Developpement limité d'une fonction réciproque

[invitef7fa1aa0]

Bonjour à tous !

Voilà je bloque sur une question de maths :

On me dit que l'on suppose que f est une bijection de |R dans |R qu'on admet de classe C5. Il s'agit de calculer le Développement limité de la fonction réciproque de f ( notée f-1) sachant que la fonction f est définie par

(exp(x²)-1)/x si x différent de 0
0 si x = 0

Son DL en 0 vaut x + (x^3)/2 + (x^5)/6 + o(x^5) quand x->0

Je ne dispose que de ces infos pour déterminer le DL de f-1 en 0 et là j'avoue que je bloque.

J'ai pensé à utiliser la formule (f-1)'=1/(f 'o (f-1)) mais je ne vois pas comment cela pourrait m'aider et comment démontrer cette formule.

Merci d'avance pour votre aide.
Simon
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[God's Breath]

Bonjour,

On me dit que l'on suppose que f est une bijection de |R dans |R qu'on admet de classe C5. Il s'agit de calculer le Développement limité de la fonction réciproque de f ( notée f-1) sachant que la fonction f est définie par

(exp(x²)-1)/x si x différent de 0
0 si x = 0

Son DL en 0 vaut x + (x^3)/2 + (x^5)/6 + o(x^5) quand x->0

Je ne dispose que de ces infos pour déterminer le DL de f-1 en 0 et là j'avoue que je bloque.

Le développement limité de au voisinage de 0 prouve que . Le théorème de la bijection réciproque établit alors que a la même classe de dérivabilité que au voisinage de 0, ici est donc de classe et admet, via la formule de Taylor-Young, et du fait que , un développement limité
au voisinage de 0.

Il suffit d'écrire que et d'utiliser le développement limité de pour obtenir un développement limité de . Par unicité du développement limité, on pourra identifier les coefficients des termes de mêmes degrés et obtenir un système dont la résolution fournira les valeurs de .

Remarque : on peut utiliser la formule de la dérivée de pour établir que . D'autre part, est impaire, donc aussi, et par suite , ce qui simplifie les calculs...

[invitef7fa1aa0]

Bonjour God's Breath,

Je te remercie pour ta réponse, je vais pouvoir continuer mon exercice.

Encore merci et au revoir.
Simon