Bonjour
Une petite énigme avec des trains qui se croisent, mais attention, il ne suffit pas de trouver la réponse, le but est aussi de trouver la méthode de résolution le plus simple possible :
2 trains a et b partent au même instant de 2 gares A et B reliées par une voie unique.
Au moment de se croiser il reste 4h de trajet au train a pour atteindre la gare B, tandis qu'il ne reste qu'une heure à b pour atteindre A. quel est le rapport des vitesses des 2 trains ?
A vrai dire, il me semble qu'aucun des trains n'atteindra sa destination
Mais s'ils pouvaient vraiment se croiser sur une voie unique, le train b est 2 fois plus rapide que le train a.
Les trains se croisant à l'instant t :
* le train a doit parcourir en 4h la distance déjà parcourue par le train b : (1) vb*t/va = 4
* le train b doit parcourir en 1h la distance déjà parcourue par le train a : (2) va*t/vb = 1
(1)/(2) => vb²/va²=4 => vb/va=2
Pas mieux avec des équations.
Vérification visuelle :
soit le segment de droite A---B et X le point de croisement : A-x--B
On voit que si le train qui part de A avance de 1 tiret pendant que le train qui part de B avance de 2 tirets ils se croisent en x. Si la durée du départ jusqu'au croisement a été de 2h, alors celui parti de A va mettre 4h à atteindre B, et celui parti de B va mettre 2h à atteindre A.
Il y a probablement une représentation géométrique (avec des axes pour les distances et le temps) qui donne le résultat du premier coup d'oeil
Comme représentation géométrique, il y a le trapèze rectangle.
Soit un trapèze ABCD, rectangle en A et D, avec [AB] et [CD] qui sont respectivement la petite base et la grande base.
Traçons les diagonales [AC] et [BD], qui se croisent en un point E.
Traçons la droite parallèle à (AD) et qui passe par E. Elle croise (AB) et (CD) respectivement en F et G.
Nous avons alors l'axe du temps (DC) et l'axe de la distance (AD). [Note : les points A et B tels que je les ai définis ne correspondent pas aux points A et B tels que définis dans le problème.]
L'intersection des deux diagonales représente le croisement des deux trains.
Tous deux ont parcouru autant de temps, ce qui est représenté par AF = DG.
FB = 1, GC = 4, ce qui représente les durées respectives à parcourir après le croisement.
Comme les triangles ABE et CDE sont semblables, leurs côtés sont proportionnels. Soit x le rapport entre les côtés du triangle ABE et ceux correspondants du triangle CDE.
Donc DG = x et AF = 4/x.
Mais DG = AF car AFGD est un rectangle.
Donc x = 4/x d'où x = 2 (on néglige le -2). Donc les deux trains ont parcouru deux heures avant de se croiser.
Donc EG est deux fois plus grand que EF. Donc tan(GDE) = 2*tan(EAF). Donc l'un va deux fois plus vite que l'autre.
On constate que le rapport des vitesses est la racine carrée du rapport des durées restant après le croisement.
Dernière modification par shokin ; 29/10/2014 à 11h38.
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
Je pense comme WizardOfLinn donc je dirai que comme les trains roulent sur une voie unique et si on considère Tc comme le moment du croisement :
alors le rapport de vitesses est d'un facteur 2 comme montrés plus haut.
Cependant après Tc et un temps suffisamment long, ce rapport sera sous une forme indéterminée puisque les deux trains seront forcément immobile (normal s'ils déraillent).
