Enigme..

[ClaudeH]

Bonjour..

Voici une énigme que je viens de trouver sur le net, et avoue ne pas avoir les compétences pour la résoudre.
Il me semble que Matthias en avait posée une du même style, mais je ne suis pas sûre que la réponse ait été trouvée.

CARINE, SERGE ET LE CONCIERGE

Le concierge de l'immeuble où habitent Carine et Serge a choisi deux entiers naturels. Il écrit sur un morceau de papier, la somme des deux entiers qu'il donne à Serge, et sur un autre morceau de papier, la somme de leurs carrés qu'il donne à Carine.

Une Conversation se déroule entre Carine et Serge:

- Carine dit: Je ne peux pas dire quels sont les deux entiers.
- Serge répond: Je ne peux pas dire quels sont les deux entiers.
- Carine rétorque: Je ne peux pas dire quels sont les deux entiers.
- Serge répond: Je ne peux pas dire quels sont les deux entiers.
- Carine réplique: Je ne peux pas dire quels sont les deux entiers.
- Serge affirme: Je ne peux pas dire quels sont les deux entiers.
- Carine affirme: Maintenant je peux dire quels sont ces deux entiers!
- On suppose que Carine et Serge ont raisonné au mieux.
Quels sont les deux entiers choisis par le concierge?

Cordialement..
-----

[Shiho]

Bonjour,

effectivement plusieurs de ce genre ont déjà été postées, mais ça n'était pas avec la somme de 2 entiers et la somme de leur carrés mais avec la somme de 2 nombres et leur produit je crois.

J'avais rien de prévu ce week-end ça tombe bien

[matthias]

Pas facile. Il existe bien une caractérisation des entiers qui peuvent s'écrire comme la somme de deux carrés (et je crois que l'on peut connaître le nombre de décompositions), ça peut être une piste pour attaquer le problème.

[SunnySky]

Ouch! Pas facile!

Je suggère une simplification pour commencer... Si on supposait que Carine devine au cinquième énoncé plutôt qu'au septième?

Me semble que ce serait moins dangereux pour ma santé mentale...

[A voir en vidéo sur Futura]

[SunnySky]

En y repensant plus longuement, je me demande si 7 et 11 ne serait pas la solution du problème initial?

[invite04fcd5a3]

salut les gars

bon vite fait je ne sais pas si ce que je vais dire a de l'allure

disons que x et y soient les entiers, et que a est leur somme et que b est la somme de leur carrés.
alors on pose que
x+y=a
x^2+y^2=b

de la on tire que

x^2-ax+a^2/2=b/2
et aussi que

y^2-ay+a^2/2=b/2


on cherche le delta selon a et b , etc etc....

[invite788778a8]

bonjour,

il y a le 8

[invite788778a8]

BONJOUR

Les deux nombres sont 8 et 9

[yat]

Les deux nombres sont 8 et 9

Ca marche pas chez moi... avec 8 et 9 et les 6 passes précédentes, j'aboutis à ce que Carine ne peut toujours pas déterminer si la somme de Serge est 13 ou 17.
Mais bon, j'ai du me planter en beauté parce que je trouve plusieurs solutions qui marchent et comme tester une seule solution est déjà extrèmement pénible...

Un peu plus de détails sur ta technique serait d'un grand secours

[yvesw]

Effectivement je pense qu'il serait bon de parler technique. Finalement peu importe la solution, c'est la démarche qui est essentielle :
La première réponse de Carine indique que son nombre peut se décomposer au moins en deux sommes de deux carrés, ce qui devrait limiter les solutions...
Par ailleurs, les entiers somme de deux carrés ont certaines propriétés.
Etant au travail, je n'ai pas bien le temps de me pencher sur cette énigme pour l'instant, mais j'y reviens ce soir !

[prgasp77]

La réponse est simple, il s'agit des deux naturels a et b tels que :
- il existe un unique triplet ((c,d), (e,f), (g,h)) de couples de naturels tels que
a²+b² = c²+d² = e²+f² = g²+h²

- il existe un unique triplet ((i,j), (k,l), (m,n)) de couples de naturels tels que
a+b = i+j = k+l = m+n

- il existe (o,p), (q,r), (s,t), couples de naturels tels que
i²+j² = o²+p² ; k²+l² = q²+r² ; m²+n² = s²+t²


En effet,
- Corine ne peut pas répondre, car il existe (c,d)
- Serge ne peut pas répondre, car il existe (i,j)
- Corine ne peut pas répondre, car il existe (c,d) et (e,f)
- Serge ne peut pas répondre, car il existe (i,j) et (k,l)
- Corine ne peut pas répondre, car il existe (c,d), (e,f) et (g,h)
- Serge ne peut pas répondre, car il existe (i,j), (k,l) et (m,n)
- Corine peut répondre, car il n'existe que (c,d), (e,f) et (g,h)
- Serge peut répondre, car il n'existe que (i,j), (k,l) et (m,n) tels qu'il n'xiste que (c,d), (e,f) et (g,h)

Il ne reste plus qu'a faire chauffer vos compilateurs.
Bonne chance.

(note : on considère ci-avant que (a,b)=(b,a) même si a!=b)

[invité576543]

- il existe un unique triplet ((i,j), (k,l), (m,n)) de couples de naturels tels que
a+b = i+j = k+l = m+n

Je ne comprends pas cette condition telle quelle. J'imagine qu'il faut la combiner avec la condition qui suit dans le texte...

(Sinon, a+b=6, seul cas de 4 décompositions distinctes)

Cordialement,

[prgasp77]

au temps pour moi :
- il existe un unique triplet ((i,j), (k,l), (m,n)) de couples de naturels tels que
a+b = i+j = k+l = m+n et i²+j² = o²+p² ; k²+l² = q²+r² ; m²+n² = s²+t² où (o,p), (q,r), (s,t) sont trois couples de naturels.

[matthias]

Par ailleurs, les entiers somme de deux carrés ont certaines propriétés.

Un entier est somme de deux carrés si et seulement si tous ses facteurs premiers congrus à 3 modulo 4 ont un exposant pair dans la décomposition. Pas hyper pratique ...

[SunnySky]

Je ne crois pas que la solution soit 8 et 9. En effet, Carine étant très intelligente et experte en calculs, devinera dès le premier tour les deux nombre.

En effet, elle connaît la somme des carré, soit 145 (64+81). Mais on ne peut obtenir 145 par aucune autre somme de carrés.

Carine aurait donc dû répondre correctement dès le premier tour.

Je reste avec mon idée, 7 et 11.

[invite788778a8]

bonjour,

Voici comment j'ai procédé :

j'ai créé un tableau avec les colonnes A et B qui correspondent au couple des entiers puis les colonnes C et D dont les sommes des carrés sont identiques colonne E et F car il y a un doublon Une colonne pour la somme des carrés une somme A+B une autre C+D et une dernière E+F ce qui me donne :

A ! B ! C ! D ! E ! F ! SOMME² ! A+B ! C+D ! E+F
1 ! 7 ! 5 ! 5 !--!--!-----50---!--8--!--10--!---
1 ! 8 ! 4 ! 7 !--!--!-----65---!--9--!--11--!---
2 ! 9 ! 6 ! 7 !--!--!-----85---!-11--!--13--!---

afin de facilité la saisie :
colonne A : 1.1.2.2.3.1.1.4.2.3.5.5.2.3.1. 4.1.4.2.3
colonne B : 7.8.9.11.11.12.13.13.14.14.14. 15.16.16.17.17.18.18.19.19
colonne C : 5.4.6.5.7.8.7.8.10.6.10.9.8.11 .11.7.6.12.13.9
colonne D : 5.7.7.10.9.9.11.11.10.13.11.13 .14.12.13.16.17.14.14.17
colonne E 10 Colnne F 15 a mettre avant somme des carrés 325
Somme des carrés : 50.65.85.125.130.145.170.185.2 00.205.221.250.260.265.290.305 .325.340.365.370
somme A+B : 8.9.11.13.14.13.14.17.........
Somme C+D : 10.11.13.15.16.17.18.19.......

Voici ma base qui me permet de trouver 8 et 9 aprés les déductions logiques

[yvesw]

Si la 1ère proposition de prgasp77 est exacte :
"- il existe un unique triplet ((c,d), (e,f), (g,h)) de couples de naturels tels que a²+b² = c²+d² = e²+f² = g²+h²" , ce n'est pas ni 8,9 ni 7,11.

Plus pragmatiquement, en supposant que les deux nombres soient inférieurs à 20, j'ai regardé les différentes sommes des carrés. Aucun nombre obtenu n'est décomposable en 4 sommes de carrés distinctes. En l'occurence :
- 325 et 425 se décomposent en trois sommes de deux carrés distinctes
- 65,85,125,130,145,170,185,205, 221,250,260,265,290,305,340,36 5,370,377,410 et 481 se décomposent en deux somme de deux carrés distinctes.

En prenant 50 et plus 20, le plus petit nombre entier décomposable en au moins 4 sommes distinctes est 1105. Suivent 1625,1885,2125,2210,2405 et 2465...

...sacré cerveau cette Carine, ou alors la 1ère proposition de prgasp77 est fausse !

Qu'on me donne un tube d'aspirine .

[yat]

Bon, je n'ai pas tout à fait présenté les choses comme ça mais tes colonnes somme et somme des carrés se retrouvent bien dans mon tableau.

Voici ma base qui me permet de trouver 8 et 9 aprés les déductions logiques

Moi c'est plutôt ces déductions logiques qui m'intéressent

Comme ça me turlupine depuis hier matin, je vais quand même donner mon raisonnement, même s'il n'aboutit pas. Comme ça peut-être que quelqu'un aura la bienveillance de me souligner mes erreurs

Au rang 1, Carine se tait, le nombre dont elle dispose peut donc se décomposer en plusieurs sommes de deux carrés.

Serge connait toutes ces sommes de carrés, donc si Carine se tait il peut éliminer pas mal de possibilités. Je vois 4 cas ou ça lui permet de parler au rang 2 :
5 => (0,5)
7 => (3,4)
8 => (1,7)
9 => (1,8)

Au rang 3, comme Serge n'a pas parlé, Carine sait qu'il n'a pas un des 4 nombres ci-dessus. Si elle hésite entre deux nombres dont un de ceux-cis, elle saura donc que Serge a l'autre. Comme 5 et 7 correspondent à la même somme de carrés, il ne reste que les cas 8 et 9, ce qui donne les déductions suivantes :
50 => (5,5)
65 => (4,7)

On peut continuer ainsi de suite un petit peu...
Rang 4 :
10 => (0,10)
11 => (2,9)

Rang 5 :
85 => (6,7)
100 => (6,8)

Et là, c'est le drame. Au rang 6, dans les deux cas, Serge ne peut pas parler : Puisque Carine n'a rien dit au tour précédent, Serge sait qu'elle n'a pas 85 dans un cas (quand Serge a 13), pas 100 dans l'autre (quand Serge a 14).

Le problème, c'est que si Serge a 13, les sommes de carrés possibles sont 85 (6,7), 125 (2,11), 145 (1,12) et 169 (0,13). Le fait que Carine se soit tue au rang 5 permet donc juste d'éliminer le 85. Quoi qu'il arrive Serge va donc devoir se taire, et ce silence ne donnera aucune information à Carine pour le tour suivant. Pareil si Serge a 14 : les ommes de carrés possibles sont 100 (6,8), 130 (3,11) et 170 (1,13), et il ne peut pas trancher entre 130 et 170.

Pour moi le problème s'arrète là.

Comme suggéré par SunnySky, je pense qu'un problème ou Carine parle au rang 5 serait beaucoup plus reposant

EDIT : doublé par yvesw ; je répondais bien entendu à TITI78

[yvesw]

Comme toi je préfère le raisonnement : c'est lui qui est la solution (la paire de chiffres est une conséquence).

Dans les nombres exprimés, j'ai éliminé le zéro et les cas où les deux chiffres sont égaux, ce qui est sans conteste un raccourci abusif.

En tout cas, je trouve cette énigme particulièrement corsée...
...comme j'ai pas trop le temps présentement, je vais me la mettre de côté pour le long week-end qui se prépare !

[invite788778a8]

Voici comment j'ai trouvé 8 et 9

J'ai classé les sommes A+B, C+D et E+F ce qui fait que je me retrouve avec
1 x 8,1 x 9,1 x 10,2 x 11,3 x 13,2 x 14,1 x 15,.....

Au vue du tableau carine ne peut pas donner de réponse

La première réponse de serge montre qu’il n’a pas 8, ni 9 ni 10 ni 15 sinon il répondrait immédiatement

La 2ème réponse de carine démontre que ce n’est pas 50 ni 65 car si elle l’avait, elle en déduirait que serge qui n’a pas le 9 à obligatoirement le 11 et la solution serait 4 et 7 il ne peut avoir le 125 car pas de 15.

2ème réponse de serge indique qu’il n’a pas la somme 11 car s’il l’avait il en déduirait que carine a le 85.

3ème réponse de carine révèle qu’elle n’a pas le 85 car serge aurait le 13

3ème réponse de serge indique qu’il n’a pas le 13 car s’il l’avait il saurait que carine à le 145 car 85 et 125 éliminés

La dernière affirmation de carine montre qu’elle a la somme de 145 et que serge la somme égale à 17 soit 8 et 9 dans mon tableau

[yat]

Au vue du tableau carine ne peut pas donner de réponse

La première réponse de serge montre qu’il n’a pas 8, ni 9 ni 10 ni 15 sinon il répondrait immédiatement

Pour 8 et 9 (ainsi que 5 et 7) je vois bien, mais 10 et 15... pourquoi ça ?
Par exemple si Serge a 10, il est possible que Carine ait 50 (auquel cas elle ne pouvait pas trancher entre 5²+5² et 7²+1²) ou 100 (10²+0² ou 8²+6²). Je ne vois donc pas comment Serge pourrait parler immédiatement s'il avait 10. Pareil pour 15, ou Carine peut avoir 125 ou 225.

...forcément la suite ne colle plus pour moi, mais il y a encore autre chose là :

3ème réponse de serge indique qu’il n’a pas le 13 car s’il l’avait il saurait que carine à le 145 car 85 et 125 éliminés.

On a vu plus haut pourquoi tu as éliminé le 125, il reste encore le 169.

[invite788778a8]

Je travaille avec les sommes classées a+b, c+d et e+f

Dans cette liste je n'ai qu'une fois le 7,8,10 et 15 donc si serge a une de ces 4 sommes il connait tout de suite la somme des carrés, soit 50 s'il a le 8 ou le 10, 65 pour le 9 et 125 pour le 15.

Par contre c'est vrai que je n'ai pas tenu compte du 0

[yat]

Dans cette liste je n'ai qu'une fois le 7,8,10 et 15

C'était pas 8, 9, 10 et 15 ?

donc si serge a une de ces 4 sommes il connait tout de suite la somme des carrés, soit 50 s'il a le 8 ou le 10, 65 pour le 9 et 125 pour le 15.

Donc, l'explication de l'absence du 100 pour le 10 et du 225 pour le 15 serait donc celle ci :

Par contre c'est vrai que je n'ai pas tenu compte du 0

... ou en d'autres termes : Ta solution est fausse . Je me trompe ?

[prgasp77]

Il me semble que la réponse est le couple de naturels (31, 38).


Voici les données utiles pour la démonstration :

(31, 38)
Somme : 69
Somme des carrés : 2405

Tous les autres couples dont la somme des carrés vaut 2405 :
(2, 49)
Somme : 51
Somme des carrés : 2405
(14, 47)
Somme : 61
Somme des carrés : 2405
(17, 46)
Somme : 63
Somme des carrés : 2405

Tous les autres couples dont la somme vaut 69 et dont il existe au moins un autre couple de somme de carrés égale :
(44, 25)
Somme : 69
Somme des carrés : 2561 = 40²+31²
(43, 26)
Somme : 69
Somme des carrés : 2525 = 37²+34²
(41, 28)
Somme : 69
Somme des carrés : 2465 = 49²+8²
(36, 33)
Somme : 69
Somme des carrés : 2385 = 48²+9²

Démonstration logique :

1. Corine a le nombre 2405
   Corine ne peut pas répondre.
   En effet, il existe au moins 2 couples dont la somme des carrés vaut 2405.
2. Serge a le nombre 69 et il sait qu'il existe plusieurs couples de naturels dont la somme des carrés vaut le nombre qu'a Corine (noté No)
   Serge ne peut pas répondre car il existe 4 couples de naturels dont la somme est 69 et dont la somme des carrés est égale à au moins un autre couple de naturels
3. Corine a le nombre 2405 et sait qu'il existe plusieurs couples de naturels dont la somme est le nombre qu'a Serge (noté Ns) et dont la somme des carrés est égale à au moins un autre couples
   [...]

Il est possible de continuer cette logique. Au final, on s'aperçoit que le couple solution vérifie les propriétés que j'ai énoncé plus haut.
(31, 38) est le seul couple que les satisfait.

Ca fait mal à la tête non ?

[invite788778a8]

Erreur de recopie de mon raisonnement c'est bien 8,9,10 et 15.

Par contre pour le 0 il semble qu'il y a débat. En effet certains mathématiciens disent que ce n'est pas un entier naturel voir wikipedia.org/wiki/entier_naturel

Sinon je serai heureux de voir si une personne y arrive avec 0

[yat]

Par contre pour le 0 il semble qu'il y a débat. En effet certains mathématiciens disent que ce n'est pas un entier naturel voir wikipedia.org/wiki/entier_naturel

Jamais entendu ça auparavant. Mais bon, forcément si je cherchais pas avec les mêmes contraintes, je risquais pas de trouver la même chose que toi

Sinon je serai heureux de voir si une personne y arrive avec 0

J'essaye de comprendre la solution de prgasp77. Mais ça va être chaud à suivre, parce qu'on ne manipule plus le même genre de nombres : quand la somme dépasse 20, mon graphe explose.

[invite788778a8]

ou en d'autres termes : Ta solution est fausse . Je me trompe ?

Disons que c'est le concierge de Jules César

[invite788778a8]

Il me semble que la réponse est le couple de naturels (31, 38).

Comment fais tu pour arriver à ta solution en 7 réponses?

[yat]

Tous les autres couples dont la somme vaut 69 et dont il existe au moins un autre couple de somme de carrés égale :
(44, 25)
Somme : 69
Somme des carrés : 2561 = 40²+31²
(43, 26)
Somme : 69
Somme des carrés : 2525 = 37²+34²
(41, 28)
Somme : 69
Somme des carrés : 2465 = 49²+8²
(36, 33)
Somme : 69
Somme des carrés : 2385 = 48²+9²

Déjà là, quelque chose m'échappe...
moi, des couples qui respectent ces conditions, j'en ai 19. Pour ne pas tous les citer, le premier exemple de la liste est 45²+24², qui donne une somme de carrés de 2601, qui se décompose aussi en 51²+0².
Bon... encore un zéro. Dans le doute, prenons le suivant : 48²+21²=2745=51²+12². Donc tu n'as pas listé tous les couples dont la somme vaut 69 et dont il existe au moins un autre couple de somme de carrés égale. Pour quelle raison tu as éliminé les 15 autres ?

Ensuite, pour le reste, franchement je ne comprends pas du tout ton raisonnement. L'étape 3 m'échappe déjà, et je n'ai pas la moindre idée de la manière dont tu continues.

[yvesw]

Bon ben je vais me retirer, il n'est définitivement pas possible de chercher en pointillé...
en plus je me suis rendu compte que mes chiffres étaient en partie faux, ou plutôt imcomplets !

Je reviendrai lundi prochain en espérant pouvoir comparer ma démonstration (j'y crois) à celle de celui (ou celle) qui aura trouvé.

Bon courage à tous.