Lemme de Jordan

[james_83]

Bonjour à tous,

J'ai un léger problème sur une application des lemmes de Jordan.

On se donne une fonction f de C dans C holomorphe pour R assez grand.
On veut montrer que son intégrale sur un arc de cercle de centre l'origine tend vers 0 quand R (le rayon de l'arc) tend vers l'infini.

Le corrigé donne (pr une certaine fonction f que je ne précise pas) :
on a z*f(z) tend vers 0 quand |z| tend vers l'infini
ce qui implique R*M(R) tend vers 0 quand R tend vers l'infini (où M(R) est le sup de |f| sur l'arc de cercle).
J'ai du mal à voir facilement cette implication bien qu'elle ait été écrite de manière évidente.

J'ai posé f(z) = f(R, têta)
puis considéré la famille de fonction f(R , .),
z*f(z) tend vers 0 qd |z| tend vers l'infini donc
|z|*|f(z)| tend vers 0 qd |z| tend vers l'infini donc
R*|f(R, têta)| tend vers 0 simplement qd R tend vers l'infini,
mais je ne vois pas pourquoi on aurait convergence uniforme...

Voilà,
Je vous remercie d'avance
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[invite35452583]

R.lf(R,)l tend vers 0 indépendamment de . Donc pour e>0 il existe R' pour lequel R lf(R,)<e dès que R>R'.
Or, on peut majorer l'intégrale par (longueur de l'arc) x (borne sup de f(R,) pour les valeurs de convenables)
La longueur de l'arc =R x angle
Et on peut majorer la borne supérieure par e/R si R est assez grand
Donc lintégralel<e pour R assez grand.
e étant arbitraire l'intégrale converge vers 0.

[james_83]

Merci homotopie de ta réponse, mais ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi
[QUOTE=homotopie;1674555]R.lf(R,)l tend vers 0 indépendamment de
car par hypothèse on a uniquement convergence simple... ( à têta fixé, R.lf(R,)l tends vers 0 qd R tend vers l'infini )

[james_83]

SVP personne ne peut m'aider ?
C'est important !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

car par hypothèse on a uniquement convergence simple... ( à têta fixé, R.lf(R,)l tends vers 0 qd R tend vers l'infini )

Non l'hypothèse est "zf(z) tend vers 0 quand lzl tend vers l'infini" ce qui signifie que pour tout e>0, il existe M tel que lzl>M=>zf(z) est à une distance par rapport à 0 moindre que e (autrement dit lzf(z)l<e ou encore Rlf(R,)l<e).
Exprimer plus explicitement est-ce que tu comprends mieux que c'est bien indépendamment de la valeur de ?

[james_83]

Dans ce cas, cela veut dire que par exemple, si on prend une famille dénombrable de fonctions {f(x)_n} où n est naturel ; et que
f(x)_n tend vers 0 quand n tend vers l'infini (hypothèse analogue à zf(R, têta) -> 0 quand R tend vers l'infini)
alors f(x)_n tend vers 0 indépendamment de la valeur de x quand n tend vers l'infini car pour tout e>0, il existe n0 tel que pour tout n>n0, |f(x)_n|<e pour tout x....
Pourtant, j'ai vu que si c'était le cas, on avait juste convergence simple...

Voilà, désolé encore de vous déranger, mais quelquechose m'échappe, n'est-ce pas correct ce que je viens d'écrire ?

[james_83]

Je sais qu'au fond, mon dernier message est faux... mais j'aimerais savoir pourquoi ?

[invite35452583]

mais quelquechose m'échappe, n'est-ce pas correct ce que je viens d'écrire ?

Oui c'est correct mais ce n'est pas ce que tu as dans le problème posé initialement.
Avec l'hypothèse sur les suites de fonction ci-dessus on a
f(n,x) tend vers 0 quand n tend vers l'infini pour tout x donc pour e>0 il existe n_x, dépendant de x donc, tel que n>n_x => lf(n,x)l<e
Dans le problème initial, quand on explicite on a (on pose g(R,)=Rf(R,) :
g(R,) tend vers 0 quand R tend vers +infini (aucune apparition de ) donc pour tout e>0 il existe R' (ne dépendant pas de ) tel que R>R' => lg(R,)l<e

En espérant que cela éclaircisse.

[james_83]

Oui je vois maintenant, en tout cas, je vous remercie sincèrement.
Vos réponses m'ont bien éclairé.