Énigme suites

[invite2b0650e6]

Bonsoir,

Une petite énigme de mathématiques:

Soit la suite telle que

; ;

Quelle est la limite en + de cette suite? Que vaut ? Et ; et ; ...

Bon amusement!
-----

[vgondr98]

4 pour la limite car racine(4)+racine(4)=4 (je précise que je ne suis pas mathématicien donc j'aurai du mal à proposer une démonstration correcte et d'ailleurs j'ai trouvé la solution avec excel).

[invite2b0650e6]

Félicitations, c'est exact!

[vgondr98]

Y-a t'il un moyen de trouver la réponse autrement que par aproximation numérique?
Sinon pour trouver uo, selon moi il faut résoudre l'équation 1=racine(u0) + racine(1) soit racine(a) = 1 - racine(1)=0.
Pour trouver u-1, il faut résoudre l'équation 1=racine(u-1) + racine(0) soit racine(u-2) = 1 - racine(0) = 1.
Pour trouver u-2, il faut résoudre l'équation 0 = racine(u-3) + racine(1) soit racine(u-3) = 0 - racine(1) = -1 donc u3 = i car i²=-1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0a547b27]

Bonsoir,

Une petite énigme de mathématiques:

Soit la suite telle que

; ;

Quelle est la limite en + de cette suite? Que vaut ? Et ; et ; ...

Bon amusement!

Salut,

On peut démontrer, par récurrence, que la suite est plus petite que 4 et de là en déduire, par récurrence, la croissance, d'où la convergence de la suite, l la limite : on a
l=2*sqrt(l) donc sqrt(l)=2 donc l=4.

[invite2b0650e6]

Y-a t'il un moyen de trouver la réponse autrement que par aproximation numérique?
Sinon pour trouver uo, selon moi il faut résoudre l'équation 1=racine(u0) + racine(1) soit racine(a) = 1 - racine(1)=0.
Pour trouver u-1, il faut résoudre l'équation 1=racine(u-1) + racine(0) soit racine(u-2) = 1 - racine(0) = 1.
Pour trouver u-2, il faut résoudre l'équation 0 = racine(u-3) + racine(1) soit racine(u-3) = 0 - racine(1) = -1 donc u3 = i car i²=-1.

Bonsoir,

Merci d'avoir participé. Tu as environ raison même si tu te trompes beaucoup dans tes indices (voir en gras). Tu as bien compris que

;

Par contre tu écris

donc

Ce qui est faux:

, c'est

En fait l'équation



N'admet aucune solution, même dans les complexes, c'est pourquoi n'existe pas et donc tous les termes d'indice inférieur à n'existent pas non plus.

Cordialement

[invite2b0650e6]

Salut,

On peut démontrer, par récurrence, que la suite est plus petite que 4 et de là en déduire, par récurrence, la croissance, d'où la convergence de la suite, l la limite : on a
l=2*sqrt(l) donc sqrt(l)=2 donc l=4.

Bonsoir,

Premièrement merci d'avoir participé.

Si tu t'inclus dans le On, tu peux envoyer la démonstration (si cela t'ennuies de tout écrire tu n'es pas obligé de la détailler).

Ensuite, tu ne peux pas déduire la croissance de la majoration. Mais, en effet, si tu prouves la croissance et la majoration, tu prouves que la suite est convergente.

Enfin, je ne vois pas comment tu passes de

à .

En effet, pour résoudre , il faut élever au carré puis on a une équation du second degré qui donne deux solutions et

J'attends tes deux démonstrations de la croissance et de la majoration de la suite.

Cordialement,

Gandhi

[vgondr98]

On pourrait créer un nouvelle ensemble qu'on appellerai l'ensemble des nombres zarb et dire que racine(u-2)=-1=zarb.

[invite2b0650e6]

Bonne idée! Va tout de suite la faire breveter!

[invite2b0650e6]

Bonsoir,

Cela fait maintenant 4 jours que personne ne propose de démonstration, donc je vais en donner une pour ceux que cela intéresse

 Cliquez pour afficher

La réponse complète et rigoureuse contient trois parties: premièrement, on va démontrer par récurrence que la suite est croissante; deuxièmement, on va démontrer par récurrence que la suite est majorée, et enfin, on va calculer la limite en plus l'infini de la suite.

1. Croissance

Thèse



Initialisation

Par calcul, on obtient que

Hérédité

On sait que est vrai pour un certain

On va montrer que la propriété est vraie également pour le naturel , c'est à dire

Puisque et sont positifs,



Donc, par la définition de la suite

Puisque et sont positifs,


CQFD

2. Majoration

Thèse


Remarque: 10 n'est pas forcément le plus petit majorant...

Initialisation

Par calcul,

Hérédité

On sait que est vraie pour un certain

On va montrer que la propriété reste vraie pour le naturel k+1, c'est à dire

De , on tire que

et
Puisque les termes de la suite sont positifs,
et
En additionnant membre à membre ces inégalités de même signe, on obtient

Finalement,

CQFD

3. Limite

Théorème: toute suite continue croissante et majorée est convergente

Donc, la suite est convergente.

Théorème: toute suite continue et convergente définie par une récurrence du type admet une limite qui est l'une des solutions de l'équation

Soit

D'après le théorème, on a




Les deux solutions sont 0 et 4 mais la solution 0 doit être rejetée car la suite est croissante et strictement positive.

Conclusion: la limite de la suite est 4

Voilà, j'espère que cette énigme vous aura plu

Bonne nuit

Gandhi

[invite2b0650e6]

Donc, par la définition de la suite

Puisque et sont positifs,

Ceci est faux, je suis fatigué... Il faut comprendre


Donc, par la définition de la suite


Ensuite, dans toute la deuxième partie, ce sont évidemment des et non des

Enfin, à cette ligne, il manque deux parenthèses

[PlaneteF]

Salut Gandhi33,

Je te fais part des quelques remarques suivantes

Une petite énigme de mathématiques:

C'est un exo de maths, ... pourquoi ne pas l'avoir mis dans un des deux forums des maths ?!

Et ; et ; ...

Une suite d'éléments d'un ensemble est une application de ou d'une partie de , dans . Donc les notations en citation sont inappropriées.

Notation ici interdite, car il ne s'agit pas là d'une fonction sur

1. Croissance

Il y a un problème de clarté de rédaction dans cette démonstration. En effet tu te proposes de démontrer :

On va montrer que la propriété est vraie également pour le naturel , c'est à dire

... et au final tu démontres seulement :

CQFD

Donc il y a quelque chose qui ne va pas dans la rédaction de cette récurrence.

On peut effectivement montrer que est un majorant, ... on aurait pu aussi choisir ... mais du coup tu fais intervenir le nombre en compliquant les choses, ... le plus naturel ici est de choisir avec démonstration simple et directe.

Théorème: toute suite continue croissante et majorée est convergente

C'est quoi une suite "continue" ?

Le théorème c'est : "Toute suite croissante et majorée est convergente".



Cordialement

[PlaneteF]

Il y a un problème de clarté de rédaction dans cette démonstration. En effet tu te proposes de démontrer :

... et au final tu démontres seulement :

Donc il y a quelque chose qui ne va pas dans la rédaction de cette récurrence.

Je précise cette remarque :

En fait, on ne voit pas clairement la récurrence que tu fais. Quelle est exactement la proposition ? A priori tu fais une récurrence double ?! ... auquel cas il faut alors être plus explicite dans le fonctionnement d'une telle récurrence, d'autant plus qu'elle est moins courante qu'une récurrence simple.

Cdt

[PlaneteF]

En fait je pense que tu fais plutôt une récurrence simple sur


Cdt

[PlaneteF]

En fait je pense que tu fais plutôt une récurrence simple sur

D'ailleurs je rectifie cette écriture en enlevant le quantificateur de la proposition -->

[invite2b0650e6]

Salut,

Je te fais part des quelques remarques suivantes
C'est un exo de maths, ... pourquoi ne pas l'avoir mis dans un des deux forums des maths ?!

Je croyais que c'était interdit (exercices et forum)

Une suite d'éléments d'un ensemble est une application de ou d'une partie de , dans . Donc les notations en citation sont inappropriées.(...)

Notation ici interdite, car il ne s'agit pas là d'une fonction sur

Ok je prends note mais c'est l'intention qui compte

Il y a un problème de clarté de rédaction dans cette démonstration. En effet tu te proposes de démontrer : (...)
... et au final tu démontres seulement : (...)
Donc il y a quelque chose qui ne va pas dans la rédaction de cette récurrence.

Ok ce n'est pas super clair mais je démontre bel et bien que la suite est croissante.
Je n'aurais pas du dire

On va montrer que (...)

Mais juste
Et alors il n'y a plus d'erreur et ce n'est qu'une récurrence simple. J'avais juste besoin de 3 termes dans l'initialisation. Maintenant tout va bien: je démontre que si on a trois termes consécutifs strictement positifs et qui croissent (ca ne veut sûrement rien dire), alors le quatrième est aussi supérieur au précédent. Plus de problème.

On peut effectivement montrer que est un majorant, ... on aurait pu aussi choisir ... mais du coup tu fais intervenir le nombre en compliquant les choses, ... le plus naturel ici est de choisir avec démonstration simple et directe.

Je sais mais je voulais montrer qu'il n'y avait pas encore besoin de connaître la limite de la suite à ce stade. C'était fais exprès

C'est quoi une suite "continue" ?
Le théorème c'est : "Toute suite croissante et majorée est convergente".

Ce n'est pas une suite dont tous les termes existent ? Sinon je présente mes plus sincères excuses.

Cordialement

Gandhi

[invite2b0650e6]

En effet, en regardant la toile, j'observai que la terminologie "suite continue" n'existait pas.

[PlaneteF]

Mais juste

Ben non, pas pour une récurrence simple où l'on va utiliser la propriété que j'ai indiquée en message#15.

Ou alors on fait une récurrence double^(*) auquel cas la propriété et le raisonnement sont différents.

^(*) Personnellement dans le cas d'une suite définie par récurrence sur 2 rangs comme ici, je préfère utiliser une récurrence double, même si formellement la récurrence simple est équivalente à la récurrence double (équivalentes à la récurrence forte).


Cdt

[invite2b0650e6]

Bonjour PlaneteF

Notation ici interdite, car il ne s'agit pas là d'une fonction sur

Ah bon? Pour moi



Il est vrai que cette écriture est déconseillée, mais pas interdite.
Chacun son truc...

Cordialement

[PlaneteF]

Ah bon? Pour moi



Il est vrai que cette écriture est déconseillée, mais pas interdite.

Bonjour Gandhi33,

Cette écriture est formellement interdite pour la simple et bonne raison que j'ai indiquée dans mon message précédent, à savoir, une racine carrée d'un nombre complexe non nul n'étant pas unique, cela ne peut pas être une fonction. Donc ce que tu écris là n'a formellement pas de sens, car n'a pas qu'une seule racine carrée, ... ainsi pourquoi choisis-tu celle-là et non pas l'autre ?!!


Cordialement