Le nombre auquel je pense comporte 10 chiffres, et s'écrit avec tous les chiffres de 0 à 9.
De plus quand je prend les n premiers chiffres de ce nombre, j'obtiens un nombre divisible par n.
Que est le nombre auquel je pense ? ( n'oubliez pas les spoilers)
-----
Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne verront jamais
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07/07/2016, 15h24
#2
Médiat
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Re : Le nombre auquel je pense
Bonjour,
Une réflexion rapide montre
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qu'il existe 576 cas à étudier, donc la force brute peut donner la réponse facilement, mais existe-t-il une astuce magique ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
07/07/2016, 15h26
#3
Deedee81
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Re : Le nombre auquel je pense
Salut,
EDIT croisement avec Mediat qui s'est fait la même réflexion
Je l'ai. Mais je l'ai obtenu grâce à un programme (dont je ne suis pas l'auteur, j'ai été voir sur le net ). Mais je ne le donne pas car :
- pour éviter d'être tenté de regarder (même avec le spoiler)
- pour voir si quelqu'un trouve une méthode manuelle (et donc avec un ordi qui fait la recherche à notre place)
Keep it simple stupid
07/07/2016, 15h27
#4
Juzo
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Re : Le nombre auquel je pense
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oui, par astuce on peut réduire à 10 cas puis enfin à 1
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A voir en vidéo sur Futura
07/07/2016, 15h28
#5
vgondr98
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Re : Le nombre auquel je pense
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C'est moi ou ton énoncé est bancal?
Tu penses à 1234567890. En effet, si tu prend le 1 premier chiffre de ce nombre, tu obtiens 1 que tu peux diviser par 1, le résultat vaut 1.
Si tu prend les 2 premiers chiffres de ce nombre, tu obtiens 12 que tu peux diviser par 2, le résultat vaut 6.
Si tu prend les 3 premiers chiffres de ce nombre, tu obtiens 123 que tu peux diviser par 3, le résultat vaut 41.
Si tu prends les 4 premiers chiffres de ce nombre, tu obtiens 1234 que tu peux diviser par 4, le résultat vaut 308.5.
Si tu prends les 5 premiers chiffres de ce nombre, tu obtiens 12345 que tu peux diviser par 5, le résultat vaut 2469.
Si tu prends les 6 premiers chiffres de ce nombre, tu obtiens 123456 que tu peux diviser par 6, le résultat vaut 20576.
Si tu prends les 7 premiers chiffres de ce nombre, tu obtiens 1234567 que tu peux diviser par 7, le résultat vaut 1234567/7.
Si tu prends les 8 premiers chiffres de ce nombre, tu obtiens 12345678 que tu peux diviser par 8, le résultat vaut 1543209.75
Si tu prends les 9 premiers chiffres de ce nombre, tu obtiens 123456789 que tu peux diviser par 9, le résultat vaut 1371421.
Si tu prends les 10 premiers chiffres de ce nombre, tu obtiens 1234567890 que tu peux diviser par 10, le résultat vaut 123456789.
Je pense qu'il y a une différence entre ne pas être divisible et donner une division entière.
07/07/2016, 15h53
#6
Deedee81
Modérateur
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Re : Le nombre auquel je pense
Oui, la division doit être entière et sans reste. Et la solution est bien unique.
Keep it simple stupid
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07/07/2016, 16h43
#7
mike.p
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Re : Le nombre auquel je pense
Salut Deedee,
merci ! j'allais écrire une bêtise ...
tu n'as pas spoilé cette bonne indication ! après en avoir déterminé 2 et 1/2, j'étais tombé sur une contradiction pour le 4 : il y a donc une solution
bon, ce sera à déduire de la difficulté de la question ... en ce qui me concerne. Tu peux aussi spoiler l'indication et virer ce message
je reviens bientôt avec une proposition et le cheminement qui y mène ( si je trouve )
quand on ne sait pas, il faut demander
07/07/2016, 17h19
#8
ansset
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Re : Le nombre auquel je pense
Cliquez pour afficher
approche à moitié bourrine.
j'appelle ce chiffre :abcdefghij
a=1
j=0
b pair
a+b+c multiple de 3
cd multiple de 4
e=5
a+b+c+d+e+f multiple de 3 et pair
et aucun chiffre récurrent.
avec tout ça , et par élimination il ne me reste que 4 chiffres au rang 6
147258 et
183654
les deux ont un prolongement multiple de 7
1472583
1836548 à éliminé car double 8
reste donc
1472583..0 ( les 2 . ne pouvant être que 6 et 9 )
res : 1472583690
désolé pour le coté bourrin ( calculette par moment )
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
07/07/2016, 17h33
#9
ansset
Animateur Mathématiques
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Re : Le nombre auquel je pense
ajustement, correction ( imprécision sur la fin )
Cliquez pour afficher
.....avec tout ça , et par élimination il ne me reste que 4 nombres au rang 6
123654
129456
147258
183654
un seul a un prolongement multiple de 7, sans récurrence
1472583
reste donc
1472583..0 ( les 2 . ne pouvant être que 6 et 9 )
res : 1472583690
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
07/07/2016, 18h14
#10
iharmed
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Re : Le nombre auquel je pense
Bonjour
Première réflexion.
Le nombre est divisible par 10
Donc le dernier chiffre est zéro
Il reste nombre avec 9 chiffres de 1 à 9
07/07/2016, 18h20
#11
iharmed
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juillet 2014
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880
Re : Le nombre auquel je pense
Bonjour
Deuxième réflexion.
Le chiffres classés 2, 4, 6 et 8 sont paires car le nombre correspondant est divisible par (2 ou 4 ou 6 ou 8) le zéro est déjà éliminé
07/07/2016, 18h24
#12
iharmed
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880
Re : Le nombre auquel je pense
Bonjour
Troisième réflexion.
Le chiffre classé 5 est 5 car le nombre correspondant est divisible par 5 le zéro est déjà éliminé
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07/07/2016, 19h41
#13
mike.p
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961
Re : Le nombre auquel je pense
Envoyé par iharmed
Bonjour
Deuxième réflexion.
Le chiffres classés 2, 4, 6 et 8 sont paires car le nombre correspondant est divisible par (2 ou 4 ou 6 ou 8) le zéro est déjà éliminé
il faudrait spoiler
Cliquez pour afficher
je trouve 3816547290
n0: 0 , obligatoire
n5: 5 , de 5 ou 0 mais 0 est pris
n2,n4,n6,n8: 2 4 6 8 , pairs nécessairement
n1,n3,n7,n9: 1 3 7 9 , les 4 pairs pris, 0 et 5 pris, il ne reste que ces 4 impairs
n1+n2+n3 // , doit être divisible par 3
n1+n2+n3+n4+n5+n6 , doit être divisible par 3 et pair
n4+n5+n6 , doit être divisible par 3
n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7+n8+n9 , doit être divisible par 9
n7+n8+n9 , doit être divisible par 3
n4+n6+5 doit être divisible par 3 ; voyons sa valeur pour tous les couples (n4,n6)
Impossibles paires n1,n3 et n7,n9 : 3,9 et par conséquent 1,7
(n1,n3) (n7,n9): ( ( {3,1} ou {3,7} ou {9,7} ou {9,1} ) avec ( 2 ou 8 ) )
ce qui exclue le 4, reportons le dans le résultat précédent
donc
n4,n6: {4 , 6 } ou bien { 2 , 8 }
devient
n4,n6: {4 , 6 } ordre inconnu
xxy4 n'est jamais divisible par 4 si y est impair, or y est impair
d'autre part
n7*10+n8 doit à minima être divisible par 4. Or il termine par 2 ou 8 et n7 est impair. Donc n8=2, donc n2=8
n6 n7 + n8/2 divisible par 4.
40+ n7 + 2/2 divisible par 4.
4[n7] + 1 divisible par 4
Code:
1 3 7 9
41+n7 42 44 48 50
divis ok ok
(n1,n3) (n7,n9): ( ( {3,1} ou {3,7} ou {9,7} ou {9,1} ) avec ( 2 ou 8 ) ) devient
n2: 8
n8: 2
(n1,n3): {3,1} ou {3,7} ou {9,7} ou {9,1}
(n7,n9): {3,1} ou {3,7} ou {9,7}
toujours dans le désordre
donc
n2: 8
n4: 6
n6: 4
n5: 5
n8: 2
n10: 0
n7: 3,7
(n1,n3): {3,1} ou {3,7} ou {9,7} ou {9,1} désordre
(n7,n9): {3,1} ou {3,7} ou {7,3} ou {7,9} ordre
Ce qui laisse 8 solutions
9876543210,9876541230,78965432 10,7896541230,3816549270,38165 47290,1836549270,1836547290
Après test, c'est 3816547290 qui fonctionne.
Je vais voir si il y a moyen de ne pas en tester 8
quand on ne sait pas, il faut demander
07/07/2016, 19h50
#14
iharmed
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juillet 2014
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880
Re : Le nombre auquel je pense
Bonjour
quatrième réflexion.
Le chiffre classé 4 il est paire et différent de 4 et de 8 car dans le nombre correspondant si le dernier chiffre est 4 ou 8 il est précédé par un chiffre impaire (14, 18, 34, 38, 54, 58, 74 78 et 98 94) ne sont pas divisible par 4 et par 8, donc le chiffre classé 4 est différent de 4 et de 8 il lui reste 2 ou 6
Dernière modification par iharmed ; 07/07/2016 à 19h53.
08/07/2016, 00h17
#15
Juzo
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janvier 2016
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539
Re : Le nombre auquel je pense
Bonjour iharmed, il faudrait mettre vos réflexions en spoiler
08/07/2016, 00h18
#16
mike.p
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avril 2006
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961
Re : Le nombre auquel je pense
Pour compléter ma réponse précédente et réduire le nombre de nombres à tester entièrement :
Cliquez pour afficher
On peut utiliser la divisibilité par 7 mais c'est lourd pour conclure finalement ( voir + bas la construction du modulo 7 tenant compte des valeurs déjà connues )
- nous savons que n7 = 3 ou n7 = 7.
- le nombre modulo 7 jusqu'au 7 e chiffre est : n1+4*n3+n7 ( la constante à ce stade 806540 est divisible par 7 )
- que si n7=3 alors n1=7 et n3=1 et donc n9=9
- sinon , donc si n7=7 alors n1=3 et n3=1 et donc n9=9
or si n1=7, n2=8, n3 = 1 on a n1+n2+n3 = 16 qui n'est pas divisible par 3
donc n7=7, n1=3 , n3=1 et donc n9=9
donc n = 3816547290
Dernière modification par mike.p ; 08/07/2016 à 00h22.
quand on ne sait pas, il faut demander
08/07/2016, 00h31
#17
iharmed
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880
Re : Le nombre auquel je pense
Envoyé par Juzo
Bonjour iharmed, il faudrait mettre vos réflexions en spoiler
bonjour
désolé, j'ai confondu spoiler par smiley, j'en est mis à 2 reprises.
en plus je ne sais pas faire en spoiler
08/07/2016, 00h37
#18
ansset
Animateur Mathématiques
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Re : Le nombre auquel je pense
c'est une balise.
du type
[MOT].... le texte.....[/MOT]
avec le MOT=SPOILER
ps, je n'ai plus moi même aucune balise automatique sur mes pages !
donc je les tape à la main.
d'où ça vient ?
Dernière modification par ansset ; 08/07/2016 à 00h38.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
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08/07/2016, 00h55
#19
JPL
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Re : Le nombre auquel je pense
Vide le cache de ton navigateur et recharge la page.
Rien ne sert de penser, il faut réfléchir avant - Pierre Dac
08/07/2016, 09h35
#20
Médiat
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Re : Le nombre auquel je pense
Bonjour,
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Je suis arrivé avec des vraies "astuces" à descendre à 96 cas, avec des calculs simples et rapides à une vingtaine de cas, mais je ne vois pas de vraie astuce permettant d'arriver à 10 cas ...
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
08/07/2016, 10h18
#21
mike.p
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Re : Le nombre auquel je pense
Salut Mediat,
que voulez vous dire par "des cas" ?
quand on ne sait pas, il faut demander
08/07/2016, 10h36
#22
Médiat
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Re : Le nombre auquel je pense
Bonjour mike.p
Juste des prétendants à être solution, qu'il faut éliminer (sauf 1 )
Je suis Charlie.
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08/07/2016, 11h10
#23
mike.p
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Re : Le nombre auquel je pense
Je propose une solution qui en laisse 8 dans un premier temps. Mais la divisibilité la moins utilisée en général finit le travail, il n'en reste qu'une.
J'y parviens en utilisant toutes les règles de div sans exception et celles sur les derniers chiffres possibles après des opérations simples.
Cf mes 2 derniers messages ; c'est un peu brouillon ...
Qu'en pensez vous ?
Il n'est pas impossible qu'il y ait des fautes mineures mais qui n'ont pas empêché l'obtention du résultat vérifié par "10" divisions. Ceci dit, rien d'astucieux, il faut juste un jeu de patience ...
quand on ne sait pas, il faut demander
08/07/2016, 11h11
#24
ansset
Animateur Mathématiques
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Re : Le nombre auquel je pense
je ne vois pas non plus d'asctuce pour descendre très bas.
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avec ma "résolution" présentée au post #6 ( corrigée par le # 9).
j'obtient manuellement mais assez vite:
5 sol au rang 2 ( 2 premiers chiffres, évident )
15 sol au rang 3
23 sol au rang 4
12 au rang 5 ( ça diminue )
4 au rang 6
et la je sors ma calculette pour la division par 7.
je pars donc à la recherche d'astuces...
pas encore ouvert aucun spoiler, donc diff de savoir qui est optimal à cet instant.
Cdt
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08/07/2016, 14h56
#25
Juzo
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Re : Le nombre auquel je pense
Bonjour, les ''astuces'' dont je parlais correspondent seulement à des critères de divisibilité
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08/07/2016, 15h47
#26
mike.p
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Re : Le nombre auquel je pense
Envoyé par Juzo
Bonjour, les ''astuces'' dont je parlais correspondent seulement à des critères de divisibilité
J'ai essayé en ajoutant 11, ca ne marche pas. Or il n'y a qu'une solution de 1 à 10.
Vous pourriez généraliser la question à d'autres bases de numérotation pour savoir si c'est exceptionnel d'avoir une solution. S'il n'y avait qu'une seule solution exactement pour chaque base, la suite serait remarquable
Des pistes ? Ou bien faut il avant le faire dans une autre base ?
Dernière modification par mike.p ; 08/07/2016 à 15h49.
Motif: mémoire out 2 fois
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08/07/2016, 17h10
#27
Juzo
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janvier 2016
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539
Re : Le nombre auquel je pense
Envoyé par mike.p
Des pistes ? Ou bien faut il avant le faire dans une autre base ?
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Inutile de le faire sur une autre base. Il faut bien raisonner sur la divisibilité, iharmed était sur la bonne voie
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08/07/2016, 17h44
#28
mike.p
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avril 2006
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Re : Le nombre auquel je pense
Envoyé par Juzo
conseils pour y arriver
je l'ai resolu hier , vous n'avez pas vu ? en tous les cas, il y a un résultat qui vérifie les consignes
quand on ne sait pas, il faut demander
08/07/2016, 20h27
#29
ansset
Animateur Mathématiques
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Re : Le nombre auquel je pense
sisi, j'avais vu.
du coup j'ai vu ou j'avais fait une erreur moi-même.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
09/07/2016, 13h07
#30
Médiat
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Re : Le nombre auquel je pense
Envoyé par mike.p
Vous pourriez généraliser la question à d'autres bases de numérotation pour savoir si c'est exceptionnel d'avoir une solution.
Base 2 : 10
Base 3 : pas de solution
Base 4 : 1230 ou 3210
Je suis Charlie.
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