convergence uniforme

invite371ae0af · 08/11/2011, 19h00

bonjour,

j'aurai besoin d'aide pour la question b):
soit f une application continue de R dans R telle que pour tout x non nul |f(x)|<|x|
a)soit b,c 2 réels tel que 0<b<c
démontrer qu'il existe un réel k dans [0,1] tel que pour tout x de [b,c], |f(x)|<k|x| (ca c'est bon)

b) on définit la suite (fn) par f1=f et f_n+1=fn o f, justifier que (fn) converge uniformément sur [-c,c] vers une fonction simple

voici ce que j'ai fais: j'ai pris la fonction simple=f

f est continue sur [-c,c] donc elle est uniformément continue sur [-c,c].
donc pour tout $\text{[math]}$ il existe delta>0 tel que pour tout x,y dans [-c,c], |x-y|<delta implique |f(x)-f(y)|< $\text{[math]}$

cela nous donne:
|fn(x)-f(x)|<=|fn(x)-f(y)|+|-f(x)+f(y)|<||fn(x)-f(y)||_oo+ $\text{[math]}$

mais là je n'arrive pas à continuer
de plus mon idée de départ était de montrer que
que pour tout $\text{[math]}$ , il existe N, pour x dans [-c,c], |fn(x)-f(x)< $\text{[math]}$
mais comment prouver l'existence de N?

merci de votre aide

invite6cf1de63 · 08/11/2011, 23h07

Bonjour,

$\text{[math]}$ n'est pas la limite de la suite ( $\text{[math]}$ ). Pour se faire une idée du résultat il est utile d'examiner un cas "simple" tel que celui de la fonction affine $\text{[math]}$ . Quelles sont dans ce cas les fonctions $\text{[math]}$ et quelle en est la fonction limite ?

**MMu** · 09/11/2011, 02h37

On montre d'abord que pour tout $\text{[math]}$ il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$
Pour cela on voit que la fonction $\text{[math]}$ est continue sur le compact $\text{[math]}$ , donc son maximum , noté $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ .

Soit maintenant $\text{[math]}$ . Observons :
1) Pour $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$
2)Pour $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$
Il est maintenant facile de voir que pour $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$ .
D'où la conclusion de convergence uniforme ...

invite6cf1de63 · 09/11/2011, 14h01

Le cas 2) est à scinder, car il faut envisager qu'à partir d'un certain rang on se retrouve avec $\text{[math]}$ . On ne peut alors poursuivre avec les puissances de $\text{[math]}$ , mais fort heureusement on retombe alors sur le cas 1).

[...] D'où la conclusion de convergence uniforme ...

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invite371ae0af · 09/11/2011, 15h49

merci à vous 2
moi je ne suis pas totalement d'accord avec toi croux,
pourquoi dis tu que fn ne converge pas uniformément vers f?
j'ai pris f comme inconnue donc ca peut être (1/2)x ou autre chose non?

invite6cf1de63 · 09/11/2011, 18h16

pourquoi dis tu que fn ne converge pas uniformément vers f?
j'ai pris f comme inconnue donc ca peut être (1/2)x ou autre chose non?

Si on prend $\text{[math]}$ alors on obtient $\text{[math]}$ . Il parait alors évident que la suite $\text{[math]}$ converge vers la fonction nulle et non pas la fonction $\text{[math]}$ de départ.

La fonction $\text{[math]}$ sert à construire une suite $\text{[math]}$ dont la limite n'est pas la fonction $\text{[math]}$ .

invite371ae0af · 09/11/2011, 18h27

merci pour ton explication

convergence uniforme