Piège dans la pyramide

[invite748a7e91]

Tu es dans la grande salle d'une pyramide égyptienne contenant 501 portes numérotées de 1 à 501.

Si tu te trompes de porte, tu es voué à une mort aussi certaine qu'atroce.

Ta connaissance des hiéroglyphes te permet de comprendre le mode d'emploi :

1) Ouvrir toutes les portes,
2) Fermer toutes les portes paires,
3) Activer toutes les portes multiples de trois (activer une porte ouverte revient à la fermer et activer une porte fermée revient à l'ouvrir),
4) Réitérer le processus sur tous les multiples de quatre, puis de cinq et cela jusqu'à 501,
5)Une fois le processus achevé, certaines portes seront ouvertes, d'autres fermées. Il te faudra alors emprunter la 17ième porte ouverte.

Question : Par quel moyen trouver immédiatement le No de cette porte ?

Niveau 1ère / Terminale "S" option mathématiques
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[inviteb6b93040]

Bonjour,

J'ai fait un programme pour voir car ça me semblai curieux que seule la porte 17 reste ouverte

Function Test501()
    Dim ta(502) As Integer
' 1) Ouvrir toutes les portes 
    For I = 1 To 501 
        ta(I) = 1
    Next I
'2) Fermer toutes les portes paires
    For I = 2 To 501 Step 2  
        ta(I) = 0
    Next I
'3) Activer toutes les portes multiples de trois (activer une porte ouverte revient à la fermer et activer une porte fermée revient à l'ouvrir)
et 
4) Réitérer le processus sur tous les multiples de quatre, puis de cinq et cela jusqu'à 501, 
    For J = 3 To 501 
        For I = J To 501 Step J
            If ta(I) = 1 Then
                ta(I) = 0
            Else
                ta(I) = 1
            End If
        Next I
    Next J
    ch = "D:\MSVCNT\pianoVB\"
    Open ch & "test501.txt" For Output As 1
    For k = 1 To 501
        If ta(k) = 1 Then
            Print #1, k
        End If
    Next k
Close #1
End Function

Si je ne me suis pas trompé, la liste des portes ouvertes ne contient même pas la 17

1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
400
441
484

[Médiat]

Bonjour,
La question n'est pas d'ouvrir la porte 17, mais la 17ième qui est ouverte à savoir 17² = 289

[invite748a7e91]

Bravo !

Réponse : L'état initial des portes étant inconnu on conviendra que la 1ère activation aboutit à l'état « ouvert » quelque soit l'état initial de la porte. A partir de cet état, la 2ième activation à fermer, la 3ième activation à ré-ouvrir... et ainsi de suite jusqu'à la fin du processus. Une porte sera donc ouverte si elle a été activée un nombre impair de fois. Seule donc, les portes correspondant à un numéro dont le nombre possède un nombre impaire de diviseurs seront en définitive ouverte. Les nombres possédant un nombre de des diviseurs impairs sont décomposables en facteurs premiers sous la forme : a^2, a^4, a^6, a^8, a10 mais aussi a^2b^2 et ne doivent pas être supérieur à 501. Il suffit de trouver le plus petit, puis son successeur et ainsi de suite jusqu'au 17ième. La porte No 289, (289 se décompose en 1^2 . 17^2, est la porte qu'il vaut mieux emprunter car elle n'a été activée que trois fois...

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Astucieux

[Médiat]

Bonjour,

Les nombres possédant un nombre de des diviseurs impairs sont décomposables en facteurs premiers sous la forme : a^2, a^4, a^6, a^8, a10 mais aussi a^2b^2 et ne doivent pas être supérieur à 501.

C'est à dire les carrés parfaits, ce qui permet de répondre directement sans calculer les 16 premiers (d'où ma réponse précédente).

[invite748a7e91]

Et pourquoi la 17ème porte a-t-elle été activée 3 fois : car un nombre entier qui se décompose sous la forme a1^k1 . a2^k2...an^kn, contient exactement (k1 + 1)(k2 + 1)...(kn + 1) diviseurs, il possède donc un nombre impair de diviseurs si, et seulement si, tous ses exposants, dans sa décomposition en facteurs premiers, sont pairs ! CQFD...

[Médiat]

Je n'ai pas dit le contraire, mais seulement que :

Il suffit de trouver le plus petit, puis son successeur et ainsi de suite jusqu'au 17ième

est une méthode inutilement compliquée, puisqu'on peut l'atteindre directement !

[invite51d17075]

belle énigme cependant !
cordialement.

[invite748a7e91]

Oui mais la question est de savoir pourquoi la Nème porte ouverte est N^2 ?

Il faut bien expliquer le pourquoi des choses et l'explication est que si tous les exposants, dans la décomposition en facteurs premiers du numéro de porte, sont pairs alors le nombre de diviseurs est impair et que tout entier qui possède une décomposition en facteurs premiers d'exposants pairs est un carré parfait.

Voilà pourquoi la dernière porte ouverte et la 22ème porte le No 484...

Cordialement