Petit jeu pour l'été

[Médiat]

Bonjour,

Avant toutes choses, je dois avouer que j'ai hésité à poster ceci en science ludique plutôt qu'en mathématiques dans la mesure ou ce n'est pas simple, mais peut-être quelqu'un trouvera une solution astucieuse et élégante ...


Soit un jeu qui se déroule de la façon suivante :
A chaque tour, le joueur engage 1 jeton, s'il gagne il récupère son jeton plus un autre, s'il perd, il abandonne son jeton. La probabilité de gagner à chaque tour est .

Un joueur se présente avec jetons en poche, il décide de jouer jusqu'à ce qu'il n'ait plus de jeton, ou qu'il en possède exactement .

Quelle est, en fonction de , la probabilité que le joueur perde (ou gagne, au choix ) s'il arrive avec 17 jetons en poche.
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[invitec9c0a685]

Bonjour, l me semble que la probabilité que vous demandez est fonction de P mais aussi de n...!
Cordialement
PS: par exemple si n=9
alors la probabilité d'avoir 18 jetons est de P

[Médiat]

Bonjour, l me semble que la probabilité que vous demandez est fonction de P mais aussi de n...!
Cordialement

J'ai fixé dans la question.

mais si vous voulez répondre avec quelconque, pas de problème.

[invitec9c0a685]

J'ai fixé dans la question.

mais si vous voulez répondre avec quelconque, pas de problème.

Bonjour, il y avait une ambiguïté dans la question, en effet, je pensais que vous vouliez calculer la probabilité de gagner ou de perdre sachant que vous étiez passé par la case 17 jetons...et ce quelque soit le nombre de jetons que vous aviez au départ...
Il y avait certaines réponses impossibles
Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Oh la belle marche aléatoire !

Voici une méthode classique pour obtenir le résultat :

 Cliquez pour afficher

Si on note la probabilité d'atteindre 0 avant 2n partant de k, l’événement atteindre 0 avant 2n partant de k, et le gain de la ième partie, alors





On trouve alors une jolie suite réccurente




Ensuite, on utilise la méthode classique pour résoudre cette réccurence. Le polynome caractéristique est , ses racines sont et , donc



On en déduit alors le système



Ce qui nous donne

[Médiat]

Bonjour,

Oh la belle marche aléatoire !

On peut simplifier un peu le résultat final, surtout en prenant en compte que la question portait sur k = n.

 Cliquez pour afficher

J'avais en tête une solution spécifique du cas k (oups, désolé) = n, qui met en jeu une relation de récurrence intéressante ...