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Le point sauteur.



  1. #1
    contrexemple

    Le point sauteur.


    ------

    Salut,

    On se place dans le plan et on considère un point qui se déplace en sautant toujours de la même longueur et dans n'importe quelle direction,ce point peut-il atteindre n'importe quel endroit du plan ?
    Justifier votre réponse.

    Comme promis la solution
     Cliquez pour afficher

    -----

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  3. #2
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Le point sauteur.

    Salut,

    Ca c'est une question intéressante. C'est une forme de mouvement Brownien. Il y a des questions extrêmements ardues sur le sujet (comme la probabilité d'atteindre une zone donnée, le temps moyen et la longueur moyenne de la trajectoire, la longueur moyenne des trajectoires qui ne se recoupent pas, etc.... Le tout dépend du nombre de dimensions).

    Un bon livre sur le sujet est "Théorie statistique des champs" en deux tomes (Itzykson - Drouffe) mais ce livre est ardu de chez ardu, j'ai vite décroché. Donc, pour dingue de physique mathématique seulement
    Mais j'ai adoré la partie (au début du tome I) sur le mouvement brownien.
    Keep it simple stupid

  4. #3
    Médiat

    Re : Le point sauteur.

    Bonjour,

    Quelle façon compliquée de dire que deux cercles de rayon R et dont les centres sont distant de r < R ont une intersection non vide.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    Médiat

    Re : Le point sauteur.

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Mais j'ai adoré la partie (au début du tome I) sur le mouvement brownien.
    Je n'ai pas lu ce bouquin, mais je me souviens (1971 ) du mouvement de l'homme bourré qui était plutôt sympa.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    contrexemple

    Re : Le point sauteur.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour,

    Quelle façon compliquée de dire que deux cercles de rayon R et dont les centres sont distant de r < R ont une intersection non vide.
    Bonjour,

    Ce qui donne une réponse affirmative ou négative à la question de départ ?

    Ps : si tu veux donner une réponse justifier, merci de la mettre dans un spolier.

  8. #6
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Le point sauteur.

    Citation Envoyé par contrexemple Voir le message
    Ce qui donne une réponse affirmative ou négative à la question de départ ?
    Ps : si tu veux donner une réponse justifier, merci de la mettre dans un spolier.
    Positive. C'est facile à justifier (c'est idiot que je n'aie pas pensé à ça tout de suite, merci Médiat).

    Tu te limites initialement à atteindre les points d'une grille de pas R (longueur des déplacements), avec des pas horizontaux et verticaux. Il est clair qu'on peut atteindre n'importe quel point de la grille.
    Puis, soit un point x, quelconque. Tu peux toujours trouver un point P de la grille qui sera à une distance maximale de R*sqrt(2)/2 (la demi-diagonale d'un carré de la grille), soit inférieur à R.
    De ce point de la grille tu traces un cercle de rayon R, et de x tu traces aussi un cercle de rayon R.
    Ces deux cercles ayant leurs centres plus proche que R, ils vont avoir deux points d'intersection. Soit D un de ces points.
    Tu peux alors faire deux sauts : P - D et D - x
    CQFD
    Keep it simple stupid

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  10. #7
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Le point sauteur.

    Ceci dit, la solution que tu donnes est compliquée mais pas nécessairement sans intérêt. Je ne l'ai pas examiné de près, mais elle a probablement plus de chance de pouvoir être généralisée à des cas plus compliqué que la démonstration que j'ai donné (avec l'aide du message 3 de Médiat, rendons à César...)
    Keep it simple stupid

  11. #8
    contrexemple

    Re : Le point sauteur.

    C'est bien cela.

    @Médiat : si tu veux donner une réponse la prochaine fois donnes là sous spolier, merci.

    @Deedee81 : parfois plus c'est simple et plus on a du mal à y penser.

    Soit ABC un triangle rectangle en C avec AC=3*R et BC=7*R le point sauteur est en A, en combien de saut au minimum rejoint-il C ?

    La réponse que j'ai mis dans le spolier répond à cela.

  12. #9
    Médiat

    Re : Le point sauteur.

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    [...]
    Mais c'est plus efficace de se déplacer sur la droite entre le point de départ et le point cible (du coup, en toute dimension, on se ramène à un "problème" en dimension 1).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #10
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Le point sauteur.

    Citation Envoyé par contrexemple Voir le message
    @Médiat : si tu veux donner une réponse la prochaine fois donnes là sous spolier, merci.
    C'est moi qui ait détaillé la démonstration, c'est moi aui aurait dû mettre un spoiler. J'y ai pensé.... après coup.

    Le problème du nombre de saut, en toute généralité, rsique d'être beaucoup plus complexe.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Mais c'est plus efficace de se déplacer sur la droite entre le point de départ et le point cible (du coup, en toute dimension, on se ramène à un "problème" en dimension 1).
    Ah bern oui. Plus efficace en nombre de sauts et plus efficace en terme de démonstration. Merci,
    Keep it simple stupid

  14. #11
    contrexemple

    Re : Le point sauteur.

    Réponse au problème de nombre de sauts minimales pour se rendre de A à B :
     Cliquez pour afficher

  15. #12
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Le point sauteur.

    Tu as calculé ça comment ? Avec la méthode de Mediat ?

    Comment démontrer que c'est réellement le plus petit nombre de sauts ? (ça ne me semble pas du tout évident)
    Keep it simple stupid

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  17. #13
    contrexemple

    Re : Le point sauteur.

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Tu as calculé ça comment ? Avec la méthode de Mediat ?

    Comment démontrer que c'est réellement le plus petit nombre de sauts ? (ça ne me semble pas du tout évident)
    Avec la méthode présentée dans le cas 2 dans le spolier du premier message.
    De toute les façons la distance maximale que l'on peut atteindre avec 7 sauts sera toujours trop courte pour atteindre B, donc il faut nécessairement au moins un saut de plus...

    cqfd.

  18. #14
    contrexemple

    Re : Le point sauteur.

    Imaginez maintenant qu'à chaque saut le point sauteur se fatigue et que la distance qu'il est capable de sauter, est de plus en plus petit, mais malgré tout il conserve toujours la vigueur nécessaire pour rejoindre n'importe quelle point du plan, quelques soit le nombre de sauts effectuées.
    Le point saute toujours devant lui, mais après chaque tour, il tourne sur lui même d'un 100 eme de tour.

    Peut-on mettre une laisse au point sauteur, sans risquer qu'il la coupe ?
    Si oui, donner une longueur de laisse suffisante.

    Réponse :

     Cliquez pour afficher

  19. #15
    contrexemple

    Re : Le point sauteur.

    Salut,

    Une autre question : Je dispose d'une laisse, d'une certaine longueur, puis-je l'utiliser pour le point sauteur, après un certains nombre de sauts, sans risquer de la couper ou freiner le point sauteur ?

  20. #16
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Le point sauteur.

    Salut,

    Citation Envoyé par contrexemple Voir le message
    avec 7 sauts
    Ah, pardon, je n'avais pas compris que tu traitais d'un cas particulier. Je pensais au cas général (où la méthode présentée dans le cas 2 marche mais il n'est pas démontré que c'est la meilleure dans le cas général). Ok, merci.

    Citation Envoyé par contrexemple Voir le message
    Une autre question : Je dispose d'une laisse, d'une certaine longueur, puis-je l'utiliser pour le point sauteur, après un certains nombre de sauts, sans risquer de la couper ou freiner le point sauteur ?
    Ca dépend des contraintes. Si tu ne fixes aucune contraintes sur les sauts, alors il faut que la laisse soit au moins N*R (R longueur d'un saut, N nombre de sauts).
    Si tu acceptes les contraintes, alors la laisse peut faire la longueur R et tu fais des sauts aller-retour.
    Keep it simple stupid

  21. #17
    contrexemple

    Re : Le point sauteur.

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Salut,



    1/Ah, pardon, je n'avais pas compris que tu traitais d'un cas particulier. Je pensais au cas général (où la méthode présentée dans le cas 2 marche mais il n'est pas démontré que c'est la meilleure dans le cas général). Ok, merci.



    2/Ca dépend des contraintes. Si tu ne fixes aucune contraintes sur les sauts, alors il faut que la laisse soit au moins N*R (R longueur d'un saut, N nombre de sauts).
    Si tu acceptes les contraintes, alors la laisse peut faire la longueur R et tu fais des sauts aller-retour.
    Salut,

    1/Remplace 7 par n alors cela marche aussi, on obtient n+1 saut comme saut optimum.

    2/J'ai préciser comment le point sauteur se déplace, ces précisons devraient suffire à prévoir une laisse d'une longueur suffisante quelque soit le nombre de saut effectuer.
    (on a pas besoin de faire l'hypothèse que le point sauteur se fatigue, par contre l'hypothèse est nécessaire pour répondre à la deuxième question (posée aujourd'hui)).

  22. #18
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Le point sauteur.

    Citation Envoyé par contrexemple Voir le message
    1/Remplace 7 par n alors cela marche aussi, on obtient n+1 saut comme saut optimum.
    Pas d'accord. Ca donne le nombre minimum de saut selon la méthode présentée plus haut, mais tu ne prouves pas l'absence d'une autre méthode donnant un nombre de saut plus court (je suis d'accord pour dire que ça ne doit pas être trivial à démontrer. après tout, l'évidente conjecture de Kepler a mis un temps fou avant d'être démontrée assez récemment).

    Citation Envoyé par contrexemple Voir le message
    2/J'ai préciser comment le point sauteur se déplace, ces précisons devraient suffire à prévoir une laisse d'une longueur suffisante quelque soit le nombre de saut effectuer.
    (on a pas besoin de faire l'hypothèse que le point sauteur se fatigue, par contre l'hypothèse est nécessaire pour répondre à la deuxième question (posée aujourd'hui)).
    Alors j'ai donné la réponse. C'est le cas sans contrainte (juste la façon dont il se déplace).

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  24. #19
    contrexemple

    Re : Le point sauteur.

    1/Ok, prend un point quelconque à distance (n+e)*R du point sauteur, alors un minimum pour le nombre de saut est n+1 (0<e<1), et la solution modifié en a justement n+1.
    2/Non, avec les contraintes (saut devant lui de R et un 100e de tour sur lui même) il y a bien une longueur de laisse possible, quelque soit le nombre de saut considérer.

  25. #20
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Le point sauteur.

    Citation Envoyé par contrexemple Voir le message
    1/Ok, prend un point quelconque à distance (n+e)*R du point sauteur, alors un minimum pour le nombre de saut est n+1 (0<e<1), et la solution modifié en a justement n+1.
    Ah oui, c'est tout con. C'était plus simple que Kepler

    Citation Envoyé par contrexemple Voir le message
    2/Non, avec les contraintes (saut devant lui de R et un 100e de tour sur lui même) il y a bien une longueur de laisse possible, quelque soit le nombre de saut considérer.
    Ben oui il y a une longueur possible ! Je l'ai donnée !!!!!
    Keep it simple stupid

  26. #21
    contrexemple

    Re : Le point sauteur.

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Si tu ne fixes aucune contraintes sur les sauts, alors il faut que la laisse soit au moins N*R (R longueur d'un saut, N nombre de sauts).
    Si tu acceptes les contraintes, alors la laisse peut faire la longueur R et tu fais des sauts aller-retour.
    N*R (pas bonne car dépend du nombre de saut) ou R (pas bonne car elle peut-être plus grande : il suffi de 2 saut pour obtenir une distance strictement plus grand que R).

  27. #22
    mike.p

    Re : Le point sauteur.

    Citation Envoyé par contrexemple Voir le message
    Salut,

    On se place dans le plan et on considère un point qui se déplace en sautant toujours de la même longueur et dans n'importe quelle direction,ce point peut-il atteindre n'importe quel endroit du plan ?
    Justifier votre réponse.
    Salut,

    quelque chose m'échappe, merci d'être indulgent.

    Pourquoi cette solution simplissime n'est pas proposée :
    Qu'est qui empêche le point sauteur
    1 ) d'aller dans la direction du point destination D jusqu'à se situer à une distance inférieure à l'unité de saut, au point qu'il appellera E
    3 ) de tracer la perpendiculaire au milieu du segment DE
    4 ) de sauter sur cette perpendiculaire ( à l'un des 2 points qu'il saurait atteindre )
    5 ) de rejoindre enfin sa destination qui est forcément distante de ce point de la bonne longueur ( il y a un isocèle par construction )

    ?

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