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|| f( x) || tend vers 0 => f (x ) tend vers 0?



  1. #1
    pearl

    || f( x) || tend vers 0 => f (x ) tend vers 0?


    ------

    est-il vrai de dire que

    si || f( x) || tend vers 0 quand x tend vers 0 => f (x ) tend vers 0 quand x tend vers 0?

    Si non, pouvez-vous me donner un contre-exemple?

    Je sais que l'autre sens est vrai, mais ce sens, j'en suis pas sûre...

    Merci

    -----

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  4. #2
    homotopie

    Re : || f( x) || tend vers 0 => f (x ) tend vers 0?

    Merci d'éviter les "urgent" dans les titres !

    Sinon bonjour et bienvenu,
    f(x) tend vers y signifie que llf(x)-yll tend vers 0. Il suffit de remplacer y par 0.

  5. #3
    pearl

    Re : || f( x) || tend vers 0 => f (x ) tend vers 0?

    Merci bien. c'est donc une équivalence.

    || f( x) || tend vers 0 quand x tend vers 0 <=> f (x ) tend vers 0 quand x tend vers 0

  6. #4
    homotopie

    Re : || f( x) || tend vers 0 => f (x ) tend vers 0?

    Oui, ce qui est un cas particulier de l'équivalence dans les espaces normés :
    llf(x)-yll tend vers 0 quand x tend vers x0<=> f(x) tend vers y quand x tend vers x0.

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  8. #5
    NicK..::ili::..

    Smile Re : || f( x) || tend vers 0 => f (x ) tend vers 0?

    Soit f une fonction de R dans R, a et l adherents a R
    Si lim f = l , lim |f|=|l| ( la reciproque est generalement fausse )
    a a


    Mais lim f = 0 si et seulement si lim |f| = 0
    a a

    c'est dans mon cours !!!

  9. #6
    homotopie

    Re : || f( x) || tend vers 0 => f (x ) tend vers 0?

    Citation Envoyé par NicK..::ili::.. Voir le message
    Soit f une fonction de R dans R, a et l adherents a R
    Si lim f = l , lim |f|=|l| ( la reciproque est generalement fausse )
    a a


    Mais lim f = 0 si et seulement si lim |f| = 0
    a a

    c'est dans mon cours !!!
    Je suis bien d'accord
    i) lim lf(x)l=l L l est équivalent à i)' lf(x)l - l L l tend vers 0
    ii) lim f(x)=L est équivalent à ii)' lf(x) - Ll tend vers 0
    ii) ou/et ii)' => i) et i)' mais la réciproque n'est pas vraie.

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