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Énigme suites



  1. #1
    Gandhi33

    Énigme suites


    ------

    Bonsoir,

    Une petite énigme de mathématiques:

    Soit la suite telle que

    ; ;

    Quelle est la limite en + de cette suite? Que vaut ? Et ; et ; ...

    Bon amusement!

    -----
    Dernière modification par Gandhi33 ; 18/10/2014 à 21h10.

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  3. #2
    vgondr98

    Re : Énigme suites

    4 pour la limite car racine(4)+racine(4)=4 (je précise que je ne suis pas mathématicien donc j'aurai du mal à proposer une démonstration correcte et d'ailleurs j'ai trouvé la solution avec excel).

  4. #3
    Gandhi33

    Re : Énigme suites

    Félicitations, c'est exact!

  5. #4
    vgondr98

    Re : Énigme suites

    Y-a t'il un moyen de trouver la réponse autrement que par aproximation numérique?
    Sinon pour trouver uo, selon moi il faut résoudre l'équation 1=racine(u0) + racine(1) soit racine(a) = 1 - racine(1)=0.
    Pour trouver u-1, il faut résoudre l'équation 1=racine(u-1) + racine(0) soit racine(u-2) = 1 - racine(0) = 1.
    Pour trouver u-2, il faut résoudre l'équation 0 = racine(u-3) + racine(1) soit racine(u-3) = 0 - racine(1) = -1 donc u3 = i car i²=-1.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    1.est.1.si.je.veux

    Re : Énigme suites

    Citation Envoyé par Gandhi33 Voir le message
    Bonsoir,

    Une petite énigme de mathématiques:

    Soit la suite telle que

    ; ;

    Quelle est la limite en + de cette suite? Que vaut ? Et ; et ; ...

    Bon amusement!
    Salut,

    On peut démontrer, par récurrence, que la suite est plus petite que 4 et de là en déduire, par récurrence, la croissance, d'où la convergence de la suite, l la limite : on a
    l=2*sqrt(l) donc sqrt(l)=2 donc l=4.
    Dernière modification par 1.est.1.si.je.veux ; 19/10/2014 à 14h32.

  8. #6
    Gandhi33

    Re : Énigme suites

    Citation Envoyé par vgondr98 Voir le message
    Y-a t'il un moyen de trouver la réponse autrement que par aproximation numérique?
    Sinon pour trouver uo, selon moi il faut résoudre l'équation 1=racine(u0) + racine(1) soit racine(a) = 1 - racine(1)=0.
    Pour trouver u-1, il faut résoudre l'équation 1=racine(u-1) + racine(0) soit racine(u-2) = 1 - racine(0) = 1.
    Pour trouver u-2, il faut résoudre l'équation 0 = racine(u-3) + racine(1) soit racine(u-3) = 0 - racine(1) = -1 donc u3 = i car i²=-1.
    Bonsoir,

    Merci d'avoir participé. Tu as environ raison même si tu te trompes beaucoup dans tes indices (voir en gras). Tu as bien compris que

    ;

    Par contre tu écris

    donc

    Ce qui est faux:

    , c'est

    En fait l'équation



    N'admet aucune solution, même dans les complexes, c'est pourquoi n'existe pas et donc tous les termes d'indice inférieur à n'existent pas non plus.

    Cordialement

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  10. #7
    Gandhi33

    Re : Énigme suites

    Citation Envoyé par 1.est.1.si.je.veux Voir le message
    Salut,

    On peut démontrer, par récurrence, que la suite est plus petite que 4 et de là en déduire, par récurrence, la croissance, d'où la convergence de la suite, l la limite : on a
    l=2*sqrt(l) donc sqrt(l)=2 donc l=4.
    Bonsoir,

    Premièrement merci d'avoir participé.

    Si tu t'inclus dans le On, tu peux envoyer la démonstration (si cela t'ennuies de tout écrire tu n'es pas obligé de la détailler).

    Ensuite, tu ne peux pas déduire la croissance de la majoration. Mais, en effet, si tu prouves la croissance et la majoration, tu prouves que la suite est convergente.

    Enfin, je ne vois pas comment tu passes de

    à .

    En effet, pour résoudre , il faut élever au carré puis on a une équation du second degré qui donne deux solutions et

    J'attends tes deux démonstrations de la croissance et de la majoration de la suite.

    Cordialement,

    Gandhi

  11. #8
    vgondr98

    Re : Énigme suites

    On pourrait créer un nouvelle ensemble qu'on appellerai l'ensemble des nombres zarb et dire que racine(u-2)=-1=zarb.

  12. #9
    Gandhi33

    Re : Énigme suites

    Bonne idée! Va tout de suite la faire breveter!

  13. #10
    Gandhi33

    Re : Énigme suites

    Bonsoir,

    Cela fait maintenant 4 jours que personne ne propose de démonstration, donc je vais en donner une pour ceux que cela intéresse

     Cliquez pour afficher



    Voilà, j'espère que cette énigme vous aura plu

    Bonne nuit

    Gandhi
    Dernière modification par Gandhi33 ; 23/10/2014 à 23h39.

  14. #11
    Gandhi33

    Re : Énigme suites

    Citation Envoyé par Gandhi33 Voir le message

    Donc, par la définition de la suite

    Puisque et sont positifs,
    Ceci est faux, je suis fatigué... Il faut comprendre


    Donc, par la définition de la suite


    Ensuite, dans toute la deuxième partie, ce sont évidemment des et non des

    Enfin, à cette ligne, il manque deux parenthèses


  15. #12
    PlaneteF

    Re : Énigme suites

    Salut Gandhi33,

    Je te fais part des quelques remarques suivantes


    Citation Envoyé par Gandhi33 Voir le message
    Une petite énigme de mathématiques:
    C'est un exo de maths, ... pourquoi ne pas l'avoir mis dans un des deux forums des maths ?!


    Citation Envoyé par Gandhi33 Voir le message
    Et ; et ; ...
    Une suite d'éléments d'un ensemble est une application de ou d'une partie de , dans . Donc les notations en citation sont inappropriées.


    Citation Envoyé par Gandhi33 Voir le message
    Notation ici interdite, car il ne s'agit pas là d'une fonction sur


    Citation Envoyé par Gandhi33 Voir le message
    1. Croissance
    Il y a un problème de clarté de rédaction dans cette démonstration. En effet tu te proposes de démontrer :

    Citation Envoyé par Gandhi33 Voir le message
    On va montrer que la propriété est vraie également pour le naturel , c'est à dire
    ... et au final tu démontres seulement :

    Citation Envoyé par Gandhi33 Voir le message



    CQFD
    Donc il y a quelque chose qui ne va pas dans la rédaction de cette récurrence.


    Citation Envoyé par Gandhi33 Voir le message
    On peut effectivement montrer que est un majorant, ... on aurait pu aussi choisir ... mais du coup tu fais intervenir le nombre en compliquant les choses, ... le plus naturel ici est de choisir avec démonstration simple et directe.


    Citation Envoyé par Gandhi33 Voir le message
    Théorème: toute suite continue croissante et majorée est convergente
    C'est quoi une suite "continue" ?

    Le théorème c'est : "Toute suite croissante et majorée est convergente".



    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 25/10/2014 à 13h23.

  16. Publicité
  17. #13
    PlaneteF

    Re : Énigme suites

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    Il y a un problème de clarté de rédaction dans cette démonstration. En effet tu te proposes de démontrer :

    ... et au final tu démontres seulement :

    Donc il y a quelque chose qui ne va pas dans la rédaction de cette récurrence.
    Je précise cette remarque :

    En fait, on ne voit pas clairement la récurrence que tu fais. Quelle est exactement la proposition ? A priori tu fais une récurrence double ?! ... auquel cas il faut alors être plus explicite dans le fonctionnement d'une telle récurrence, d'autant plus qu'elle est moins courante qu'une récurrence simple.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 25/10/2014 à 13h36.

  18. #14
    PlaneteF

    Re : Énigme suites

    En fait je pense que tu fais plutôt une récurrence simple sur


    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 25/10/2014 à 13h51.

  19. #15
    PlaneteF

    Re : Énigme suites

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    En fait je pense que tu fais plutôt une récurrence simple sur
    D'ailleurs je rectifie cette écriture en enlevant le quantificateur de la proposition -->
    Dernière modification par PlaneteF ; 25/10/2014 à 15h34.

  20. #16
    Gandhi33

    Re : Énigme suites

    Salut,

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    Je te fais part des quelques remarques suivantes
    C'est un exo de maths, ... pourquoi ne pas l'avoir mis dans un des deux forums des maths ?!
    Je croyais que c'était interdit (exercices et forum)

    Une suite d'éléments d'un ensemble est une application de ou d'une partie de , dans . Donc les notations en citation sont inappropriées.(...)

    Notation ici interdite, car il ne s'agit pas là d'une fonction sur
    Ok je prends note mais c'est l'intention qui compte


    Il y a un problème de clarté de rédaction dans cette démonstration. En effet tu te proposes de démontrer : (...)
    ... et au final tu démontres seulement : (...)
    Donc il y a quelque chose qui ne va pas dans la rédaction de cette récurrence.
    Ok ce n'est pas super clair mais je démontre bel et bien que la suite est croissante.
    Je n'aurais pas du dire
    On va montrer que (...)
    Mais juste
    Et alors il n'y a plus d'erreur et ce n'est qu'une récurrence simple. J'avais juste besoin de 3 termes dans l'initialisation. Maintenant tout va bien: je démontre que si on a trois termes consécutifs strictement positifs et qui croissent (ca ne veut sûrement rien dire), alors le quatrième est aussi supérieur au précédent. Plus de problème.
    On peut effectivement montrer que est un majorant, ... on aurait pu aussi choisir ... mais du coup tu fais intervenir le nombre en compliquant les choses, ... le plus naturel ici est de choisir avec démonstration simple et directe.
    Je sais mais je voulais montrer qu'il n'y avait pas encore besoin de connaître la limite de la suite à ce stade. C'était fais exprès

    C'est quoi une suite "continue" ?
    Le théorème c'est : "Toute suite croissante et majorée est convergente".
    Ce n'est pas une suite dont tous les termes existent ? Sinon je présente mes plus sincères excuses.

    Cordialement

    Gandhi

  21. #17
    Gandhi33

    Re : Énigme suites

    En effet, en regardant la toile, j'observai que la terminologie "suite continue" n'existait pas.

  22. #18
    PlaneteF

    Re : Énigme suites

    Citation Envoyé par Gandhi33 Voir le message
    Mais juste
    Ben non, pas pour une récurrence simple où l'on va utiliser la propriété que j'ai indiquée en message#15.

    Ou alors on fait une récurrence double(*) auquel cas la propriété et le raisonnement sont différents.

    (*) Personnellement dans le cas d'une suite définie par récurrence sur 2 rangs comme ici, je préfère utiliser une récurrence double, même si formellement la récurrence simple est équivalente à la récurrence double (équivalentes à la récurrence forte).


    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 25/10/2014 à 20h14.

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  24. #19
    Gandhi33

    Re : Énigme suites

    Bonjour PlaneteF

    Notation ici interdite, car il ne s'agit pas là d'une fonction sur
    Ah bon? Pour moi



    Il est vrai que cette écriture est déconseillée, mais pas interdite.
    Chacun son truc...

    Cordialement

  25. #20
    PlaneteF

    Re : Énigme suites

    Citation Envoyé par Gandhi33 Voir le message
    Ah bon? Pour moi



    Il est vrai que cette écriture est déconseillée, mais pas interdite.
    Bonjour Gandhi33,

    Cette écriture est formellement interdite pour la simple et bonne raison que j'ai indiquée dans mon message précédent, à savoir, une racine carrée d'un nombre complexe non nul n'étant pas unique, cela ne peut pas être une fonction. Donc ce que tu écris là n'a formellement pas de sens, car n'a pas qu'une seule racine carrée, ... ainsi pourquoi choisis-tu celle-là et non pas l'autre ?!!


    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 29/10/2014 à 10h45.

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