convergence uniforme

invite371ae0af · 08/11/2011, 20h00

bonjour,

j'aurai besoin d'aide pour la question b):
soit f une application continue de R dans R telle que pour tout x non nul |f(x)|<|x|
a)soit b,c 2 réels tel que 0<b<c
démontrer qu'il existe un réel k dans [0,1] tel que pour tout x de [b,c], |f(x)|<k|x| (ca c'est bon)

b) on définit la suite (fn) par f1=f et f_n+1=fn o f, justifier que (fn) converge uniformément sur [-c,c] vers une fonction simple

voici ce que j'ai fais: j'ai pris la fonction simple=f

f est continue sur [-c,c] donc elle est uniformément continue sur [-c,c].
donc pour tout $\text{[math]}$ il existe delta>0 tel que pour tout x,y dans [-c,c], |x-y|<delta implique |f(x)-f(y)|< $\text{[math]}$

cela nous donne:
|fn(x)-f(x)|<=|fn(x)-f(y)|+|-f(x)+f(y)|<||fn(x)-f(y)||_oo+ $\text{[math]}$

mais là je n'arrive pas à continuer
de plus mon idée de départ était de montrer que
que pour tout $\text{[math]}$ , il existe N, pour x dans [-c,c], |fn(x)-f(x)< $\text{[math]}$
mais comment prouver l'existence de N?

merci de votre aide

invite6cf1de63 · 09/11/2011, 00h07

Bonjour,

$\text{[math]}$ n'est pas la limite de la suite ( $\text{[math]}$ ). Pour se faire une idée du résultat il est utile d'examiner un cas "simple" tel que celui de la fonction affine $\text{[math]}$ . Quelles sont dans ce cas les fonctions $\text{[math]}$ et quelle en est la fonction limite ?

invite3240c37d · 09/11/2011, 03h37

On montre d'abord que pour tout $\text{[math]}$ il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$
Pour cela on voit que la fonction $\text{[math]}$ est continue sur le compact $\text{[math]}$ , donc son maximum , noté $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ .

Soit maintenant $\text{[math]}$ . Observons :
1) Pour $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$
2)Pour $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$
Il est maintenant facile de voir que pour $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$ .
D'où la conclusion de convergence uniforme ...

invite6cf1de63 · 09/11/2011, 15h01

Le cas 2) est à scinder, car il faut envisager qu'à partir d'un certain rang on se retrouve avec $\text{[math]}$ . On ne peut alors poursuivre avec les puissances de $\text{[math]}$ , mais fort heureusement on retombe alors sur le cas 1).

[...] D'où la conclusion de convergence uniforme ...

EXERCICES et FORUM : Pour ceux qui l'auraient oublié, le but premier de ce forum n'est pas d'être un supermarché où chacun vient avec un énoncé et repart avec une solution, mais plutôt d'engager des discussions et débats scientifiques.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite371ae0af · 09/11/2011, 16h49

merci à vous 2
moi je ne suis pas totalement d'accord avec toi croux,
pourquoi dis tu que fn ne converge pas uniformément vers f?
j'ai pris f comme inconnue donc ca peut être (1/2)x ou autre chose non?

invite6cf1de63 · 09/11/2011, 19h16

pourquoi dis tu que fn ne converge pas uniformément vers f?
j'ai pris f comme inconnue donc ca peut être (1/2)x ou autre chose non?

Si on prend $\text{[math]}$ alors on obtient $\text{[math]}$ . Il parait alors évident que la suite $\text{[math]}$ converge vers la fonction nulle et non pas la fonction $\text{[math]}$ de départ.

La fonction $\text{[math]}$ sert à construire une suite $\text{[math]}$ dont la limite n'est pas la fonction $\text{[math]}$ .

invite371ae0af · 09/11/2011, 19h27

merci pour ton explication

convergence uniforme