suite d'irrationnels qui tend vers un réel

[invite335d994e]

Bonjour à tous,
ma question est toute simple : on sait que tout réel est limite d'une suite de rationnels.
Je prends donc une suite a_n d'éléments de Q, avec a_n= p_n / q_n, p_n et q_n étant premiers entre eux pour tout n. Cette suite converge vers un réel, mais que dire des suites p_n et q_n? Peut-on dire que la suite q_n tend vers l'infini?

merci !
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[Médiat]

Bonjour,

Je prends donc une suite a_n d'éléments de Q, avec a_n= p_n / q_n, p_n et q_n étant premiers entre eux pour tout n. Cette suite converge vers un réel, mais que dire des suites p_n et q_n? Peut-on dire que la suite q_n tend vers l'infini?

Non, il suffit de prendre la suite définie par
p_n = 2
q_n = 7

et q_n tend vers 7

[invite335d994e]

je me suis mal exprimé, je considère une suite de rationnels qui tend vers un irrationnel

[Médiat]

je me suis mal exprimé, je considère une suite de rationnels qui tend vers un irrationnel

Dans ce cas : oui.

Si q_n était limité (par q par exemple), et si ton réel est compris entre p/q et (p+1)/q comme il n'y a qu'un nombre fini de rationnels compris entre p/q et (p+1)/q dont le dénominateur est plus petit que q, la suite serait forcément stationnaire au bout d'un moment et donc tenderait vers un rationnel (ou ne serait pas convergente).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite335d994e]

mais on pourrait peut-être avoir deux suites p_n et q_n non bornées, mais qui ne tendent pas vers l'infini? avec des comportements chaotiques par exemple, mais qui se compenseraient mutuellement?

[Médiat]

mais on pourrait peut-être avoir deux suites p_n et q_n non bornées, mais qui ne tendent pas vers l'infini? avec des comportements chaotiques par exemple, mais qui se compenseraient mutuellement?

Par définition de la limite, à partir d'un certain rang, tous les a_n seront dans l'intervalle p/q et (p+1)/q, et il n'y a qu'un nombre fini de rationnels de dénominateur <= q dans cet intervalle. Si dans la suite il y a des quotients qui se répètent une infinité de fois, alors r n'est pas la limite !

[invite335d994e]

en effet oui, de toute façons même si la suite fait un peu n'importe quoi, on se ramène toujours au cas borné...
Merci pour votre réponse