Points dans un carré

[invite705d0470]

Bonsoir, voilà un bon bout de temps que je bloque sur un exercice.
On considère 10 points situés dans un carré de côté a. Il faut montrer .

Même si je n'y arrive pas, j'ai quelques intuitions que je vous soumets:
-le principe de Dirichlet semble parfait pour ce type de démonstration qui fait appel à la distance minimale entre deux points.
-travailler avec un triangle équilatéral de coté ou est une piste que j'ai exploré sans succès.
J'ai montré géométriquement que la configuration minimale de 12 points est un polygone régulier composé de 13 triangles équilatéraux de coté la distance considérée. On "observe" alors que même en enlevant deux points (sommets des triangles) les 10 points restants ne peuvent pas se "compacter" dans le carré de coté a.

Auriez vous quelques idées à me soumettre ?


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[invite34b13e1b]

Salut,

En utilisant le principe des tiroirs de Dirichlet, tu obtiens le résultat.
Ce qu'il faut essayer de faire, c'est partitionner le carré en un nombre inférieur à 10 strictement de carrés: pourquoi pas 9=3*3 carrés. (grosso modo c'est la solution a essayé puisqu'elle se rapproche le plus de 10 donc tu as le plus de chance que ca marche...)

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Tu peux alors conclure en utilisant le principe ci dessus: comme deux points sont obligatoirement dans le même carré, et que la taille du carré est majorée par sqrt(3)/2*a, alors il existe ce qui est demandé.

En espérant avoir été assez brouillon pour être assez simple, et pas trop pour que ca reste compréhensible.

[invite705d0470]

Merci beaucoup !
Au moins avais-je le début d'intuition (travailler avec Dirichlet en essayant de trouver des cases plus petites. Mais je me rends compte que j'ai pris le problème dans le mauvais sens par la suite: j'ai travaille dans des figures géométriques de "bonnes dimensions" que j'essayais ensuite de faire rentrer dans le carre au lieu de partir du carre et de le paver astucieusement !
Merci encore ^^

[inviteea028771]

Ce qui pourrait être intéressant c'est de connaitre exactement la borne supérieure. Est ce que c'est racine(3)/2 ou bien est elle plus petite?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite705d0470]

Intuitivement, je pense qu'elle est plus petite, mais ces derniers temps mon intuition m'a joue de sacres tours, alors je me méfie. Mais tu as raison, je me suis pose la question (c'était aussi un moyen de répondre a la question n'est ce pas) et puis j'ai laisse de cote cette question, en partie parce que je ne sais pas la démarrer !
Une grande difficulté pour moi est de parler de distance de points dans le plan sans savoir ou ils sont, autrement dit d'avoir des conditions suffisantes et nécessaires pour 10 points ...
J'avoue être en manque d'inspiration :/
Mon idée, malgré tout, serait de travailler avec ces fameux triangles équilatéraux, trois points par trois points. Quoique ça ne m'a pas l'air génial non plus !
Mais je suis très intéresse par cette réflexion et j'espère que tu me la feras partager (je veux dire par la que tu m'aideras a aboutir, hors de question de te laisser tout faire, sinon les maths ne servent plus a rien pour moi. La recherche, c'est le mieux ^^)

[invite705d0470]

Personne pour une piste ?