A propos de limite

[Dlzlogic]

Bonjour,
Ceci est un sujet ludique.
Lu dernièrement :

[...]ensuite pour comprendre comment on arrive à du autant de face que pile sur de longues séries il faut
oublier la différence F - P, la différence de pile et face ne tend pas vers zéro sur le long terme, plus tu lances la pièce plus tu as des chances d'ètre éloigné finalement du zéro (la différence).
L'égalité des face et pile c'est le rapport F/P qui lui tend vers 1.Plus tu augmentes les lancers plus tu vas te rapprocher d'une égalité des face et pile dans le F/P qui va vers 1.

Ceci me semble une nouvelle version du calcul de limite.
Traduction : ce n'est pas du tout le même chose, lorsque X et Y sont grands, de dire |X-Y| tend vers 0 et X/Y tend vers 1.
J'ai vraiment besoin de me recycler.

Une peu plus loin (même sujet) :

Ca doit faire au moins 50 fois que je le dit dans différents posts, mais le point de vue actuel sur la question, chez les mathématiciens en tout cas, c'est que la cervelle du dé est trop petite pour qu'il puisse mémoriser sur quoi il est tombé les coups précédents et en tenir compte pour les tirages futurs.

Pourtant, si on le laisse tomber, le dé, ou la pièce ou n'importe quel autre objet sait qu'il doit tomber vers le bas (cf sujet en cours) Les objets auraient donc lu les travaux de Newton et pas ceux de Bernoulli ?
Bref, beaucoup de thèses de mathématiques en perspective.
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[Deedee81]

Salut,

Ceci est un sujet ludique.

Ehu, oui, mais quel est le sujet en fait ?

A part deux citations (dont une humoristique) et deux petits commentaires, où est le sujet ???? De quoi doit-on discuter ou quelle est l'énigme/jeu/sujet ludique ???

Sinon, je te confirme que ce qui est dit plus haut est parfaitement exact X - Y diverge (pour les pièces équilibrées), et X/Y tend vers 1. C'est bien connu.
Ce que tu peux faire c'est le simuler sur un ordi pour le visualiser (c'est particulièrement facile, par exemple tu génères 10 tirages, 100 tirages, 1000 tirages, etc... et tu affiches X-Y et X/Y).

[Médiat]

Bonjour,

Traduction : ce n'est pas du tout le même chose, lorsque X et Y sont grands, de dire |X-Y| tend vers 0 et X/Y tend vers 1.
J'ai vraiment besoin de me recycler.

Effectivement, c'est urgent ; c'est un exercice de terminale (c'est le B-A-BA de la notion de limite) X = x² + x et Y = x², calculez les limites quand x tend vers l'infini.

[Deedee81]

Effectivement, c'est urgent ; c'est un exercice de terminale (c'est le B-A-BA de la notion de limite) X = x² + x et Y = x², calculez les limites quand x tend vers l'infini.

Et c'est même pas des variables aléatoires là

Ceci dit, le cas avec les variables aléatoires est assez classique lui aussi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Il est vrai, j'ai oublié de dire le contexte.
Il s'agit d'appliquer la loi des grands nombres avec une pièce équilibrée. Donc, sauf si on me prouve ou même si on m'explique que ce n'est pas vrai, (P-F) tend vers 0 ainsi que P/F tend vers 1.

@ Deedee.
Le sujet est que l'on peut lire des choses très distrayantes sur les forums.

Concernant les jets de pièces, j'ai réalisé les deux expériences suivantes
1- On lance un grand nombre de fois une pièce, et on compte les séries successives. C'est à dire le nombre de changements (pas des séries), le nombre de séries de 2, de 3 etc. On vérifie que le résultat tend effectivement vers les puissances de 2 conformément à ce qui est prévu.
2- On lance un grand nombre de fois une pièce. On groupe les résultats par paquets de 6 jets successifs. En attribuant 0 à Pile et 1 à Face, on forme des nombres binaires de 0 à 31. On compte le nombre des occurrences, la moyenne, l'écart-type et pour chaque occurrence, on calcule l'écart à la moyenne. On observe que la répartition de ces écarts est celle prévue par Bernoulli.

Ce sont deux expériences faciles à faire si on dispose d'un ordinateur. L'intérêt de faire les calculs avec une pièce est que on ne peut par mettre en cause le générateur de nombres aléatoires.
On ne peut s'en convaincre que si on fait l'expérience.
Il y a lieu de noter que ces expériences ne marchent pas si on fait un tirage avec un "ordinateur quantique", c'est à dire si les évènements ne sont pas observables.

[invite8a1b1525]

Il s'agit d'appliquer la loi des grands nombres avec une pièce équilibrée. Donc, sauf si on me prouve ou même si on m'explique que ce n'est pas vrai, (P-F) tend vers 0 ainsi que P/F tend vers 1.

Bonsoir,
mes élèves les plus faibles font également cette erreur : la loi des grands nombres indique effectivement que la limite P/F "tend" vers 1, mais certainement pas P-F "tend" vers 0.
Comme vous le suggérez, utiliser un simulateur informatique.
Je lance 10 fois : P/F = 1.5 et P-F = 2
Je lance 100 fois : P/F = 1.564... et P-F = 22
Je lance 1000 fois : P/F = 1.016... et P-F = 8
Je lance 10000 fois : P/F = 0.9864... et P-F = -68
Je lance 100000 fois : P/F = 1.00420.. et P-F = 210
Je lance 1000000 fois : P/F = 0.99862... et P-F = -688

Bref, P/F se rapproche (lentement) de 1, mais P-F ne tend pas du tout vers 0...
Cordialement

[invite8a1b1525]

PS. Merci à vous de refaire la même expérience et donner vos résultats. Allez zou......

[Dlzlogic]

Bonjour,
Si vous voulez montrer un contre-exemple, c'est votre droit.
Avez-vous fait les deux expériences que j'ai proposées ?
Si P-F ne tend pas vers 0 ça tend vers quoi ?
Pour moi, 688/1000000 ça se rapproche vraiment de 0.

*** Inapproprié ***

[invite8a1b1525]

Bon, si c'est ça que vous enseignez à vos élèves c'est dommage.
Si c'est ça les maths, c'est la catastrophe.
En d'autres termes, on veut prouver un truc, pas de problème, vous pouvez le faire.
Il est vrai que des trucs du genre 1+1=1 ne font plus recette. Donc trouvons autre-chose.
Bravo.

Non seulement vous vous dégonflez en évitant de faire un simple test qui vous permettrait de constater par vous-même votre erreur, mais en plus vous écrivez ce genre de message très méprisant.
Un comportement exemplaire sur ce forum !

[invite8a1b1525]

Si vous voulez montrer un contre-exemple, c'est votre droit.

c'est vous qui l'avez appelé

Avez-vous fait les deux expériences que j'ai proposées ?

pourquoi refaire une seconde fois l'expérience, puisque vous ne voulez pas la faire !
Faites -là vous même, cette expérience... vous verrez.

Si P-F ne tend pas vers 0 ça tend vers quoi ?

P-F ne tend vers rien !
Savez-vous qu'il existe des suites qui n'ont pas de limite ?

Pour moi, 688/1000000 ça se rapproche vraiment de 0.

Pour moi aussi, 688/1000000 est proche 0, évidemment.

Mais 688/1000000 = (P-F)/(P+F) , ce qui n'est pas du tout le P-F dont vous parliez avant... Vous changez de sujet ? Concentrez-vous sur P-F comme vous disiez ci-dessus, SVP.

[pm42]

Si P-F ne tend pas vers 0 ça tend vers quoi ?

Ca ne converge pas sans doute. Il suffit de prendre le tirage qui commence à partir du rang n pour le comprendre...

Pour moi, 688/1000000 ça se rapproche vraiment de 0.

Là, c'est une division. Pas P-F...

EDIT : croisé avec bon prof math.

[Dlzlogic]

Bon, apparemment il y a ambiguïté sur la notion de limite.
Peut-être faudrait-il faire intervenir la notion "valeur absolue" et "valeur relative".
Supposons l'information suivante "Au Texas, suite à un évènement inconnu, probablement des extraterrestres, 25 bovins ont dû être hospitalisés".
Puis cette autre information "Dans une petite ferme de Normandie, suite à un évènement inconnu, probablement des extraterrestres, 3 bovins ont dû être hospitalisés".
Laquelle des deux information est la plus importante ?
Naturellement les 25 bovins texans me direz-vous, c'est beaucoup plus significatif que 3 bovins !

D'ailleurs, on peut observer que les différents essais de P-F hésitent entre -qqch et +qqch. C'est ce qu'on appelle généralement "tendre vers une limite". Quelque-fois on utilise l'adjectif "asymptotique".

[invite8a1b1525]

pm42, P-F ne peut pas converger : c'est une suite d'entiers.
(Une suite d'entiers convergente est stationnaire. Or ici, la suite ne peut pas stationner, à moins que l'on tombe toujours sur le tranchant de la pièce à partir d'un certain moment )

[Dlzlogic]

Ca ne converge pas sans doute. Il suffit de prendre le tirage qui commence à partir du rang n pour le comprendre...


Là, c'est une division. Pas P-F...

EDIT : croisé avec bon prof math.

Bon, c'est pas compliqué, si ça ne converge pas la loi des grands nombres est fausse.
Il me parait assez évident qu'on peut faire l'expérience de très nombreuses fois, on aura tantôt -qqch, tantôt +qqch mais dans tous les cas, on passera par 0. D'ailleurs pourquoi on dit que P/F converge vers 1 et que P-F ne converge pas vers 0 ? Est-ce à cause de la distinction entre réels et entiers ?
J'ai proposé 2 tests très différents qui conduisent à des limites. Je pense qu'avant de discuter plus loin, il faudrait au moins faire ces tests.

[pm42]

pm42, P-F ne peut pas converger : c'est une suite d'entiers.
(Une suite d'entiers convergente est stationnaire. Or ici, la suite ne peut pas stationner, à moins que l'on tombe toujours sur le tranchant de la pièce à partir d'un certain moment )

C'est ce que j'ai dit.

[pm42]

Bon, apparemment il y a ambiguïté sur la notion de limite.
Peut-être faudrait-il faire intervenir la notion "valeur absolue" et "valeur relative".
Supposons l'information suivante "Au Texas, suite à un évènement inconnu, probablement des extraterrestres, 25 bovins ont dû être hospitalisés".
Puis cette autre information "Dans une petite ferme de Normandie, suite à un évènement inconnu, probablement des extraterrestres, 3 bovins ont dû être hospitalisés".
Laquelle des deux information est la plus importante ?
Naturellement les 25 bovins texans me direz-vous, c'est beaucoup plus significatif que 3 bovins !

D'ailleurs, on peut observer que les différents essais de P-F hésitent entre -qqch et +qqch. C'est ce qu'on appelle généralement "tendre vers une limite". Quelque-fois on utilise l'adjectif "asymptotique".

Non, tout cela est faux. Massivement.
L'histoire des bovins n'a rien à voir.

[invite8a1b1525]

D'ailleurs, on peut observer que les différents essais de P-F hésitent entre -qqch et +qqch. C'est ce qu'on appelle généralement "tendre vers une limite". Quelque-fois on utilise l'adjectif "asymptotique".

mes élèves les plus faibles font également cette erreur de confusion totale ...

Une suite qui oscille n'a pas de limite. Apprenez la notion de limite !

Et de plus, votre suite P-F n' << hésite >> pas entre -qqch et +qqch , car P-F peut prendre n'importe que valeur entière (en faisant suffisamment de lancers), aussi grande soit-elle.

[Médiat]

C'est ce que j'ai dit.

Bonsoir

Je pense que bon prof math réagissais à "Ca ne converge pas sans doute"

[pm42]

Je pense que bon prof math réagissais à "Ca ne converge pas sans doute"

Parfois, je mets des figures de style pour éviter d'être trop affirmatif face à quelqu'un qui pose des questions que je trouve étonnantes et le pousser à la réflexion.

[invite8a1b1525]

Merci médiat. Oui, en effet, j'ai pris le "sans doute" pour sa signification en français, qui laisse une place au doute (...étrangement )
pm42 voulait donc dire "Ca ne converge pas, sans aucun doute" .

[invite204b8442]

P/F peux converger vers 1 , sans que P-F converge vers zéro , d'ailleurs pourquoi devrais-il converger vers zéro ?

[pm42]

On pourrait même faire remarquer que p-f n'est pas borné sauf si je me trompe.

[invite8a1b1525]

pm42, oui P-F n'est pas borné, on peut même calculer la probabilité d'obtenir un entier donné connaissant le nombre de lancers. (loi binomiale)

[Dlzlogic]

@ Pm42

Parfois, je mets des figures de style pour éviter d'être trop affirmatif face à quelqu'un qui pose des questions que je trouve étonnantes et le pousser à la réflexion.

Je dois avouer une chose. Mon cours précise que cette expérience (vérification de la répartition normale) a été vérifiée, entre autres, avec un tirage à pile ou face. Je me suis longtemps (des années) demandé comment, puis que il n'y avait que deux issues possibles. J'ai fini par imaginer ce groupement par plusieurs résultats successifs de façon à former un nombre binaire, et ainsi vérifier par des simulations la véracité des lois de base des proba (postulat de la moyenne, loi des grands nombres et TCL). Le tirage à pile ou face offre l'avantage indiscutable d'être à l'abri des objections "générateur de nombre aléatoire".
Un membre de ce forum a fait la simulation. Je l'ai mise en annexe de mon papier (pub interdite).
Bon, alors s'il vous plait, faites le test.
Le premier test est un peu plus difficile à écrire, mais très intéressant aussi.

[invite8a1b1525]

Bon, alors s'il vous plait, faites le test.

Vous inversez la situation, Dlzlogic, c'est vous qui refusez toujours de faire le test ! Calculez P-F sur quelques exemples...

[invite204b8442]

Dlzlogic tu veux prouver que P-N tend vers 0 ?

[pm42]

En scala, calcule et affiche le plus grand p-f en valeur absolue pour 100 millions de tirages...
Facile à adapter pour faire autre chose ou dans un autre langage.

val r = scala.util.Random; var n=0; var p=0; var f=0; for(i <- 1 to 100000000) { if(r.nextBoolean) p=p+1 else f=f+1; n=Math.max(Math.abs(p-f), n)} ; println(s"$n")

Le résultat est sans surprise, c'est ce qui est bien avec les maths...

[Dlzlogic]

Je sais bien que la différence entre deux grands nombres presque égaux converge vers 0 de façon non continue.
Bien-sûr, votre expérience est très intéressante. Il est bien évident que c'est vrai, c'est à dire on passe par 0 puis on diverge, puis on converge, on repasse par 0 etc. Ce qui est important dans le cas présent est de savoir si la différence relative converge vers 0, de façon chaotique bien-sûr, ou pas. Or elle converge, c'est sûr.
Il y a des exemple d'autres courbes qui convergent de cette façon : une sinusoïde amortie.

[invite204b8442]

Donne nous le résultat pm42 .

[pm42]

Je sais bien que la différence entre deux grands nombres presque égaux converge vers 0 de façon non continue.

Non, c'est le truc faux que tu répètes depuis quelques messages maintenant et qui d'ailleurs n'a pas de sens dans cette formulation.

Bien-sûr, votre expérience est très intéressante. Il est bien évident que c'est vrai, c'est à dire on passe par 0 puis on diverge, puis on converge, on repasse par 0 etc. Ce qui est important dans le cas présent est de savoir si la différence relative converge vers 0, de façon chaotique bien-sûr, ou pas. Or elle converge, c'est sûr.

Quand je fais tourner le programme, cela ne converge pas du tout.
Je n'avais pas besoin de cela pour le savoir vu que c'est un résultat classique mais j'ai trouvé ça marrant.

Il y a des exemple d'autres courbes qui convergent de cette façon : une sinusoïde amortie.

Ce qui n'est pas le cas du tout ici.