Le nombre auquel je pense

[Juzo]

Bonjour,

Le nombre auquel je pense comporte 10 chiffres, et s'écrit avec tous les chiffres de 0 à 9.
De plus quand je prend les n premiers chiffres de ce nombre, j'obtiens un nombre divisible par n.

Que est le nombre auquel je pense ? ( n'oubliez pas les spoilers)
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[Médiat]

Bonjour,

Une réflexion rapide montre

 Cliquez pour afficher

qu'il existe 576 cas à étudier, donc la force brute peut donner la réponse facilement, mais existe-t-il une astuce magique ?

[Deedee81]

Salut,

EDIT croisement avec Mediat qui s'est fait la même réflexion

Je l'ai. Mais je l'ai obtenu grâce à un programme (dont je ne suis pas l'auteur, j'ai été voir sur le net ). Mais je ne le donne pas car :
- pour éviter d'être tenté de regarder (même avec le spoiler)
- pour voir si quelqu'un trouve une méthode manuelle (et donc avec un ordi qui fait la recherche à notre place)

[Juzo]

 Cliquez pour afficher

oui, par astuce on peut réduire à 10 cas puis enfin à 1

[A voir en vidéo sur Futura]

[vgondr98]

 Cliquez pour afficher

C'est moi ou ton énoncé est bancal?
Tu penses à 1234567890. En effet, si tu prend le 1 premier chiffre de ce nombre, tu obtiens 1 que tu peux diviser par 1, le résultat vaut 1.
Si tu prend les 2 premiers chiffres de ce nombre, tu obtiens 12 que tu peux diviser par 2, le résultat vaut 6.
Si tu prend les 3 premiers chiffres de ce nombre, tu obtiens 123 que tu peux diviser par 3, le résultat vaut 41.
Si tu prends les 4 premiers chiffres de ce nombre, tu obtiens 1234 que tu peux diviser par 4, le résultat vaut 308.5.
Si tu prends les 5 premiers chiffres de ce nombre, tu obtiens 12345 que tu peux diviser par 5, le résultat vaut 2469.
Si tu prends les 6 premiers chiffres de ce nombre, tu obtiens 123456 que tu peux diviser par 6, le résultat vaut 20576.
Si tu prends les 7 premiers chiffres de ce nombre, tu obtiens 1234567 que tu peux diviser par 7, le résultat vaut 1234567/7.
Si tu prends les 8 premiers chiffres de ce nombre, tu obtiens 12345678 que tu peux diviser par 8, le résultat vaut 1543209.75
Si tu prends les 9 premiers chiffres de ce nombre, tu obtiens 123456789 que tu peux diviser par 9, le résultat vaut 1371421.
Si tu prends les 10 premiers chiffres de ce nombre, tu obtiens 1234567890 que tu peux diviser par 10, le résultat vaut 123456789.
Je pense qu'il y a une différence entre ne pas être divisible et donner une division entière.

[Deedee81]

Oui, la division doit être entière et sans reste. Et la solution est bien unique.

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[mike.p]

Salut Deedee,

merci ! j'allais écrire une bêtise ...

tu n'as pas spoilé cette bonne indication ! après en avoir déterminé 2 et 1/2, j'étais tombé sur une contradiction pour le 4 : il y a donc une solution

bon, ce sera à déduire de la difficulté de la question ... en ce qui me concerne. Tu peux aussi spoiler l'indication et virer ce message

je reviens bientôt avec une proposition et le cheminement qui y mène ( si je trouve )

[ansset]

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approche à moitié bourrine.
j'appelle ce chiffre :abcdefghij
a=1
j=0
b pair
a+b+c multiple de 3
cd multiple de 4
e=5
a+b+c+d+e+f multiple de 3 et pair
et aucun chiffre récurrent.
avec tout ça , et par élimination il ne me reste que 4 chiffres au rang 6
147258 et
183654
les deux ont un prolongement multiple de 7
1472583
1836548 à éliminé car double 8
reste donc
1472583..0 ( les 2 . ne pouvant être que 6 et 9 )

res : 1472583690

désolé pour le coté bourrin ( calculette par moment )

[ansset]

ajustement, correction ( imprécision sur la fin )

 Cliquez pour afficher

.....avec tout ça , et par élimination il ne me reste que 4 nombres au rang 6
123654
129456
147258
183654
un seul a un prolongement multiple de 7, sans récurrence
1472583
reste donc
1472583..0 ( les 2 . ne pouvant être que 6 et 9 )

res : 1472583690

[iharmed]

Bonjour
Première réflexion.
Le nombre est divisible par 10
Donc le dernier chiffre est zéro
Il reste nombre avec 9 chiffres de 1 à 9

[iharmed]

Bonjour
Deuxième réflexion.
Le chiffres classés 2, 4, 6 et 8 sont paires car le nombre correspondant est divisible par (2 ou 4 ou 6 ou 8) le zéro est déjà éliminé

[iharmed]

Bonjour
Troisième réflexion.
Le chiffre classé 5 est 5 car le nombre correspondant est divisible par 5 le zéro est déjà éliminé

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[mike.p]

Bonjour
Deuxième réflexion.
Le chiffres classés 2, 4, 6 et 8 sont paires car le nombre correspondant est divisible par (2 ou 4 ou 6 ou 8) le zéro est déjà éliminé

il faudrait spoiler

 Cliquez pour afficher

je trouve 3816547290

n0: 0 , obligatoire
n5: 5 , de 5 ou 0 mais 0 est pris
n2,n4,n6,n8: 2 4 6 8 , pairs nécessairement
n1,n3,n7,n9: 1 3 7 9 , les 4 pairs pris, 0 et 5 pris, il ne reste que ces 4 impairs
n1+n2+n3 // , doit être divisible par 3
n1+n2+n3+n4+n5+n6 , doit être divisible par 3 et pair
n4+n5+n6 , doit être divisible par 3
n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7+n8+n9 , doit être divisible par 9
n7+n8+n9 , doit être divisible par 3

n4+n6+5 doit être divisible par 3 ; voyons sa valeur pour tous les couples (n4,n6)

	2	4	6
4	11
6	13	15
8	15	17	19

n4,n6: {4 , 6 } ou bien { 2 , 8 }

============================== ====
n1+n2+n3 // 3
n7+n8+n9 // 3

somme n7+n9 ou n1+n3

	1	3	7
3	4
7	8	10
9	10	12	16

possibles ajouts pour n1,n3 et n7,n9 : 2,4,8

valeurs possibles de n2 et n8 pour n1,n3 et n7,n9

	1		3		7
3	2,8
7	4		2,8
9	2,8		-		2,8

Impossibles paires n1,n3 et n7,n9 : 3,9 et par conséquent 1,7

(n1,n3) (n7,n9): ( ( {3,1} ou {3,7} ou {9,7} ou {9,1} ) avec ( 2 ou 8 ) )


ce qui exclue le 4, reportons le dans le résultat précédent
donc
n4,n6: {4 , 6 } ou bien { 2 , 8 }
devient
n4,n6: {4 , 6 } ordre inconnu

xxy4 n'est jamais divisible par 4 si y est impair, or y est impair
d'autre part
n7*10+n8 doit à minima être divisible par 4. Or il termine par 2 ou 8 et n7 est impair. Donc n8=2, donc n2=8

n6 n7 + n8/2 divisible par 4.
40+ n7 + 2/2 divisible par 4.
4[n7] + 1 divisible par 4

		1		3		7		9
41+n7	42		44		48		50
divis			ok		ok

(n1,n3) (n7,n9): ( ( {3,1} ou {3,7} ou {9,7} ou {9,1} ) avec ( 2 ou 8 ) ) devient
n2: 8
n8: 2
(n1,n3): {3,1} ou {3,7} ou {9,7} ou {9,1}
(n7,n9): {3,1} ou {3,7} ou {9,7}
toujours dans le désordre

donc
n2: 8
n4: 6
n6: 4
n5: 5
n8: 2
n10: 0
n7: 3,7
(n1,n3): {3,1} ou {3,7} ou {9,7} ou {9,1} désordre
(n7,n9): {3,1} ou {3,7} ou {7,3} ou {7,9} ordre

Ce qui laisse 8 solutions
9876543210,9876541230,78965432 10,7896541230,3816549270,38165 47290,1836549270,1836547290

Après test, c'est 3816547290 qui fonctionne.
Je vais voir si il y a moyen de ne pas en tester 8

[iharmed]

Bonjour
quatrième réflexion.
Le chiffre classé 4 il est paire et différent de 4 et de 8 car dans le nombre correspondant si le dernier chiffre est 4 ou 8 il est précédé par un chiffre impaire (14, 18, 34, 38, 54, 58, 74 78 et 98 94) ne sont pas divisible par 4 et par 8, donc le chiffre classé 4 est différent de 4 et de 8 il lui reste 2 ou 6

[Juzo]

Bonjour iharmed, il faudrait mettre vos réflexions en spoiler

[mike.p]

Pour compléter ma réponse précédente et réduire le nombre de nombres à tester entièrement :

 Cliquez pour afficher

On peut utiliser la divisibilité par 7 mais c'est lourd pour conclure finalement ( voir + bas la construction du modulo 7 tenant compte des valeurs déjà connues )
- nous savons que n7 = 3 ou n7 = 7.
- le nombre modulo 7 jusqu'au 7 e chiffre est : n1+4*n3+n7 ( la constante à ce stade 806540 est divisible par 7 )
- que si n7=3 alors n1=7 et n3=1 et donc n9=9
- sinon , donc si n7=7 alors n1=3 et n3=1 et donc n9=9
or si n1=7, n2=8, n3 = 1 on a n1+n2+n3 = 16 qui n'est pas divisible par 3
donc n7=7, n1=3 , n3=1 et donc n9=9
donc n = 3816547290

n1+4*n3		1		3		7
3		7		
7		11		19		
9		13		-		37

n1+4*n3+3	1		3		7
3		10		
7		(14)		22
9		16		-		40

n1+4*n3+7	1		3		7
3		(14)		
7		28		26
9		20		-		44

[iharmed]

Bonjour iharmed, il faudrait mettre vos réflexions en spoiler

bonjour
désolé, j'ai confondu spoiler par smiley, j'en est mis à 2 reprises.

en plus je ne sais pas faire en spoiler

[ansset]

c'est une balise.
du type
[MOT].... le texte.....[/MOT]
avec le MOT=SPOILER

ps, je n'ai plus moi même aucune balise automatique sur mes pages !
donc je les tape à la main.
d'où ça vient ?

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[JPL]

Vide le cache de ton navigateur et recharge la page.

[Médiat]

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

Je suis arrivé avec des vraies "astuces" à descendre à 96 cas, avec des calculs simples et rapides à une vingtaine de cas, mais je ne vois pas de vraie astuce permettant d'arriver à 10 cas ...

[mike.p]

Salut Mediat,

que voulez vous dire par "des cas" ?

[Médiat]

Bonjour mike.p

Juste des prétendants à être solution, qu'il faut éliminer (sauf 1 )

[mike.p]

Je propose une solution qui en laisse 8 dans un premier temps. Mais la divisibilité la moins utilisée en général finit le travail, il n'en reste qu'une.

J'y parviens en utilisant toutes les règles de div sans exception et celles sur les derniers chiffres possibles après des opérations simples.
Cf mes 2 derniers messages ; c'est un peu brouillon ...
Qu'en pensez vous ?
Il n'est pas impossible qu'il y ait des fautes mineures mais qui n'ont pas empêché l'obtention du résultat vérifié par "10" divisions. Ceci dit, rien d'astucieux, il faut juste un jeu de patience ...

[ansset]

je ne vois pas non plus d'asctuce pour descendre très bas.

 Cliquez pour afficher

avec ma "résolution" présentée au post #6 ( corrigée par le # 9).
j'obtient manuellement mais assez vite:
5 sol au rang 2 ( 2 premiers chiffres, évident )
15 sol au rang 3
23 sol au rang 4
12 au rang 5 ( ça diminue )
4 au rang 6
et la je sors ma calculette pour la division par 7.

je pars donc à la recherche d'astuces...
pas encore ouvert aucun spoiler, donc diff de savoir qui est optimal à cet instant.
Cdt

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[Juzo]

Bonjour, les ''astuces'' dont je parlais correspondent seulement à des critères de divisibilité

[mike.p]

Bonjour, les ''astuces'' dont je parlais correspondent seulement à des critères de divisibilité

J'ai essayé en ajoutant 11, ca ne marche pas. Or il n'y a qu'une solution de 1 à 10.

Vous pourriez généraliser la question à d'autres bases de numérotation pour savoir si c'est exceptionnel d'avoir une solution. S'il n'y avait qu'une seule solution exactement pour chaque base, la suite serait remarquable

Des pistes ? Ou bien faut il avant le faire dans une autre base ?

[Juzo]

Des pistes ? Ou bien faut il avant le faire dans une autre base ?

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Inutile de le faire sur une autre base. Il faut bien raisonner sur la divisibilité, iharmed était sur la bonne voie

[mike.p]

conseils pour y arriver

je l'ai resolu hier , vous n'avez pas vu ? en tous les cas, il y a un résultat qui vérifie les consignes

[ansset]

sisi, j'avais vu.
du coup j'ai vu ou j'avais fait une erreur moi-même.

[Médiat]

Vous pourriez généraliser la question à d'autres bases de numérotation pour savoir si c'est exceptionnel d'avoir une solution.

Base 2 : 10
Base 3 : pas de solution
Base 4 : 1230 ou 3210