent le triangle du dessous :
Soit A2 son aire. A2 = 32.5 – 1 = 31.5 cm2

Les aires des figures qui composent ce triangle sont les mêmes que précédemment, donc là encore 12 + 5 + 7 + 8 = 32 et non 31.5…

D’où vient le problème ? Ais-je le droit de raisonner en ajoutant les aires ou en les soustrayant ?

Nombre de profs de maths se sont penchés sur le sujet et n’ont pas trouvé. Essayez même de modéliser la situation en vrai (avec du carton par exemple) et vous vous y casserez le nez.

Voilà, peut-être est-ce un problème impossible à résoudre, mais si quelqu’un a une idée…

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[kNz]

J'ai hâte que la pièce jointe soit validée !

[deep_turtle]

Je suis étonné que tes profs n'aient pas trouvé, c'est un grand classique !

Vérifie bien qu'il s'agit effectivement des mêmes triangles dans les deux cas... (en fait, en regardant attentivement la figure jointe en s'éloignant un peu de l'écran, on voit très bien où est le problème : regarde la grande hypothénuse dans les deux cas, elle est un peu bizarre...)

[invite215a71a1]

exact!

Il y a quelques hypothénuses un peu tordues

C

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3a0844ce]

C'est vrai qu'en s'éloignant, l'hypoténuse du triangle du dessus semble se courber.

C'est donc cette courbure qui empêche de vérifier le fait que l'aire du triangle ne soit pas égale à la somme des aires des figures qui le composent.

Même explication pour le triangle du dessous ? On dirait que son hypoténuse se courbe, mais dans le sens opposé de ce que l'on constate avec le premier triangle.

[matthias]

Nombre de profs de maths se sont penchés sur le sujet et n’ont pas trouvé.

Ca c'est pour la légende ...

[deep_turtle]

C'est donc cette courbure qui empêche de vérifier le fait que l'aire du triangle ne soit pas égale à la somme des aires des figures qui le composent.

Si ! L'aire de la figure totale est TOUJOURS égale à la somme des aires des sous-figures, mais simplement les deux triangles (celui du haut et celui du bas) ne sont pas les mêmes, rien d'étonnant donc à ce qu'au final l'un ait une aire plus grande que l'autre !

[matthias]

mais simplement les deux triangles (celui du haut et celui du bas) ne sont pas les mêmes

D'autant plus que ce ne sont pas des triangles

[invite215a71a1]

hé oui, le premier est un quadrilatère, bizarre certes, mais un quadrilatère

C pas matheux pour 2 sous mais qui aime bien ce genre d'énigmes

[deep_turtle]

Le second aussi, en fait...

On s'en rend compte en calculant la pente de la droite par laquelle passe l'hypothénuse (rapport du coté vertical sur le côté horizontal) : pour le triangle rouge la pente vaut 3/8 et pour le triangle vert 2/5. L'illusion vient du fait que ces quantité sont relativement proches (respectivement 0,375 et 0,4). Il existe surement des versions plus élaborées et plus déconcertantes de cette énigme avec des pentes encore plus proches.

[invite3a0844ce]

Bien vu, j'avais pas pensé à calculer ça. Mes profs et collègues vont être verts !

[invite215a71a1]

J'ai déja vu une énigme comme ça où avec les mêmes pièces, on pouvait créer un rectangle plein et un autre rectangle avec un trou au milieu. Bien sûr on ne prétentait pas que les 2 rectangles étaient de même aire ce coup-ci. C'était dans un Pour la Science, faudrait que je fouille mes archives

C

[matthias]

L'énigme proposée ici a aussi été publiée dans un vieux Pour la Science

[martini_bird]

Salut,

Lewis Carroll (oui oui l'auteur de Alice au pays des merveilles mais également diplômé d'Oxford et pas mauvais en maths) est à l'origine de ce problème (qui est une variante de l'original).

Cordialement.

[invite3a0844ce]

Assez surprenant je dois dire. Merci pour l'info.

[invitefd1b83d8]

Hahahahaha comme je me suis pris la tête avec cette énigme ... c'est un truc de fou ...
L'idée de soustraire les aires n'est pas une mauvaise idée ... bon ça ne te donne pas la réponse mais ça peut te mettre sur la voie COURAGE !!!

[polo974]

Dit en quelques mots pas trop matheux:

Là où le triangle vert descend exactement de 2 pour 5, le rouge descend moins vite.
Donc dans la première figure la pente est un peu creusée alors que dans celle du bas, elle est gonflée.

Et comme chacun sait, dans un soufflet, il y a de l'air: le petit carré blanc.