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Deux points dans un carré



  1. #1
    Juzo

    Deux points dans un carré


    ------

    Bonjour,

    Si je considère un carré plein de côté 1, quelle est la distance moyenne entre deux points du carré ? (Il faut considérer aussi les points situés à l'intérieur du carré)


    Questions subsidiaires pour la suite :
    1 : et si l'on considère seulement les bords du carré ? J'ai une petite idée de la méthode mais je ne l'ai pas calculé.
    2 (par curiosité) : On obtient quoi si l'on trace le nombre de paires de points distants de x en fonction de la distance x ?

    -----
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne verront jamais

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  3. #2
    Juzo

    Re : Deux points dans un carré

    La question subsidiaire 2 était mauvaise.

    Je la remplace par : Que dire du nombre de paires de distance 1 par rapport au nombre de paires de distance 0.05 ?
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne verront jamais

  4. #3
    Médiat

    Re : Deux points dans un carré

    Citation Envoyé par Juzo Voir le message
    La question subsidiaire 2 était mauvaise.

    Je la remplace par : Que dire du nombre de paires de distance 1 par rapport au nombre de paires de distance 0.05 ?
    Quelque chose doit m'échapper parce que telle que je comprends la question, la réponse est évidente : quelque soit le rayon , c'est le même :
    Dernière modification par Médiat ; 07/07/2016 à 15h48.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    mike.p

    Re : Deux points dans un carré

    Salut,

    ce n'est pas vraiment une énigme mais plutôt une question de maths, du genre si la formule n'est pas vérifiée dans une simulation ou bien sans cachet d'aspirine, on n'est pas sûr du résultat ...

     Cliquez pour afficher
    quand on ne sait pas, il faut demander

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    mike.p

    Re : Deux points dans un carré

    Salut,

    A propos du spoiler précédent : la 1ere formule n'aurait jamais du passer le stade du brouillon. La seconde est la bonne mais elle gagnerait à être simplifiée. Sa résolution manuelle est difficile mais un logiciel confirme à peu près le Monte-Carlo. Bon exercice pour comprendre les répartitions uniformes. Il faudrait faire la même chose avec d'autres figures que le carré ...
    quand on ne sait pas, il faut demander

  8. #6
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Deux points dans un carré

    bonjour à vous deux:
    @Juzo:
    est ce du pur calcul mathématique, même avec subtilité, ou bien peut on chercher une astuce pour éviter un truc un peu infernal ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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  10. #7
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Deux points dans un carré

     Cliquez pour afficher
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  11. #8
    mike.p

    Re : Deux points dans un carré

    Re bonjour,

    Cette question fait penser aux problèmes d'allumettes et leurs applications ...

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Quelque chose doit m'échapper parce que telle que je comprends la question, la réponse est évidente : quelque soit le rayon , c'est le même :
    je ne comprends pas ce résultat. Pourriez vous svp l'expliciter ?

    De ce que j'en ai compris, ça revient à calculer le rapport des probabilités d'avoir le 2e point à l'interieur du carré. Je trouve 1 dans le plan et pour le carré, il y a un effet de bords. Seuls les points situés à moins de la distance critique du bord vont provoquer des pertes. Il va falloir intégrer des rapports de surfaces et de périmètres , pas très très symétriques, ce n'est qu'un carré...

    @Juzo
    Il me manque une petite motivation pour me lancer dans les détails. Faudrait construire un cheminement énigmatique
    quand on ne sait pas, il faut demander

  12. #9
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Deux points dans un carré

    @mike:
    tu peux regarder mon spoiler, qui n'est pas une résolution mais une proposition d'astuce.... ( direction d'astuce plutôt )
    j'aimerai ton avis.
    Dernière modification par ansset ; 08/07/2016 à 13h08.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  13. #10
    Médiat

    Re : Deux points dans un carré

    Citation Envoyé par mike.p Voir le message
    De ce que j'en ai compris, ça revient à calculer le rapport des probabilités d'avoir le 2e point à l'interieur du carré.
    Un rapport de mesure n'est pas "le nombre de paires de points ", dans les conditions que j'ai données, il y a toujours au moins un point à la distance x d'un arc de cercle, ergo
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #11
    mike.p

    Re : Deux points dans un carré

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    @mike:
    tu peux regarder mon spoiler, qui n'est pas une résolution mais une proposition d'astuce.... ( direction d'astuce plutôt )
    j'aimerai ton avis.
    j'avoue ne pas bien comprendre mais j'y retourne ...

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Un rapport de mesure n'est pas "le nombre de paires de points ", dans les conditions que j'ai données, il y a toujours au moins un point à la distance x d'un arc de cercle, ergo
    oui bien sûr ... je n'avais pas bien compris la question visiblement ... merci
    quand on ne sait pas, il faut demander

  15. #12
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Deux points dans un carré

    résultat obtenu avec astuce pressentie ( si méthode et calcul correct )
     Cliquez pour afficher
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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  17. #13
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Deux points dans un carré

    Citation Envoyé par mike.p Voir le message
    j'avoue ne pas bien comprendre mais j'y retourne ...
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    Dernière modification par ansset ; 08/07/2016 à 13h35.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  18. #14
    Médiat

    Re : Deux points dans un carré

    Bonjour,

    D'abord, j'ai peur que cette question ne soit candidate au paradoxe de Bertrand, donc si vous voulez faire une démonstration, il faut être extrêmement vigilant, surtout si une symétrie est utilisée.

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par Médiat ; 08/07/2016 à 14h54.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  19. #15
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Deux points dans un carré

    correction ( faute de frappe ) du post 12:
     Cliquez pour afficher


    mais vu le mess de Médiat, je vais peut être revoir ma copie.
    je ne connais pas le paradoxe de Bertrand !!
    et j'aimerai comprendre si j'ai fait une erreur logique.
    Dernière modification par ansset ; 08/07/2016 à 15h03.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  20. #16
    mike.p

    Re : Deux points dans un carré

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    @mike:
    tu peux regarder mon spoiler, qui n'est pas une résolution mais une proposition d'astuce.... ( direction d'astuce plutôt )
    j'aimerai ton avis.
    ah oui ! ça permettait de n'intégrer que sur x,y, en calculant directement 2 densités de probabilités.
    En effet, ça rendrait l'intégrale nettement moins incalculable à la main.
    ( 2 ( 1-x) ) ??? c'est ça ?
    Dernière modification par mike.p ; 08/07/2016 à 15h09.
    quand on ne sait pas, il faut demander

  21. #17
    mike.p

    Re : Deux points dans un carré

    je valide parfois tardivement , en décalage avec les dernières réponses. Désolé.

    Le paradoxe de Bertrand nous guette tout le temps en probabilités ... Des fois, on ne s'en rend pas compte car c'est justement la configuration physique qu'on cherche à simuler, ça tombe juste et on continue

    @Mediat : quelles sont les constructions alternatives ici ?

    @Anset, ton idée est bonne mais il faut faire attention au montage. Il reste à introduire 2 dp dans la formule fausse de mon premier post ( ma seconde formule à intégrale quadruple n'est plus visible, encore problème latex ). En les multipliant tout simplement ?
    quand on ne sait pas, il faut demander

  22. #18
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Deux points dans un carré

    @mike:
    je sais déjà que mes calculs sont faux.
     Cliquez pour afficher


    sinon, la méthode devrait aboutir, je pense, car je ne vois pas de biais.
    Dernière modification par ansset ; 08/07/2016 à 16h40.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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  24. #19
    Juzo

    Re : Deux points dans un carré

    Citation Envoyé par mike.p
    Sa résolution manuelle est difficile
    Citation Envoyé par ansset
    est ce du pur calcul mathématique, même avec subtilité, ou bien peut on chercher une astuce pour éviter un truc un peu infernal ?
    Bonjour,
    c'est du pur calcul mais on peut utiliser une astuce classique sur les coordonnées pour simplifier ce calcul.
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne verront jamais

  25. #20
    Juzo

    Re : Deux points dans un carré

    Indice

     Cliquez pour afficher
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne verront jamais

  26. #21
    mike.p

    Re : Deux points dans un carré

    @Anset :

    Wolfam c'est juste une super calculette ... De plus, il manque les outils sur le pc perso dont quelques miens. Je ne sais plus intégrer à la main ce genre de fonctions ou alors je mets 2 jours. Il faudrait m'y mettre pour le fun mais pas cet été.

     Cliquez pour afficher


    message de Juzo entre temps : c'est ça alors ...
    Dernière modification par mike.p ; 08/07/2016 à 18h19. Motif: message de Juzo
    quand on ne sait pas, il faut demander

  27. #22
    mike.p

    Re : Deux points dans un carré

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    @mike:
    je sais déjà que mes calculs sont faux.
    sinon, la méthode devrait aboutir, je pense, car je ne vois pas de biais.
    Si, il manque la correction de x et y par leurs densités de probabilités. Ca c'est déjà ma 1ere solution fausse. Comme on échange sous spoiler , c'est difficile de se suivre ... Est ce que ce sujet en nécessite ?

    Dans la continuité des messages précédents dont certains sont cachés, il faut tirer au hasard des paires de points et calculer leurs distances. L'intégration ne donne pas de répartition équiprobable de x et y les différences de coordonnées. Il faut utiliser des fonctions de densités qui , ça tombe bien , sont aussi des fonctions de x et y
    quand on ne sait pas, il faut demander

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