Problème de Chaussettes

[Médiat]

Je reprends un peu ce soir et beaucoup demain le problème de la généralisation du circulaire avec n>2 et premier en espérant que nous serons nombreux à tenter de résoudre cette suite de l'énigme !

Je suis dessus (cas linéaire), je vais poster d'ici demain matin un petit texte (je dois vérifier quelques calculs) afin de fixer quelques notations et réduire le problème à des questions plus spécifiques
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[Médiat]

Après tout, si je me suis planté (je ne suis pas sûr des bornes) quelqu'un le notera ...

Notations :

= Nombre d'étendages de -ssettes tels que soient appariées.
= Nombre d'intervalles déterminés par -ssettes dont sont appariés sans compter les intervalles à l'intérieur des -ssettes appariées.
= Nombre de façons de placer objets dans intervalles.
= Nombre de façons de casser -ssettes avec chaussettes.



A priori en posant il n'y a pas à faire de cas particulier (à vérifier)

Calcul de en fonction des autres

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cas particulier : on ne peut pas casser une 2-ssettes avec 2 chaussettes

Calcul de

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Calcul de

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Il reste donc à calculer .

[mike.p]

Bonjour et bon dimanche,

je n'ouvre que les spoilers qui me sont adressés pour le moment.

Après des mésaventures entre la capacité du langage utilisé pour faire de longs calculs et la mienne à ne pas mélanger nouvelles et anciennes variables, j'ai échoué à généraliser le problème circulaire ( pour l'instant ) pour les nombres premiers. Ce qui semble fonctionner parfaitement pour 3 et 7 plante pour 5 et 11

Voici les premières lignes que je propose pour les tripodes soignés ( puisqu'ils portent des chaussettes le dimanche ) :

 Cliquez pour afficher

k=3
n=2 ( 4 ) : 3, 0, 1, - T = 4
n=3 ( 188 ) : 138, 42, 6, 2, - T = 188
n=4 ( 30804 ) : 24850, 5256, 636, 56, 6, - T = 30804
n=5 ( 11211216 ) : 9520592, 1543320, 137760, 9040, 480, 24, - T = 11211216

entre parenthèses le total de ligne calculé directement vs la somme de la ligne , à la fin, après T=

Au delà de n=5, il y a des problèmes de support des longs nombres par javascript.

nb : voici quelques résultats douteux sur 3 nuplets ( k-settes ) :
4-uplets n=3: ( 2889 ) : 2713, 186, 9, 2, - T = 2910 ****
6-uplets n=3: ( 952953 ) : 951484, 2736, 15, 2, - T = 954237 ****
ou 4-uplets pour n=4] ( 3941442 ) : 3806976, 131376, 3456, 96, 6, - T = 3941910 ****
il est bien possible qu'il y ait un excédent là. Il me reste à trouver pourquoi 3 et 7 mais pas 5 et 11.

ou moins improbables :
5-uplets n=3: ( 50452 ) : 49712, 726, 12, 2, - T = 50452

un autre écarteur de solutions : E(n,n-1) doit toujours valoir (n-1) ! , E(2,1) = 0 et E(2,2) = 1. Les suites sont toujours décroissantes sauf dans le cas k=2, celui des paires.

Avant de le passer sous C avec les libraries adaptées aux quotients d'entiers, je vais tenter de faire les parts de l'outil et des formules et espère revenir rapidement avec la solution générale du circulaire pour k premier ( ou pas ) et puis des 2 autres variantes ...

[ansset]

sauf démenti de médiat, il me que chacun fait ce qu'il veut des spoilers ( selon la nature de sa démarche et implication )
pour ma part, je vous lis avec intérêt, mais je ne cherche pas à m'investir d'avantage dans cette énigme fort originale au demeurant.
Cordialement.

[Médiat]

Bonsoir,

Chacun fait ce qu'il veut, visiblement mike.p s'intéresse au cas circulaire, et moi au cas linéaire.

Quelques résultats simples :

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[mike.p]

Bonsoir Mediat et Anset,

je pensais que le principal cas était le circulaire, les autres, le linéaire et le linéaire bouclé ( sans symétrie rotationnelle ) pouvant s'en déduire. Je les traite plus ou moins en même temps en me polarisant sur le circulaire.

Bon, s'il faut abandonner le circulaire, je le ferai demain après une dernière tentative maintenant.

[Médiat]

Bonjour,

Il n'y a pas de cas principal, chacun fait comme il l'entend, il me semble juste que le cas linéaire est plus simple, surtout pour k non premier, et pour k premier on doit pouvoir "adapter" une solution circulaire vers linéaire, mais aussi de linéaire vers circulaire

[mike.p]

Bonsoir,

je dois commencer à m'emmêler les pinceaux car je ne vois pas l'impact de k premier dans le cas linéaire.

Je pensais rejoindre le cas linéaire en retirant les corrections pour les périodes circulaires et les facteurs de circularité. Pour ce qui est du linéaire fermé, les subdivisions auraient été les mêmes que pour le linéaire mais avant une correction du comptage en ajoutant k-1 copies du début de chaque arrangement à sa fin.

Les formules de la récurrence k=2 que j'avais proposées ne sont pas idéales car elles escamotaient des aspects du mécanisme.
Au point où j'en suis , j'ai une formulation plus ou moins binomiale qui ne passe pas pour tous les cas premiers. La longueur des nombres et la nécessité d'aller au moins jusqu'en ligne n+1 rendent les tests supérieurs à 3 très difficiles en Javascript. Le but n'est pas de programmer ... Les tests à la MC ne donnent que des approximations relatives dans les 2 cas linéaires.

Mais bon, si je n'ai pas compris le 1er point plus haut, c'est qu'il y a encore quelque chose qui m'échappe

Pour l'instant, après des heures, ma généralisation du circulaire ne fonctionne pas ... Tout ça n'a pas une grande importance et est du niveau d'un lycéen très patient ou très rigoureux. Mais c'est un challenge sympa pour se prévenir d'Alzheimer ou de je ne sais plus qui. Aboutir serait un plus mais n'est pas primordial.

[Médiat]

Bonjour,

je dois commencer à m'emmêler les pinceaux car je ne vois pas l'impact de k premier dans le cas linéaire.

Je me suis mal exprimé : le cas circulaire est plus compliqué, surtout pour k non premier

[polo974]

Bonjour,
je regarde ce fil depuis quelques jours et je m'accroche au premier sujet (circulaire, paires).

je trouve assez facilement que pour p = n:
on bloque une paire, et on permute les autres
E(n,n) = (n-1)!

pour le cas p = n-1 (avec n>=2 pour éviter un (n-2) négatif...) :
en considérant qu'on part sur un chaussette seule, la seconde se trouve sur une position paire qui n'est ni sur la première paire, ni sur la dernière (d'où le (n-2) à venir).

on procède en plusieurs étapes:
# permutation des paires
e = n!
#
# positions 2eme (si possible)
e = e * (n-2)
# mais comme il y a 2 départs possibles...
e = e / 2

donc:
E(n, n-1) = (n! * (n-2)) / 2

pour les autres cas, je pense chercher une décomposition de "sous-suites", mais c'est encore trop brumeux pour que je m'étende...

[Médiat]

Bonjour polo974,

Vos deux résultats sont corrects, bon courage pour la suite ...

[mike.p]

Bonjour Mediat,

ouf !

Pour les cas circulaires avec k premiers / p=0. Si la distribution contient de nouvelles symétries possibles, ( tous les diviseurs de k ), elles ne se chevauchent pas. Un arrangement ne peut relever que d'une seule à la fois, chaque symétrie étant définie par la taille du pointillé qui ramène au cas de k' = k/taille du pointillé. C'est donc la somme d'exclusions similaires à celle des k premiers, eux mêmes similaires à k=2, déjà traité. AMHA, c'est le clou de l'énigme, avec une relation entre un entier et la sommation de résultats d'opérations simples sur la liste de tous ses facteurs. Pour (in)valider les formules de ce curieux résultat, il faudrait passer par un k premier au carré

[mike.p]

Bonjour,

je m'étais avancé trop vite en parlant d'une relation entre un entier et la sommation pondérée de tous ses facteurs.

Cette inclusion dépend du cardinal de l'ensemble des diviseurs d'un nombre mais pas de la valeur de chaque diviseur. C'est déjà intéressant en soi mais un petit peu moins

En effet, quand on a fixé ces n k-settes, toutes les autres se disposent de manière unique pour chaque symétrie. Pour une symétrie de paires, on dispose la moitié, soit n et les autres n k-settes leur seront opposées. Pour des triplets, on en dispose toujours n, et les 2n restants auront chacun une place qui produira un arrangement distinct de tous les autres. Pour une symétrie avec k non premiers, au lieu de poser une chaussette et la suivante n plus loin, on posera k1 chaussettes contigues et la suivante k2 x n plus loin, avec k1 x k2 = k . Il suffit que k1 et k2 soient des entiers. Il est vrai qu'un tirage aléatoire ne produira pas autant de chaque symétrie, mais ici, il s'agit du nombre de tirages distincts.

Pour un k non premier ayant d diviseurs, par exemple pour 18 qui est divisible par {1,2,3,6,9,18}, on prendra d=6, le nombre d'inclusions dues à la primalité sera multiplié par (d-1). k=6 et k=15 subiront le même effet mais moins que k=8 ou k=12. Le d-ième diviseur, celui dont on ne tient pas compte, produit les configurations avec n k-settes, dont on ne veut pas dans le dénombrement d'une distribution sans paires. De même, s'il y avait la moindre paire, il n'y aurait plus cet effet de symétrie qui réduit les cas distincts.

Inclusion, exclusion, ca dépend bien sûr de ce qu'on en fait et comment l'ensemble des arrangements est découpé ...

Y a t il une classification des nombres ayant les plus longues décompositions de facteurs ? et des travaux sur leurs proximités avec les premiers en général ?? Comme pour les premiers de Mersenne, si près de 2^n qui est une sorte d'anti premier, avec un d au maximum.

[Médiat]

Bonjour,

Je pense avoir résolu le cas linéaire k=3 (la somme des détails est bien égal au total attendu), il faut que je rédige un peu avant de publier ici, mais si vous avez des calculs à confronter aux miens, n'hésitez pas à poster vos questions et propositions.

[Médiat]

Bonjour,

Le cas général linéaire est résolu : ch.pdf

[mike.p]

Bonsoir Mediat ,

patience , ce fil d'énigme a encore au moins un client têtu ...

je fais une proposition sous peu avant d'aller consulter la solution dans le pdf.

[Médiat]

Bonsoir mike.p,

Avant de lire le document, vous pouvez publier des valeurs pour k=3 et je vous dirai si nous sommes d'accord.

Bon courage

[mike.p]

j'ai sous la main avec un bon degré de confiance les valeurs du circulaire

en spoiler juste parce que c'est encombrant:

k=3

 Cliquez pour afficher

2 : 3, 0, 1, ( somme=4 , calcul=4 - total nuPlets=2 et nuPlets/total config=0.5 )
3 : 138, 42, 6, 2, ( somme=188 , calcul=188 - total nuPlets=60 et nuPlets/total config=0.3191489361702128 )
4 : 24850, 5256, 636, 56, 6, ( somme=30804 , calcul=30804 - total nuPlets=6720 et nuPlets/total config=0.218153486560187 )
5 : 9520592, 1543320, 137760, 9040, 480, 24, ( somme=11211216 , calcul=11211216 - total nuPlets=1848000 et nuPlets/total config=0.1648349295919372 )
6 : 6683130360, 875371680, 61842600, 3139200, 127800, 4320, 120, ( somme=7623616080 , calcul=7623616080 - total nuPlets=1009008000 et nuPlets/total config=0.1323529397875975 )
7 : 7784572266000, 854329618800, 49886610480, 2064140400, 67712400, 1849680, 42000, 720, ( somme=8690922240480 , calcul=8690922240480 - total nuPlets=960575616000 et nuPlets/total config=0.11052631578336931 )
8 : 14002059609278160, 1321477414508160, 65727236796480, 2294552588160, 63007610400, 1438012800, 27800640, 443520, 5040, ( somme=15391623287043360 , calcul=15391623287043360 - total nuPlets=1460074936320000 et nuPlets/total config=0.09486166007903067 )
9 : 36833898851625583000, 3048231469064503000, 132009354298644480, 3984936154375680, 94063516807680, 1840503409920, 30698680320, 436907520, 5080320, 40320, ( somme=40018220546304030000 , calcul=40018220546304030000 - total nuPlets=3324590630000639000 et nuPlets/total config=0.08307692307692298 )
10 : 1.3582637626519207e+23, 1.0006117319320183e+22, 383669120719035900000, 10200415885983590000, 211090418440876800, 3611223706890240, 52761570220800, 666567014400, 7201353600, 62899200, 362880, ( somme=1.4622657787619482e+23 , calcul=1.462265778761948e+23 - total nuPlets=1.0804919547502073e+22 et nuPlets/total config=0.0738916256157635 )
11 : 6.786541155614768e+26, 4.50428387485384e+25, 1.5493827878311277e+24, 3.680086532470639e+22, 677871437680616300000, 10296223174090023000, 133572290464166400, 1507063174848000, 14822904096000, 124606944000, 838252800, 3628800, ( somme=7.252838262659261e+26 , calcul=7.252838262659264e+26 - total nuPlets=4.8254770699144275e+25 et nuPlets/total config=0.06653225806451613 )
12 : 4.4685557816597634e+30, 2.6982805789230963e+29, 8.415153194136091e+27, 1.8061162415620377e+26, 2.997139005805552e+24, 4.091939561701514e+22, 476832000979281050000, 4844771972906342000, 43307050181472000, 338976392832000, 2263043059200, 11975040000, 39916800, ( somme=4.746982642910488e+30 , calcul=4.7469826429104873e+30 - total nuPlets=2.8721239520130665e+29 et nuPlets/total config=0.060504201680672234 )

et k=5

 Cliquez pour afficher

2 : 25, 0, 1, ( somme=26 , calcul=26 - total nuPlets=2 et nuPlets/total config=0.07692307692307693 )
3 : 49712, 726, 12, 2, ( somme=50452 , calcul=50452 - total nuPlets=756 et nuPlets/total config=0.014984539760564497 )
4 : 583626702, 2994240, 16164, 144, 6, ( somme=586637256 , calcul=586637256 - total nuPlets=3027024 et nuPlets/total config=0.005159958678110276 )
5 : 24875886749880, 58422554520, 120092880, 326160, 1560, 24, ( somme=24934429725024 , calcul=24934429725023.996 - total nuPlets=58663725120 et nuPlets/total config=0.00235271974402228 )
6 : 2957351729238593000, 3732785153787600, 3683503163880, 4090985760, 6397560, 17424, 120, ( somme=2961088201992945000 , calcul=2961088201992944600 - total nuPlets=3740164458750720 et nuPlets/total config=0.0012631047113805733 )
7 : 8.233190703767074e+23, 621148381124410500000, 339786587083260200, 189201043347120, 129045183120, 125880048, 206640, 720, ( somme=8.239405587337491e+23 , calcul=8.239405587337487e+23 - total nuPlets=621828522418518200000 et nuPlets/total config=0.0007547007072623767 )
8 : 4.741589180006616e+29, 2.30549216453674e+26, 7.703327243021355e+22, 24470688703381850000, 8707377439827360, 3927001728384, 2524213440, 2620800, 5040, ( somme=4.743895442748671e+29 , calcul=4.743895442748672e+29 - total nuPlets=2.3070335644544967e+26 et nuPlets/total config=0.0004863162757899599 )
9 : 5.15020097329464e+35, 1.7070551025203053e+32, 3.735174626330267e+28, 7.396075098093824e+24, 1.5419668539008905e+21, 376300077462763800, 117900923535360, 52021025280, 35562240, 40320, ( somme=5.1519084019885996e+35 , calcul=5.1519084019885996e+35 - total nuPlets=1.707802359389522e+32 et nuPlets/total config=0.00033148927079726853 )
10 : 9.821773692490128e+41, 2.3176587201866886e+38, 3.499612367151678e+34, 4.6070112154779204e+30, 6.102378742668967e+26, 8.944912952935017e+22, 15683885931223239000, 3539108547072000, 1106869276800, 515289600, 362880, ( somme=9.824091701217628e+41 , calcul=9.824091701217632e+41 - total nuPlets=2.3183587808948693e+38 et nuPlets/total config=0.000235987086786611 )
11 : 3.1063385582072965e+48, 5.402077507853257e+44, 5.863830545016476e+40, 5.389605753907065e+36, 4.8145952248391054e+32, 4.564972875686317e+28, 4.920392215095232e+24, 640954488823192100000, 107106735797107200, 24373796832000, 7951426560, 3628800, ( somme=3.106878824601778e+48 , calcul=3.1068788246017745e+48 - total nuPlets=5.403250435669693e+44 et nuPlets/total config=0.00017391249355733245 )
12 : 1.5552184276486992e+55, 2.050209378388852e+51, 1.6530638637897128e+47, 1.1024260125707163e+43, 6.952822523110907e+38, 4.506680249147435e+34, 3.195717191806745e+30, 2.615144663890958e+26, 2.596379792065754e+22, 3285776506692557000, 556104236244480, 130288435200, 39916800, ( somme=1.555423465118279e+55 , calcul=1.5554234651182783e+55 - total nuPlets=2.0505400242371717e+51 et nuPlets/total config=0.00013183162464899822 )

et k=7 qui m'inquiète alors que rien de nouveau n'apparait après 5

 Cliquez pour afficher

2 : 245, 0, 1, ( somme=246 , calcul=246 - total nuPlets=2 et nuPlets/total config=0.008130081300813009 )
3 : 18999474, 10254, 18, 2, ( somme=19009748 , calcul=19003476 - total nuPlets=10296 et nuPlets/total config=0.0005416168588873455 )
4 : 16879629387186, 1595863080, 308052, 264, 6, ( somme=16881225558588 , calcul=16875655269948 - total nuPlets=1596480000 et nuPlets/total config=0.00009457133277789901 )
5 : 90812148247315220000, 2362794943992120, 87775953264, 8222640, 3480, 24, ( somme=90814511130043380000 , calcul=90784545100668900000 - total nuPlets=2362970520580608 et nuPlets/total config=0.000026019746086579842 )
6 : 2.041667322216444e+27, 1.9067939300773475e+22, 205551517400256450, 4037888032992, 209802600, 46800, 120, ( somme=2.0416863903613004e+27 , calcul=2.041012695880532e+27 - total nuPlets=1.9068350415922778e+22 et nuPlets/total config=0.000009339509978586089 )
7 : 1.5032687405671377e+35, 6.001782354988792e+29, 2.4023968714848338e+24, 14388272421593051000, 169598174509008, 5288991120, 660240, 720, ( somme=1.5032747423735167e+35 , calcul=1.5027787073790178e+35 - total nuPlets=6.001830403357877e+29 et nuPlets/total config=0.000003992503987582204 )
8 : 3.050555342996548e+43, 5.8921913461340485e+37, 1.0322366128666032e+32, 2.3702775382175556e+26, 892064239408431100000, 6784141306723200, 134019466560, 9843840, 5040, ( somme=3.050561235198217e+43 , calcul=3.049554642668646e+43 - total nuPlets=5.892211990937415e+37 et nuPlets/total config=0.000001931517362428738 6 )
9 : 1.500252739574262e+52, 1.5373352630401256e+46, 1.3256569620529832e+40, 1.3624966220688796e+34, 2.0265440507363172e+28, 5.13827035576044e+22, 264587883234554880, 3446746421760, 155312640, 40320, ( somme=1.5002542769108508e+52 , calcul=1.4997592385781766e+52 - total nuPlets=1.5373379143581372e+46 et nuPlets/total config=0.000001024718234780603 )
10 : 1.6186192655797865e+61, 9.450791226481954e+54, 4.381135899000693e+48, 2.2535222158717725e+42, 1.532768872447081e+36, 1.580683788167221e+30, 2.8260453944783553e+24, 10205719348443770000, 90486412329600, 2590963200, 362880, ( somme=1.6186202106593472e+61 , calcul=1.6180861151645695e+61 - total nuPlets=9.450799988760512e+54 et nuPlets/total config=5.838800187049879e-7 )
11 : 3.538609100928139e+70, 1.2462407604790807e+64, 3.326485163821933e+57, 9.316825657808982e+50, 3.2224456501578234e+44, 1.5511353772688746e+38, 1.1591585165281318e+32, 1.5099157482893747e+26, 392925673759503750000, 2433250090656000, 45624902400, 3628800, ( somme=3.5386103471692327e+70 , calcul=3.537442713259963e+70 - total nuPlets=1.2462414257763929e+64 et nuPlets/total config=3.521838528430641e-7 )
12 : 1.4692018948201243e+80, 3.2694437093534855e+73, 5.3086942345462776e+66, 8.648505623032113e+59, 1.6490296190388285e+53, 4.09887012290107e+46, 1.4580500072678043e+40, 8.147184033390477e+33, 7.927062226227639e+27, 1.5193288519658945e+22, 67160987495078400, 846395827200, 39916800, ( somme=1.4692022217645483e+80 , calcul=1.4687174296666905e+80 - total nuPlets=3.269444771092592e+73 et nuPlets/total config=2.2253197842063616e-7 )

Dans ma dernière tentative, j'introduis un nouveau multinome pour les nombres non premiers et du coup je n'ai plus mon coup de numérologie de 4 et 6 sous la main.

Tout ce qui concerne la circularité est identifié. Quand je serai sûr du cas circulaire, une tentative de solution du linéaire suivra.

[Médiat]

Bonjour mike,

Dans le document je n'ai traité que le cas linéaire ...

[fregoli]

Bonjour,

J'arrive dans le fil, j'ai lu les premières pages d'échange (soit environ 30 messages), mais j'ai abandonné ensuite.
Pardonnez-moi donc si je redis des choses déjà dites.

Mes premières réponses:
E(0,0)=0
E(1,0)=0 (elles ont forcément cote à cote)
E(1,1)=1 (conséquence de précédente)
E(2,0)=1 (ABAB seule solution car BABA est la même)
E(2,1)=0 (elles ont forcément cote à cote)
E(2,2)=1 (AABB)
E(3,0)=3 (CACBAB, CABCAB, CABACB) les autres sont identiques
E(n,0) = E(n-1,0) ((2(n-1)-1)+(2(n-1)-2)+..+1 ) / 2 (à chaque combinaisons trouvée pour n-1 on trouve 2(n-1) trous pour la 1ere chaussette et (2(n-1)-1) pour la seconde - on en a une de plus de posée - sans que celle qu'on ajoute soit à coté de celle qu'on vient de mettre) divisé par 2 car les deux nouvelles chaussettes sont identiques.
E(n,0) = E(n-1,0) * ( 2(n-1) * (2n-3)) / 2 / 2 = E(n-1,0) * (n-1)(2n-3) / 2
Pour E(n,2) on raisonne de manière similaire: 2n trous pour la premiere et 2n-1 trous pour la seconde, toujours divisé par 2 car chaussettes identiques
E(n,1) = E(n,0) ((2n-1) + (2n-2) + ... + 1) / 2 = E(n,0) * n(n-1) / 2
...
pour p < n
E(n,p) possède 2(n-p) trous, donc pour passer à E(n,p+1) on va avoir 2(n-p) trous pour la 1ere et 2(n-p) -1 trous pour la seconde, toujours en double pour l’indifférenciation des chaussettes ajoutées.
E(n,p+1) = E(n,p) ((2(n-p)-1) + (2(n-p)-2) + ... + 1) / 2
E(n,p+1) = E(n,p) ((n-p)(2 (n-p) - 1)) / 2

[fregoli]

déçu déçu, je vois que la solution est publiée...

[Médiat]

Bonsoir,

Aucune raison d'être déçu, chercher c'est comme des préliminaires, trouver, c'est comme un orgasme, publier sur FSG, c'est juste s'en vanter

[mike.p]

Bonsoir,

Bonjour,

J'arrive dans le fil, j'ai lu les premières pages d'échange (soit environ 30 messages), mais j'ai abandonné ensuite.
Pardonnez-moi donc si je redis des choses déjà dites.

Mediat l'a dit, c'est chercher qui est amusant. Le plus dur est d'aller à la fin. D'ailleurs, je vais surement ouvrir un fil en physique pour une appli ou une méthode ...

Mais vous avez encore du boulot. Tentez d'effectuer les calculs numériques avec un programme ou un tableur et comparez aux résultats publiés dans les pages précédentes. Il manque 2 subtilités. Plus une 3e qui peut être escamotée par un bug. C'est ce qui m'est arrivé quand j'ai proposé ma fausse-juste solution de k=2, un obstacle mal contourné par de la numérologie ( bidouillage sans explication valable ) ...

[fregoli]

Ben oui, mais comme j'avais déjà travaillé une heure hier sur le sujet, pour arriver à mes résultats, avant de me rende compte que la solution y est donnée dans le fil, je n'ai plus le courage de m'y remettre, sauf à lire attentivement la solution.

[mike.p]

euh non, elle n'est pas publiée. Pour ce qui est de mes formules pour k=2, elles donnaient le bon résultat tout en étant mal conçues et fausses. Quant au pdf pour le linéaire, il suffit de ne pas l'ouvrir pour le moment.
Tout reste à faire.

Je m'y remets encore ce soir puisque Mediat permet généreusement des délais ...

[mike.p]

Bonjour,

je pense avoir trouvé l'erreur que je trainais quand k n'est pas premier ! Les symétries ne sont pas indépendantes. Une symétrie de facteur m englobe celles de 2 m , 3 m , etc. Il ne devrait rester que celles qui sont premières entre elles sous déductions de toutes celles qui ont été comptées plusieurs fois ... Le moins qu'on puisse dire est que ça n'est pas banal !

bon, je me vante d'avance. C'est vrai , j'ai peut être encore oublié un truc , mais le fil vit

[Médiat]

Bonjour,

Dans le cas circulaire, je suis toujours bloqué pour k non premier

[mike.p]

Bonsoir,

Bonjour,

Dans le cas circulaire, je suis toujours bloqué pour k non premier

C'est similaire à ce qu'il faut faire pour les sommes croisées de E(n,p) ( multinome type stars and bars ) .
Par inclusions exclusions on dénombre les symétries de facteur f à l'exclusion de toutes celles de ses multiples. Ainsi on peut les additionner simplement.

Sym = ({1:[1, 2, 3, 4, 6, 12], 2:[2, 4, 6, 12], 3:[3, 6, 12], 4:[4, 12], 6:[6, 12], 12:[12]})
Par exemple pour 12 qui a pour facteurs 1,2,3,4,6,12, il faut gérer le cas de la symétrie x 6 , masquée par x3 et par x2 et donc déduite 2 fois après 3 et 2. J'ai préféré calculer en linéaire le tout et 2 = x2 -x4 -x6 -x12 , 3 = x3 -x6 -x12 , 4 = x4 - x12 , etc Ce qui permet d'écrire total = x1 seul ( sans symétrie ) + x2 seul + x3 seul + x4 seul + x6 seul + x12 seul et d'appliquer à chacun son propre diviseur de circularité. Mais la présentation par formule classique est celle d'un multinome.

Le total de symétrie s, facteur de k sur la ligne n est notre linéaire S(s,k,n) = ( n / s )! / (k / s)^n.
La symétrie réduite de Sr(s,k,n) = S(s,k,n) - somme de toutes les symétries multiples dans le sens de la notation ci dessus. Elle est encore linéaire mais homogène, on peut donc appliquer le diviseur de circularité s n ( au lieu de k n ). Quand s = k , on retrouve le résultat des nombres premiers. Quand s=1 , le résultat est le reste sans symétrie. Et tout ceci sans aucune considération sur le nombre de k-settes, mais nous savons qu'il n'y a pas de k-settes quand il y a une symétrie circulaire.


Ca fonctionne maintenant pour la somme mais j'ai encore un bug dans le calcul soit de E(n,0) ( surement ) soit de E(n,p) quand on traite l'exception de p=1. Je vais enfin pouvoir m'y remettre. Mais pour en avoir le coeur net, il faudrait faire un outil sachant manipuler les quotients et rendant des résultats factorisés quand il ne peut faire autrement. Sinon, ce sera difficile de tester au delà de 5 ou 6 avec un langage de programmation simple.

[Médiat]

Bonjour

Par inclusions exclusions on dénombre les symétries de facteur f à l'exclusion de toutes celles de ses multiples. Ainsi on peut les additionner simplement.

J'en était bien arrivé là, mais je ne sais pas les "additionner simplement" dans le cas général.

[mike.p]

Bonjour,

je n'ai pas ce problème.

par exemple pour 4 qui correspond à 2 , 4
je calcule 4 qui est "x4 seul" puis "x2" qui contient déjà "x4" , ce qui donne 3 quantités,
x4 seul , calcul direct à diviser par n ultérieurement
x2 - x4 seul = x2 seul à diviser par 2n
x1 - x2 seul -x4 seul = x1 seul à diviser par 4n

Maintenant on peut additionner simplement ( unir des disjoints ) x1, x2 et x4.

total ligne = x1seul /4n + x2seul /2n +x4seul /n