Bonsoir,
Une petite énigme de mathématiques:
Soit la suitetelle que
;
;
Quelle est la limite en +de cette suite? Que vaut
? Et
; et
; ...
Bon amusement!
-----
Bonsoir,
Une petite énigme de mathématiques:
Soit la suitetelle que
;
;
Quelle est la limite en +de cette suite? Que vaut
? Et
; et
; ...
Bon amusement!
4 pour la limite car racine(4)+racine(4)=4 (je précise que je ne suis pas mathématicien donc j'aurai du mal à proposer une démonstration correcte et d'ailleurs j'ai trouvé la solution avec excel).
Félicitations, c'est exact!![]()
Y-a t'il un moyen de trouver la réponse autrement que par aproximation numérique?
Sinon pour trouver uo, selon moi il faut résoudre l'équation 1=racine(u0) + racine(1) soit racine(a) = 1 - racine(1)=0.
Pour trouver u-1, il faut résoudre l'équation 1=racine(u-1) + racine(0) soit racine(u-2) = 1 - racine(0) = 1.
Pour trouver u-2, il faut résoudre l'équation 0 = racine(u-3) + racine(1) soit racine(u-3) = 0 - racine(1) = -1 donc u3 = i car i²=-1.
Salut,
On peut démontrer, par récurrence, que la suite est plus petite que 4 et de là en déduire, par récurrence, la croissance, d'où la convergence de la suite, l la limite : on a
l=2*sqrt(l) donc sqrt(l)=2 donc l=4.
Bonsoir,Y-a t'il un moyen de trouver la réponse autrement que par aproximation numérique?
Sinon pour trouver uo, selon moi il faut résoudre l'équation 1=racine(u0) + racine(1) soit racine(a) = 1 - racine(1)=0.
Pour trouver u-1, il faut résoudre l'équation 1=racine(u-1) + racine(0) soit racine(u-2) = 1 - racine(0) = 1.
Pour trouver u-2, il faut résoudre l'équation 0 = racine(u-3) + racine(1) soit racine(u-3) = 0 - racine(1) = -1 donc u3 = i car i²=-1.
Merci d'avoir participé. Tu as environ raison même si tu te trompes beaucoup dans tes indices (voir en gras). Tu as bien compris que
;
Par contre tu écris
donc
Ce qui est faux:
, c'est
En fait l'équation
N'admet aucune solution, même dans les complexes, c'est pourquoin'existe pas et donc tous les termes d'indice inférieur à
n'existent pas non plus.
Cordialement
Bonsoir,
Premièrement merci d'avoir participé.
Si tu t'inclus dans le On, tu peux envoyer la démonstration (si cela t'ennuies de tout écrire tu n'es pas obligé de la détailler).
Ensuite, tu ne peux pas déduire la croissance de la majoration. Mais, en effet, si tu prouves la croissance et la majoration, tu prouves que la suite est convergente.
Enfin, je ne vois pas comment tu passes de
à
.
En effet, pour résoudre, il faut élever au carré puis on a une équation du second degré
qui donne deux solutions
et
J'attends tes deux démonstrations de la croissance et de la majoration de la suite.
Cordialement,
Gandhi
On pourrait créer un nouvelle ensemble qu'on appellerai l'ensemble des nombres zarb et dire que racine(u-2)=-1=zarb.
Bonne idée! Va tout de suite la faire breveter!![]()
Bonsoir,
Cela fait maintenant 4 jours que personne ne propose de démonstration, donc je vais en donner une pour ceux que cela intéresse
Cliquez pour afficher
La réponse complète et rigoureuse contient trois parties: premièrement, on va démontrer par récurrence que la suite est croissante; deuxièmement, on va démontrer par récurrence que la suite est majorée, et enfin, on va calculer la limite en plus l'infini de la suite.
1. Croissance
Thèse
Initialisation
Par calcul, on obtient que
Hérédité
On sait queest vrai pour un certain
On va montrer que la propriété est vraie également pour le naturel, c'est à dire
Puisqueet
sont positifs,
Donc, par la définition de la suite
Puisqueet
sont positifs,
CQFD
2. Majoration
Thèse
Remarque: 10 n'est pas forcément le plus petit majorant...
Initialisation
Par calcul,
Hérédité
On sait queest vraie pour un certain
On va montrer que la propriété reste vraie pour le naturel k+1, c'est à dire
De, on tire que
et
Puisque les termes de la suite sont positifs,
et
En additionnant membre à membre ces inégalités de même signe, on obtient
Finalement,
CQFD
3. Limite
Théorème: toute suite continue croissante et majorée est convergente
Donc, la suiteest convergente.
Théorème: toute suite continue et convergente définie par une récurrence du typeadmet une limite
qui est l'une des solutions de l'équation
Soit
D'après le théorème, on a
Les deux solutions sont 0 et 4 mais la solution 0 doit être rejetée car la suite est croissante et strictement positive.
Conclusion: la limite de la suite est 4
Voilà, j'espère que cette énigme vous aura plu
Bonne nuit
Gandhi
Salut Gandhi33,
Je te fais part des quelques remarques suivantes
C'est un exo de maths, ... pourquoi ne pas l'avoir mis dans un des deux forums des maths ?!
Une suite d'éléments d'un ensembleest une application de
ou d'une partie de
, dans
. Donc les notations en citation sont inappropriées.
Notation ici interdite, car il ne s'agit pas là d'une fonction sur
Il y a un problème de clarté de rédaction dans cette démonstration. En effet tu te proposes de démontrer :
... et au final tu démontres seulement :
Donc il y a quelque chose qui ne va pas dans la rédaction de cette récurrence.
On peut effectivement montrer queest un majorant, ... on aurait pu aussi choisir
![]()
... mais du coup tu fais intervenir le nombre
en compliquant les choses, ... le plus naturel ici est de choisir
avec démonstration simple et directe.
C'est quoi une suite "continue" ?
Le théorème c'est : "Toute suite croissante et majorée est convergente".
Cordialement
Dernière modification par PlaneteF ; 25/10/2014 à 12h23.
Je précise cette remarque :
En fait, on ne voit pas clairement la récurrence que tu fais. Quelle est exactement la proposition? A priori tu fais une récurrence double ?! ... auquel cas il faut alors être plus explicite dans le fonctionnement d'une telle récurrence, d'autant plus qu'elle est moins courante qu'une récurrence simple.
Cdt
Dernière modification par PlaneteF ; 25/10/2014 à 12h36.
En fait je pense que tu fais plutôt une récurrence simple sur
Cdt
Dernière modification par PlaneteF ; 25/10/2014 à 12h51.
Salut,
Je croyais que c'était interdit (exercices et forum)
Ok je prends note mais c'est l'intention qui compteUne suite d'éléments d'un ensembleest une application de
ou d'une partie de
, dans
. Donc les notations en citation sont inappropriées.(...)
Notation ici interdite, car il ne s'agit pas là d'une fonction sur![]()
Ok ce n'est pas super clair mais je démontre bel et bien que la suite est croissante.
Il y a un problème de clarté de rédaction dans cette démonstration. En effet tu te proposes de démontrer : (...)
... et au final tu démontres seulement : (...)
Donc il y a quelque chose qui ne va pas dans la rédaction de cette récurrence.
Je n'aurais pas du dire
Mais justeOn va montrer que (...)![]()
Et alors il n'y a plus d'erreur et ce n'est qu'une récurrence simple. J'avais juste besoin de 3 termes dans l'initialisation. Maintenant tout va bien: je démontre que si on a trois termes consécutifs strictement positifs et qui croissent (ca ne veut sûrement rien dire), alors le quatrième est aussi supérieur au précédent. Plus de problème.
Je sais mais je voulais montrer qu'il n'y avait pas encore besoin de connaître la limite de la suite à ce stade. C'était fais exprèsOn peut effectivement montrer queest un majorant, ... on aurait pu aussi choisir
![]()
... mais du coup tu fais intervenir le nombre
en compliquant les choses, ... le plus naturel ici est de choisir
avec démonstration simple et directe.
Ce n'est pas une suite dont tous les termes existent ? Sinon je présente mes plus sincères excuses.C'est quoi une suite "continue" ?
Le théorème c'est : "Toute suite croissante et majorée est convergente".
Cordialement
Gandhi
En effet, en regardant la toile, j'observai que la terminologie "suite continue" n'existait pas.
Ben non, pas pour une récurrence simple où l'on va utiliser la propriétéque j'ai indiquée en message#15.
Ou alors on fait une récurrence double(*) auquel cas la propriétéet le raisonnement sont différents.
(*) Personnellement dans le cas d'une suite définie par récurrence sur 2 rangs comme ici, je préfère utiliser une récurrence double, même si formellement la récurrence simple est équivalente à la récurrence double (équivalentes à la récurrence forte).
Cdt
Dernière modification par PlaneteF ; 25/10/2014 à 19h14.
Bonjour PlaneteF
Ah bon? Pour moiNotation ici interdite, car il ne s'agit pas là d'une fonction sur
![]()
Il est vrai que cette écriture est déconseillée, mais pas interdite.
Chacun son truc...
Cordialement
Bonjour Gandhi33,
Cette écriture est formellement interdite pour la simple et bonne raison que j'ai indiquée dans mon message précédent, à savoir, une racine carrée d'un nombre complexe non nul n'étant pas unique, cela ne peut pas être une fonction. Donc ce que tu écris là n'a formellement pas de sens, carn'a pas qu'une seule racine carrée, ... ainsi pourquoi choisis-tu celle-là et non pas l'autre ?!!
Cordialement
Dernière modification par PlaneteF ; 29/10/2014 à 09h45.