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Developpement limité d'une fonction réciproque



  1. #1
    Simon8

    Developpement limité d'une fonction réciproque


    ------

    Bonjour à tous !

    Voilà je bloque sur une question de maths :

    On me dit que l'on suppose que f est une bijection de |R dans |R qu'on admet de classe C5. Il s'agit de calculer le Développement limité de la fonction réciproque de f ( notée f-1) sachant que la fonction f est définie par

    (exp(x²)-1)/x si x différent de 0
    0 si x = 0

    Son DL en 0 vaut x + (x^3)/2 + (x^5)/6 + o(x^5) quand x->0

    Je ne dispose que de ces infos pour déterminer le DL de f-1 en 0 et là j'avoue que je bloque.

    J'ai pensé à utiliser la formule (f-1)'=1/(f 'o (f-1)) mais je ne vois pas comment cela pourrait m'aider et comment démontrer cette formule.

    Merci d'avance pour votre aide.
    Simon

    -----

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  3. #2
    God's Breath

    Re : Developpement limité d'une fonction réciproque

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Simon8 Voir le message
    On me dit que l'on suppose que f est une bijection de |R dans |R qu'on admet de classe C5. Il s'agit de calculer le Développement limité de la fonction réciproque de f ( notée f-1) sachant que la fonction f est définie par

    (exp(x²)-1)/x si x différent de 0
    0 si x = 0

    Son DL en 0 vaut x + (x^3)/2 + (x^5)/6 + o(x^5) quand x->0

    Je ne dispose que de ces infos pour déterminer le DL de f-1 en 0 et là j'avoue que je bloque.
    Le développement limité de au voisinage de 0 prouve que . Le théorème de la bijection réciproque établit alors que a la même classe de dérivabilité que au voisinage de 0, ici est donc de classe et admet, via la formule de Taylor-Young, et du fait que , un développement limité
    au voisinage de 0.

    Il suffit d'écrire que et d'utiliser le développement limité de pour obtenir un développement limité de . Par unicité du développement limité, on pourra identifier les coefficients des termes de mêmes degrés et obtenir un système dont la résolution fournira les valeurs de .

    Remarque : on peut utiliser la formule de la dérivée de pour établir que . D'autre part, est impaire, donc aussi, et par suite , ce qui simplifie les calculs...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    Simon8

    Re : Developpement limité d'une fonction réciproque

    Bonjour God's Breath,

    Je te remercie pour ta réponse, je vais pouvoir continuer mon exercice.

    Encore merci et au revoir.
    Simon

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