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Énigme mathématique



  1. #1
    ansset

    Énigme mathématique

    bonjour,
    je remet la question ici ou elle a d'avantage sa place.
    ( même si elle fut posée autrefois en math ), donc à ceux qui connaissent une demo présentée ici , je leur demande un peu de discrétion.

    montrer que: quel que soit N
    il existe un nombre de N chiffres composés uniquement de 1 et de 2 qui soit un multiple de

    -----

    Dernière modification par ansset ; 12/10/2014 à 18h15.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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  3. #2
    ansset

    Re : Énigme mathématique

    désolé je voulais créer une nouvelle discussion et pas polluer la précédente.
    fausse manip.
    si c'est corrigeable ?
    CDT
    Dernière modification par JPL ; 12/10/2014 à 22h49.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  4. #3
    JPL

    Re : Énigme mathématique

    C'est corrigé.

    Par contre j'ai dû modifier le titre... s'il n'est pas bon ne tapez pas trop fort.
    Rien ne sert de penser, il faut réfléchir avant - Pierre Dac

  5. #4
    azad

    Re : Énigme mathématique

    Bien vu.
    C'est de qui ?
    les combinaisons de 2111 ne semblent pas marcher
    Dernière modification par azad ; 13/10/2014 à 00h50.

  6. #5
    Médiat

    Re : Énigme mathématique

    Bonjour,

    Une petite récurrence résoud le problème.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    azad

    Re : Énigme mathématique

    Je me répète :
    aucun des nombres formés avec trois 1 et un 2 ne répond au problème.
    1112 formé de 4 chiffres est le seul postulant possible mais n'est pas divisible par 2^4
    Par contre cela deviendrait vrai si l'énoncé était :il existe un nombre de N chiffres composés uniquement de 1 et de 2 qui soit un multiple de 2 ^(N-1)

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  10. #7
    Médiat

    Re : Énigme mathématique

    Solution :

     Cliquez pour afficher


    Il ne suffit pas de répéter un erreur pour qu'elle se transforme en vérité : 112 est bien divisible par 8, et 2112 par 16 c'est à dire, répondent à la question.
    Dernière modification par Médiat ; 13/10/2014 à 08h42.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    Amanuensis

    Re : Énigme mathématique

    J'ai entré les décimales de la solution pour N=10 dans l'EIS (http://oeis.org/), et il sort une suite composée uniquement de 1 et de 2 décrite comme suit:

    If any odd power of 2 ends with k 1's and 2's, they must be the first k elements of this sequence in reverse order

    Curieux... Est-ce que cela pourrait être la même suite que les décimales de la solution proposée? Et se démontrer?
    Dernière modification par Amanuensis ; 13/10/2014 à 09h21.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  12. #9
    Médiat

    Re : Énigme mathématique

    En tout état de cause, l'énoncé "If any odd power of 2 ..." peut être remplacé par "If any power of 2 ...", quitte à préciser l'évidence, a posteriori.

    Pour un N donné, il n'y a qu'une seule solution possible, les suites sont donc identiques, si j'en crois la suite associée dans OEIS : A126933
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #10
    Amanuensis

    Re : Énigme mathématique

    Cela ne marche pas pour la puissance 0, 2^0 se termine par 1 et non par 2. Seule exception, donc adaptation aisée. Peut-être pour ça qu'ils ont mis "odd"...
    Dernière modification par Amanuensis ; 13/10/2014 à 10h19.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  14. #11
    Médiat

    Re : Énigme mathématique

    Quelle signification donnez-vous à "the first 0 element(s) of this sequence" ?

    Au pire ""If any strictly positive power of 2 ..." aurait l'avantage de mettre en évidence le seul cas qui ne marche pas.
    Dernière modification par Médiat ; 13/10/2014 à 10h28.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #12
    pelkin

    Re : Énigme mathématique

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Il ne suffit pas de répéter un erreur pour qu'elle se transforme en vérité : 112 est bien divisible par 8, et 2112 par 16 c'est à dire, répondent à la question.
    Il faut aussi TOUT lire : "aucun des nombres formés avec trois 1 et un 2 ne répond au problème.

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  17. #13
    Médiat

    Re : Énigme mathématique

    Citation Envoyé par pelkin Voir le message
    Il faut aussi TOUT lire : "aucun des nombres formés avec trois 1 et un 2 ne répond au problème.
    Et si vous aviez tout lu ... ceci n'est pas la question initiale (et c'est là l'erreur, et c'est bien ce que j'ai écrit). on peut aussi répondre : aucun nombre écrit avec dix-sept 1 et un 2 ne répond au problème (et j'en ai plein en réserve sur le même modèle), mais cela ne répond pas à la question.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  18. #14
    Amanuensis

    Re : Énigme mathématique

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Quelle signification donnez-vous à "the first 0 element(s) of this sequence" ?
    C'est les "k", avec k quelconque. k=1 pour 2^0.

    Au pire ""If any strictly positive power of 2 ..." aurait l'avantage de mettre en évidence le seul cas qui ne marche pas.
    C'est ce que je sous-entendais par "adaptation aisée".

    ---

    Cela pourrait mériter un commentaire au site, pas tant la modification de la définition de la suite, mais l'équivalence (si c'est bien le cas) avec les solutions de l'énigme.
    Dernière modification par Amanuensis ; 13/10/2014 à 10h35.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  19. #15
    Amanuensis

    Re : Énigme mathématique

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Cela pourrait mériter un commentaire au site, pas tant la modification de la définition de la suite, mais l'équivalence (si c'est bien le cas) avec les solutions de l'énigme.
    Pas besoin... J'avais mal lu la suite A126933...
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  20. #16
    ansset

    Re : Énigme mathématique

    c'est bien une recurrence assez simple, mais il faut bien l'expliciter.
    Cdt

    ps: pour ceux qui ont mal lu l'énoncé, il s'agit de l'existence d'au moins un nombre multiple de 2^N
    on peut même s'amuser à le chercher précisement.
    Dernière modification par ansset ; 13/10/2014 à 11h04.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  21. #17
    Médiat

    Re : Énigme mathématique

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    l'existence d'au moins un nombre [de N chiffres ] multiple de 2^N
    Il y en a un et un seul pour chaque N (>0 car un nombre de 0 chiffre n'a pas beaucoup de sens).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  22. #18
    azad

    Re : Énigme mathématique

    OK, j’avais mal assimilé la question.
    Mais si l’on observe que pour tout N entier >= 0 on a toujours N! >= 2^N alors ne peut t’on pas affirmer que l’on peut toujours combiner avec des 1 et des 2 un nombre de N chiffes qui sera divisible par 2^N ?
    Par exemple 10 ! = 3628800 et 2^10= 1024
    Si il y a 3628800 façons d’arranger nos 10 un et deux, il devrait être évident que l’on peut former un multiple de 1024.
    Evidemment le choix de 1 et de 2 permet de vérifier cela à partir de N=1 ce qui ne pourrait se faire si l’on avait pris les chiffres 3 et 7 par exemple.
    Mon raisonnement tient-il la route ?

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  24. #19
    ansset

    Re : Énigme mathématique

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Il y en a un et un seul pour chaque N (>0 car un nombre de 0 chiffre n'a pas beaucoup de sens).
    oui, mais un premier temps, l'unicité n'est pas demandé, ni sa valeur.
    celà étant elle découle de la demo par recurrence, nous sommes d'accord.
    Cdt
    Dernière modification par ansset ; 13/10/2014 à 11h20.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  25. #20
    Médiat

    Re : Énigme mathématique

    Bonjour,

    Il y a exactement 1024 nombre de 10 chiffres constitués de 1 et de 2, il reste à démontrer qu'au moins un est divisible par 1024 (par exemple en montrant que tous les restes possibles arrivent effectivement (si c'est le cas))
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  26. #21
    Amanuensis

    Re : Énigme mathématique

    Citation Envoyé par azad Voir le message
    Mon raisonnement tient-il la route ?
    Ben... Des puissances de 2 écrites seulement avec 3 et 7, ce n'est pas très courant, si?
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  27. #22
    ansset

    Re : Énigme mathématique

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour,

    Il y a exactement 1024 nombre de 10 chiffres constitués de 1 et de 2, il reste à démontrer qu'au moins un est divisible par 1024 (par exemple en montrant que tous les restes possibles arrivent effectivement (si c'est le cas))
    ma recurrence semble être différente de la tienne.
    interessant.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  28. #23
    Médiat

    Re : Énigme mathématique

    Citation Envoyé par azad Voir le message
    Evidemment le choix de 1 et de 2 permet de vérifier cela à partir de N=1 ce qui ne pourrait se faire si l’on avait pris les chiffres 3 et 7 par exemple.
    Avec n'importe quelle combinaison d'un chiffre pair et d'un chiffre impair (que l'on me pardonne cet abus) cela marche (avec la même démonstration).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  29. #24
    Médiat

    Re : Énigme mathématique

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    ma recurrence semble être différente de la tienne.
    Je ne sais pas, mais j'ai posté ma récurrence, donc vous devez avoir la réponse.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  31. #25
    ansset

    Re : Énigme mathématique

    trop fort.
    je pose une petite enigme ( avec des 1 et des 2 )et Mediat fait plus fort en généralisant cette petite énigme.
    respect.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  32. #26
    azad

    Re : Énigme mathématique

    Hum, c'est vrai mais rien n'interdit de chercher des multiples de N ^M avec N et M quelconques, multiples composés de seulement deux chiffres .... 3 et 7 pourquoi pas ?
    Ma question basée sur l'idée que N ! est > 2 ^N est-elle une piste ?

  33. #27
    ansset

    Re : Énigme mathématique

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Je ne sais pas, mais j'ai posté ma récurrence, donc vous devez avoir la réponse.
    je ne l'ai pas saisi, pardon.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  34. #28
    ansset

    Re : Énigme mathématique

    la mienne est de base.
    initialisation (évidente )
    vrai pour N => vrai pour N+1
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  35. #29
    Médiat

    Re : Énigme mathématique

    Citation Envoyé par azad Voir le message
    Ma question basée sur l'idée que N ! est > 2 ^N est-elle une piste ?
    Non, pas du tout, pour deux raisons :

    1) Ce serait une réponse basée sur des statistiques, cela peut donner une indication pour une conjecture (Syracuse par exemple), mais cela ne démontre rien
    2) Il n'y a que 2^N nombres écrit avec 2 chiffres, pas N!
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  36. #30
    Médiat

    Re : Énigme mathématique

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    vrai pour N => vrai pour N+1
    La mienne aussi

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    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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