De convergence normale à convergence uniforme

[invite45ca6d89]

Bonsoir,

J'ai un doute sur une chose et j'ai besoin de vous pour m'éclairer sur ce point.

J'ai un exercice sur les série de fonctions, ou l'on montre que la série est convergente normalement , donc uniformément sur .

Dans la question suivante, on nous demande de montrer que la somme est continue sur R+*....

Dans la correction on dit :

La série de fonction fn converge normalement sur [a, +∞[ donc converge uniformément sur tout segment de ]0, +∞[. Par théorème, la somme S de la série fn est continue sur ]0, +∞[.

Comment passe-t-on d'un intervalle à ]0, +∞[ pour la convergence... Est-ce qu'il saute une étape ou bien on a toujours cette implication ?

Avez-vous besoin de voir l'énoncé ?( j'ai décidé de ne pas le mettre car ma question porte sur l'implication d'une manière générale)

Merci d'avance
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[acx01b]

bonjour,
si pour tout a > 0, P est vraie sur [a;1] alors P est vraie sur ]0;1]

[invite986312212]

pour tout a, [a,1] est fermé mais ]0,1] ne l'est pas. Pour tout a, f(x)=1/x est bornée sur [a,1] mais elle ne l'est pas sur ]0,1]

[acx01b]

effectivement je sentais bien que j'avais écrit n'importe quoi

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

ça arrive aux meilleurs d'entre nous

[Thorin]

Bonsoir,

J'ai un doute sur une chose et j'ai besoin de vous pour m'éclairer sur ce point.

J'ai un exercice sur les série de fonctions, ou l'on montre que la série est convergente normalement , donc uniformément sur .

Dans la question suivante, on nous demande de montrer que la somme est continue sur R+*....

Dans la correction on dit :

La série de fonction fn converge normalement sur [a, +∞[ donc converge uniformément sur tout segment de ]0, +∞[. Par théorème, la somme S de la série fn est continue sur ]0, +∞[.

Comment passe-t-on d'un intervalle à ]0, +∞[ pour la convergence... Est-ce qu'il saute une étape ou bien on a toujours cette implication ?

Avez-vous besoin de voir l'énoncé ?( j'ai décidé de ne pas le mettre car ma question porte sur l'implication d'une manière générale)

Merci d'avance

il ne passe pas d'un intervalle à ]0, +∞[ pour la convergence !
Ta correction dit :
La série de fonction fn converge normalement sur [a, +∞[ donc converge uniformément sur tout segment de ]0, +∞[.

les segments sont de la forme [a,b], autrement dit, il dit que si ca converge normalement sur [a,+infini[, ça converge uniformément sur [a,b], ce qui est trivial puisque normale=>uniforme dans le cas d'un espace complet.

Ensuite, il en déduit que f est continue sur tout segment de ]0,+infini[, et là, on sait qu'une fonction continue sur tout segment de ]0,+infini[ est continue sur cet intervalle...