Intégrale généralisée et développement limité

[inviteb412d874]

Bonjour,
je souhaiterais un petit coup de pouce pour un problème :

Soit une fonction définie sur

1) montrer que f est prolongeable par continuité en 0 Ok, j'ai trouver que f est prolongeable en posant

2)en utilisant la formule suivante valable pour tous x>0 : effectuer un développement limité d'ordre 2 de f au voisinage de l'infini.
3)en déduire que est convergente

Je suis bloquer à la 2)... évidement, ce qui m'empêche de répondre à la 3)...mais j'ai mon idée pour la dernière.
Pour la 2), je vois bien que l'équation des arctan et f(t) sont proches, mais je n'arrive pas à établir de lien. J'ai fait des DL de chaque expressions, mais je ne vois où cela me mène.
Merci pour vos coups de pouce.
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[invite34b13e1b]

salut,
On te demande un développement limité de f en l'infini, et f fait intervenir de l'arctan de t.
Or tu connais que le développement limité de l'arctan en 0.
En te servant de la relation proposée, tu devrais pouvoir avancer.

[inviteb412d874]

Bonsoir Cleanmen,
dans mes différentes tentatives, j'ai effectivement utilisé et d'autre aussi que j'ai injecté dans f(t), j'ai aussi à chaque fois changé la variable en pour me ramener à un DL en 0, mais j'arrive à un gros charabia... bon visiblement, je doit être sur la voie. Je vais reprendre tout ce bor***!!!
Merci

[invite34b13e1b]

En faisant le calcul je m'apercois que cette fonction n'est pas très intégrable...
Il doit y avoir un +Pi/(2*...) non?

Le calcul n'est plus très long après: tu développes l'arctan en 0, et dans le second terme tu factorise par 1/t pour développer 1/(1-x) en 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb412d874]

Salut Cleanmen,
j'ai revue ma copie, En posant , et après le DL en 0, j'ai . En revenant à la variable d'origine et avec le critère de Riemann, je peux conclure que l'intégrale converge...non? Par contre, dès lors qu'une intégrale est convergente, il faut la calculer?
En tout cas merci du coup de main!