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Lemme de Jordan



  1. #1
    james_83

    Lemme de Jordan


    ------

    Bonjour à tous,

    J'ai un léger problème sur une application des lemmes de Jordan.

    On se donne une fonction f de C dans C holomorphe pour R assez grand.
    On veut montrer que son intégrale sur un arc de cercle de centre l'origine tend vers 0 quand R (le rayon de l'arc) tend vers l'infini.

    Le corrigé donne (pr une certaine fonction f que je ne précise pas) :
    on a z*f(z) tend vers 0 quand |z| tend vers l'infini
    ce qui implique R*M(R) tend vers 0 quand R tend vers l'infini (où M(R) est le sup de |f| sur l'arc de cercle).
    J'ai du mal à voir facilement cette implication bien qu'elle ait été écrite de manière évidente.

    J'ai posé f(z) = f(R, têta)
    puis considéré la famille de fonction f(R , .),
    z*f(z) tend vers 0 qd |z| tend vers l'infini donc
    |z|*|f(z)| tend vers 0 qd |z| tend vers l'infini donc
    R*|f(R, têta)| tend vers 0 simplement qd R tend vers l'infini,
    mais je ne vois pas pourquoi on aurait convergence uniforme...

    Voilà,
    Je vous remercie d'avance

    -----

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  3. #2
    homotopie

    Re : Lemme de Jordan

    R.lf(R,)l tend vers 0 indépendamment de . Donc pour e>0 il existe R' pour lequel R lf(R,)<e dès que R>R'.
    Or, on peut majorer l'intégrale par (longueur de l'arc) x (borne sup de f(R,) pour les valeurs de convenables)
    La longueur de l'arc =R x angle
    Et on peut majorer la borne supérieure par e/R si R est assez grand
    Donc lintégralel<e pour R assez grand.
    e étant arbitraire l'intégrale converge vers 0.

  4. #3
    james_83

    Re : Lemme de Jordan

    Merci homotopie de ta réponse, mais ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi
    [QUOTE=homotopie;1674555]R.lf(R,)l tend vers 0 indépendamment de
    car par hypothèse on a uniquement convergence simple... ( à têta fixé, R.lf(R,)l tends vers 0 qd R tend vers l'infini )

  5. #4
    james_83

    Re : Lemme de Jordan

    SVP personne ne peut m'aider ?
    C'est important !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    homotopie

    Re : Lemme de Jordan

    Citation Envoyé par james_83 Voir le message
    car par hypothèse on a uniquement convergence simple... ( à têta fixé, R.lf(R,)l tends vers 0 qd R tend vers l'infini )
    Non l'hypothèse est "zf(z) tend vers 0 quand lzl tend vers l'infini" ce qui signifie que pour tout e>0, il existe M tel que lzl>M=>zf(z) est à une distance par rapport à 0 moindre que e (autrement dit lzf(z)l<e ou encore Rlf(R,)l<e).
    Exprimer plus explicitement est-ce que tu comprends mieux que c'est bien indépendamment de la valeur de ?

  8. #6
    james_83

    Re : Lemme de Jordan

    Dans ce cas, cela veut dire que par exemple, si on prend une famille dénombrable de fonctions {f(x)_n} où n est naturel ; et que
    f(x)_n tend vers 0 quand n tend vers l'infini (hypothèse analogue à zf(R, têta) -> 0 quand R tend vers l'infini)
    alors f(x)_n tend vers 0 indépendamment de la valeur de x quand n tend vers l'infini car pour tout e>0, il existe n0 tel que pour tout n>n0, |f(x)_n|<e pour tout x....
    Pourtant, j'ai vu que si c'était le cas, on avait juste convergence simple...

    Voilà, désolé encore de vous déranger, mais quelquechose m'échappe, n'est-ce pas correct ce que je viens d'écrire ?

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  10. #7
    james_83

    Re : Lemme de Jordan

    Je sais qu'au fond, mon dernier message est faux... mais j'aimerais savoir pourquoi ?

  11. #8
    homotopie

    Re : Lemme de Jordan

    Citation Envoyé par james_83 Voir le message
    mais quelquechose m'échappe, n'est-ce pas correct ce que je viens d'écrire ?
    Oui c'est correct mais ce n'est pas ce que tu as dans le problème posé initialement.
    Avec l'hypothèse sur les suites de fonction ci-dessus on a
    f(n,x) tend vers 0 quand n tend vers l'infini pour tout x donc pour e>0 il existe nx, dépendant de x donc, tel que n>nx => lf(n,x)l<e
    Dans le problème initial, quand on explicite on a (on pose g(R,)=Rf(R,) :
    g(R,) tend vers 0 quand R tend vers +infini (aucune apparition de ) donc pour tout e>0 il existe R' (ne dépendant pas de ) tel que R>R' => lg(R,)l<e

    En espérant que cela éclaircisse.

  12. #9
    james_83

    Re : Lemme de Jordan

    Oui je vois maintenant, en tout cas, je vous remercie sincèrement.
    Vos réponses m'ont bien éclairé.

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