Développement limité d'une intégrale

[invite3424b43e]

Bonjour à vous

J'ai un petit souci sur cet exercice dont voici l'énoncé :

Soit x strictement positif, montrer que est convergence. On définit f en posant pour tout x strictement positif
Soit n un entier. Donner le DL à l'ordre n de la fonction f en .

Voila ce que j'ai fait. J'ai réussi à montrer qu'elle était convergente, ce n'était pas sorcier. Après j'ai un petit souci à visualiser les variables. Un DL de f en l'infini c'est un DL lorsque x tend vers l'infini donc à x fixé je dois calculer un DL de lorsque t tend vers l'infini, puis intégrer sur x (pour la rigueur j'ai choisi y>x et je travaille sur . Enfin bref, est-ce le bon raisonnement? Dans tous les cas, je n'arrive pas à calculer un DL de cette fraction donc je me dis que mon raisonnement est peut-être faux...

Merci pour votre aide, et bon appétit à ceux qui sont en train de manger
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[invite3424b43e]

Pardon on définit f(x) comme tel!

[Armen92]

Il suffit d'effectuer des intégrations par parties successives pour mettre en évidence un développement en puissances entières de , complété par une intégrale formant le reste, que l'on majore aisément.

[invite3424b43e]

Merci Armen, c'est effectivement bien plus facile et je n'y ai même pas pensé

Bonne soirée!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Armen92]

On ne peut pas penser à tout !

Ravi de vous avoir donné un coup de main, et bonne soirée.

[breukin]

Notons qu'on obtient ce qu'on appelle une série asymptotique, appelée ainsi parce qu'elle est divergente pour tout x.

Pour un x donné, il existe un nombre de termes optimal à la série, mais ne permettant pas d'aller au delà d'une précision incompressible.

[invite3424b43e]

Merci pour cette précision