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Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)



  1. #1
    leon1789

    Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)


    ------

    Bonjour

    suite à cette proposition de jeu : https://forums.futura-sciences.com/s...de-tirage.html
    je propose une variante toute simple : la souris ne connait pas le choix du chat. En clair, ils choisissent dans leur coin une combinaison de trois pièces : F/F/P ou P/F/P ou ...

    On lance n fois une pièce de monnaie jusqu'à ce que l'une des combinaisons (celle du chat ou celle de la souris) apparaisse dans la séries des lancers F/P/P/F/P/P...

    On va faire plusieurs parties et voir celui qui gagne le plus souvent.

    Quelle serait votre stratégie face à votre adversaire ?

    -----

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  3. #2
    leon1789

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    Précision Importante : entre chaque partie, on peut changer son choix de combinaison. C'est aussi ce changement de combinaison qui fait partie de la stratégie du candidat.

  4. #3
    Tryss2

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    Du coup, on est face à un exercice de théorie des jeux, avec comme difficulté additionnelle que le calcul de la probabilité de victoire de chaque choix n'est pas trivial.

    Etape 1 : calculer les proba de victoires de chaque match.

    Etape 2 : appliquer les résultats de la théorie des jeux.

  5. #4
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    bjr,
    une question :
    la situation est présentée comme totalement symétrique entre le chat et la souris.
    en ce cas, s'il existe une stratégie gagnante et que les deux l'adoptent, je ne vois pas comment structurellement l'un peut l'emporter.
    ou bien doit on considérer par exemple que la souris est tj plus futée que le chat ? ou une autre différence.?
    ou alors , on ne cherche que la stratégie optimale , sachant que si l'un des deux l'adopte et pas l'autre, il l'emporte ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    sans rentrer dans la théorie des jeux ( mais je suis peut être simpliste )
     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par ansset ; 23/07/2018 à 09h32.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  8. #6
    leon1789

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    la situation est présentée comme totalement symétrique entre le chat et la souris.
    en ce cas, s'il existe une stratégie gagnante et que les deux l'adoptent, je ne vois pas comment structurellement l'un peut l'emporter.
    en effet, la situation est parfaitement symétrique, donc on ne peut pas espérer forcer le gain, mais au mieux forcer l'égalité (en probabilité).

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    doit on considérer par exemple que la souris est tj plus futée que le chat ? ou une autre différence.?
    on considère aucune différence.

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    ou alors , on ne cherche que la stratégie optimale , sachant que si l'un des deux l'adopte et pas l'autre, il l'emporte ?
    ce serait davantage cela

    1/ D'une part, il faut trouver une telle stratégie qui permette d'assurer une probabilité de gain de 50% : je peux en donner dont l'espérance de gain est comprise entre 1/2 et 35/48 (entre 0.5 et 0.73) suivant la stratégie de l'adversaire.

    2/ D'autre part, on peut essayer d'avoir une stratégie qui s'adapte à celle de l'adversaire (suivant ses propositions passées) et ainsi espérer jouer sur une éventuelle faille : comment procéder ? je peux faire une proposition qui vaut ce qu'elle vaut.

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  10. #7
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    tu ne réponds pas à ma suggestion intuitive ( sous spoiler ).
    peux tu le faire par MP éventuellement?
    merci

    1/ D'une part, il faut trouver une telle stratégie qui permette d'assurer une probabilité de gain de 50% : je peux en donner dont l'espérance de gain est comprise entre 1/2 et 35/48 (entre 0.5 et 0.73) suivant la stratégie de l'adversaire.
    là, je ne saisi pas, elle est sensé être inconnue , non ?
    un truc que j'ai mal saisi.
    Dernière modification par ansset ; 23/07/2018 à 17h03.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  11. #8
    leon1789

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    tu ne réponds pas à ma suggestion intuitive ( sous spoiler ).
    peux tu le faire par MP éventuellement?
    merci
    comme les joueurs fixent préalablement leur série XYZ, le tirage ne va pas nécessaire commencer par XY.
    Ce qu'on peut dire, c'est que tout joueur, quelle que soit sa stratégie, a une probabilité de gain supérieure ou égale à 1/8.


    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    là, je ne saisi pas, elle est sensé être inconnue , non ?un truc que j'ai mal saisi.
    On est sensé ne pas connaitre la stratégie de l'autre. Je précise cependant qu'on sait quelles ont été les propositions de l'adversaire durant toutes les parties précédentes.



    Si on connait la stratégie de l'autre, on peut éventuellement connaitre ce qu'il va jouer (sauf s'il y a de l'aléatoire dans son protocole de décision), et on retombe dans le problème que tu avais posé initialement. En connaissant ce que l'autre va jouer, on sait ce qu'il faut jouer pour avoir l'avantage en proba de gain :
    si, PPP, alors, FPP, proba, 7/8
    si, PPF, alors, FPP, proba, 3/4
    si, PFP, alors, PPF, proba, 2/3
    si, FPP, alors, FFP, proba, 2/3
    si, FFF, alors, PFF, proba, 7/8
    si, PFF, alors, PPF, proba, 2/3
    si, FPF, alors, FFP, proba, 2/3
    si, FFP, alors, PFF, proba, 3/4

  12. #9
    leon1789

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    je peux en donner dont l'espérance de gain est comprise entre 1/2 et 35/48 (entre 0.5 et 0.73) suivant la stratégie de l'adversaire.
    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    là, je ne saisi pas, elle est sensé être inconnue , non ?
    En effet, elle est sensée être inconnue. Mais quelle qu'elle soit, ma première solution a une proba de gain supérieure à 0.5 .... peut monter à 0.73 si l'adversaire joue mal.
    Cette première solution est simple à appliquer, mais elle ne peut pas avoir une proba de gain supérieure à 0.73 , même si l'adversaire y met du sien (par exemple, en choisissant toujours FFF)

    En revanche, j'ai une seconde solution plus lourde, mais pas compliquée, qui s'adapte (tout est relatif !) à ce que je joue l'adversaire. Elle aussi a une proba de gain supérieure à 0.5, mais elle peut monter jusqu'à 7/8 si l'adversaire y met du sien (par exemple, en choisissant toujours FFF).

  13. #10
    leon1789

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    Précisions :
    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    En effet, elle est sensée être inconnue. Mais quelle qu'elle soit, ma première solution a une proba de gain supérieure à 0.5 .... peut monter à 0.73 si l'adversaire joue mal.
    Cette première solution est simple à appliquer, mais elle ne peut pas avoir une proba de gain supérieure à 0.73 , même si l'adversaire y met du sien (par exemple, en choisissant toujours FFF)
    et même si l'adversaire connait ma première stratégie, il ne pourra pas la contrer (sauf en utilisant lui aussi une stratégie qui assure une proba de gain de 0.5 minimum). Auquel cas, nous serons tous les deux à 0.5...

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    En revanche, j'ai une seconde solution plus lourde, mais pas compliquée, qui s'adapte (tout est relatif !) à ce que je joue l'adversaire. Elle aussi a une proba de gain supérieure à 0.5, mais elle peut monter jusqu'à 7/8 si l'adversaire y met du sien (par exemple, en choisissant toujours FFF).
    En revanche, ma seconde stratégie ne contient pas du tout d'aléatoire, donc si mon adversaire la connait, il peut lui-même savoir ce que je vais jouer et ainsi me contrer et faire descendre ma proba de gain largement en-dessous de 0.5.
    En conclusion : ma seconde stratégie réalise une optimisation de la probabilité de gain allant de 0.5 à 7/8, à condition qu'elle reste inconnue de l'adversaire.

    C'est une différence importante en terme de qualité, je trouve : optimisation, mais doit être secrète.
    Dernière modification par leon1789 ; 23/07/2018 à 19h13.

  14. #11
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    comme les joueurs fixent préalablement leur série XYZ, le tirage ne va pas nécessaire commencer par XY.
    tu m'as mal lu si le tirage précédent est XYZ, le suivant à 50% est YZW , c'était mon seul point.
    et celui ci est indépendant de la stratégie de l'autre.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  15. #12
    leon1789

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    tu m'as mal lu si le tirage précédent est XYZ, le suivant à 50% est YZW , c'était mon seul point.
    et celui ci est indépendant de la stratégie de l'autre.
    oui, je n'avais pas compris. Je suis d'accord que W vaut P ou F avec une proba de 0.5, mais je ne comprends pas où tu veux en venir.

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  17. #13
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    sur le fait que je ne sais aller plus loin, notamment dans ce que tu dis "s'adapter à la stratégie de l'autre".
    mais comment ? en supposant qu'elle existe .
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  18. #14
    leon1789

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    en supposant qu'elle existe .
    de toute manière, il en a une (même si lui ne la connait pas !) : il faut bien qu'il parie sur des triplets, donc il a forcément une méthode pour les proposer. Que sa méthode soit bête ou sophistiquée, humaine ou cybernétique, on en sait rien, mais il a une méthode pour donner ses triplets. La plus bête étant de donner toujours le même (qui plus est FFF ou PPP), et une des plus simples étant de prendre parmi les huit triplets possibles suivant la loi uniforme (voire de manière cyclique, ce qui est moins bon, car l'adversaire peut anticiper), etc. Mais ces méthodes ont une probabilité de gain strictement inférieure à 0.5 (voir très inférieure).

    "s'adapter à la stratégie de l'autre" peut donner lieu a une énorme réflexion sur l'intelligence artificielle, si on pousse la réflexion loin. Personnellement, pour ma seconde stratégie, je me suis tenu à regarder les fréquences des huit triplets joués par l'adversaire et adapter mes choix en conséquence.

  19. #15
    leon1789

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Personnellement, pour ma seconde stratégie, je me suis tenu à regarder les fréquences des huit triplets joués par l'adversaire et adapter mes choix en conséquence.
    et je me suis aperçu que seuls 4 des huit triplets sont intéressants.

  20. #16
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Mais ces méthodes ont une probabilité de gain strictement inférieure à 0.5 (voir très inférieure)..
    c'étais le sens de mon post.
    le reste revient à considérer le chat plus bête que la souris. ce qui revient à ma première remarque.
    quand à l'IA, je ne saurai la programmer autrement que ma proposition simpliste.
    sauf encore une fois à imaginer que le chat a une idée personnelle qu'il croit gagnante, et "l'enfoncer".
    Dernière modification par ansset ; 23/07/2018 à 21h08.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  21. #17
    mohanad01

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    Bonsoir,
    J'avoue que certains raisonnements m'échappent.
    Quand deux personnes jouent l'un contre l'autre à un jeu de hasard, et lorsque la règle précise que le gagnant est celui qui parie qu'il peut prévoir un prochain tirage de pièce, ou la prochaine sortie de carte, il me semble que ce qu'a parié l'adversaire n'a aucune importance.
    Dans l'énigme d'Annset, comme celle de Léon, il semble que ce raisonnement ne soit pas vrai.
    On peut se demander si les matheux se croient capable de forcer le hasard.

  22. #18
    leon1789

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    ansset,
    je ne comprends ce que tu veux dire.

    Bon, voici ma première méthode très simple qui assure un gain avec proba de 0.5 minimum :
     Cliquez pour afficher


    Face à toute stratégie, notre probabilité de gain se situe entre 0.5 et 0.73 (précisément 35/48), même si l'adversaire connait ma stratégie (auquel cas, s'il réfléchit un peu, on obtiendra du 50-50).

    Par exemple, avec cette stratégie très simple, face à quelqu'un qui joue suivant la loi uniforme sur les 8 triplets possibles, notre probabilité de gain est de 109/192 , soit environ 0.57
    Dernière modification par leon1789 ; 23/07/2018 à 21h36.

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  24. #19
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Par exemple, avec cette stratégie très simple, face à quelqu'un qui joue suivant la loi uniforme sur les 8 triplets possibles, notre probabilité de gain est de 109/192 , soit environ 0.57
    tu ne tiens pas compte des 2 tirages qui précèdent chaque nouveau choix ( si j'ai compris l'énoncé ).
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  25. #20
    leon1789

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    Citation Envoyé par mohanad01 Voir le message
    Quand deux personnes jouent l'un contre l'autre à un jeu de hasard, et lorsque la règle précise que le gagnant est celui qui parie qu'il peut prévoir un prochain tirage de pièce, ou la prochaine sortie de carte, il me semble que ce qu'a parié l'adversaire n'a aucune importance.
    imagine que ton adversaire joue toujours FFF : si tu ne tiens pas compte de cela, alors tu n'es pas très futé ...

    Bien sûr qu'il est très souvent utile de tenir compte de ce que joue l'adversaire pour mieux le contrer ! Et c'est encore plus intéressant quand il y a une part de hasard ou des informations incomplètes pour les joueurs... cf théorie des jeux comme l'a signalé Tryss dès le début.

    Citation Envoyé par mohanad01 Voir le message
    J'avoue que certains raisonnements m'échappent.
    oui, en effet !

    Citation Envoyé par mohanad01 Voir le message
    Dans l'énigme d'Annset, comme celle de Léon, il semble que ce raisonnement ne soit pas vrai.
    On peut se demander si les matheux se croient capable de forcer le hasard.
    On peut se demander ce que tu comprends des probabilités et de l'impact de la théorie... mais je m'arrête là, sinon Dattier va débarquer pour nous expliquer qu'on manque d'imagination

  26. #21
    leon1789

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    tu ne tiens pas compte des 2 tirages qui précèdent chaque nouveau choix ( si j'ai compris l'énoncé ).
    je ne comprends pas ce que tu veux dire. Avec ma première stratégie, je ne tiens pas compte de ce qu'a proposé l'adversaire précédemment.

    Attention, je n'ai peut-être pas été assez clair, une partie se déroule ainsi :
    (1) chaque joueur choisit un triplet sans savoir ce que l'autre choisit à cet instant.
    (2) on lance la pièce jusqu'à ce qu'un des deux triplets joués apparaisse et désigne le gagnant qui marque 1 point (si les deux joueurs ont choisi le même triplet, alors il y a égalité et les joueurs marquent 0.5 point chacun). C'est la fin de cette partie.

    Bref, c'est comme dans le jeu initial que tu as proposé, mais là, la souris ne sait pas ce que le chat va jouer.

    Dans l'étape (1), pour davantage d'efficacité, on peut utiliser ce qu'a joué l'adversaire dans les parties précédentes. Ma première stratégie ne le fait pas, car elle se veut simple avant tout.
    Dernière modification par leon1789 ; 24/07/2018 à 08h34.

  27. #22
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Bien sûr qu'il est très souvent utile de tenir compte de ce que joue l'adversaire pour mieux le contrer !
    il y a un point que je ne saisi tj pas.
    à chaque tirage, chacun est sensé pouvoir reproposer un nouveau triplet, mais l'un ne parle pas avant l'autre, ( propositions anonymes , non ? )
    donc "tenir compte de ce que joue l'adversaire" est plutôt "tenir compte de ce qu'a joué l'adversaire".
    et j'en reviens à ma première proposition si les deux derniers tirages sont AB, alors jouer ABX assure une proba minimale de 50¨% à chaque tirage.
    si les deux joueurs ne sont pas idiots, ils adoptent chacun cette solution et sont certains de ne pas perdre, et assurés de gagner si l'autre est plus bête.

    concernant la théorie des jeux, je comprend le lien, mais je ne vois pas comment l'appliquer dans ce cas de figure trop simple.
    par exemple : comment définir la stratégie de l'autre de manière explicite , dans tous les cas de figures ?
    Dernière modification par ansset ; 24/07/2018 à 10h58.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  28. #23
    leon1789

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    à chaque tirage, chacun est sensé pouvoir reproposer un nouveau triplet, mais l'un ne parle pas avant l'autre, si ?
    non, chacun propose un et un seul triplet au début de la partie (comme pour ton énigme de chat et souris, qui est une partie où la souris connait ce que le triplet du chat avant de donner le sien), puis on lance la pièce autant de fois que nécessaire pour désigner le gagnant.

    Ensuite, on peut recommencer une autre partie avec en choisissant un autre triplet chacun.

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    donc "tenir compte de ce que joue l'adversaire" est plutôt "tenir compte de ce qu'a joué l'adversaire".
    oui, tenir compte des triplets qu'il a proposés dans les parties précédentes.


    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    et j'en reviens à ma première proposition si les deux derniers tirages sont AB, alors jouer ABX assure une proba minimale de 50¨%
    si les deux joueurs ne sont pas idiots, ils adoptent chacun cette solution et sont certains de ne pas perdre, et assurés de gagner si l'autre est plus bête.
    mais les joueurs ne connaissent pas les tirages de la pièces avant de comment la partie ...

  29. #24
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    non, chacun propose un et un seul triplet au début de la partie (comme pour ton énigme de chat et souris, qui est une partie où la souris connait ce que le triplet du chat avant de donner le sien), puis on lance la pièce autant de fois que nécessaire pour désigner le gagnant.

    Ensuite, on peut recommencer une autre partie avec en choisissant un autre triplet chacun.
    Alors désolé, j'avais mal interprété ton énoncé, d'où les incompréhensions.
    je saisi bien mieux tes remarques et analyses.
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  30. Publicité
  31. #25
    leon1789

    Re : Gagnant sur une espérance de tirage ! (variante)

    Je me suis amusé (c'est le bon forum pour cela ) à définir plusieurs stratégies pas très compliquées et à les comparer...

    La première, nommée stratégie A, est celle que j'ai donnée ci-dessus : à chaque partie, on choisit aléatoirement (uniformément) entre PFF et FPP.

    La seconde, nommée stratégie B, est celle qui consiste choisir aléatoirement (uniformément) entre les huit triplets possibles.

    La stratégie E (construite au pif) consiste à jouer les triplets PPP, PPF, PFP, FPP, FFF, PFF, FPF, FFP avec les probabilités respectives 1/36 , 2/36 , 3/36 ...., 8/36 .

    Ces trois stratégie A,B,E ne tiennent pas compte de leur adversaire. Les trois suivantes F,G,C le font.

    La stratégie F est celle qui les triplets PPP, PPF, PFP, FPP, FFF, PFF, FPF, FFP avec les mêmes fréquences que son adversaire (au départ, pour son premier triplet, elle joue aléatoirement). C'est comme la stratégie E, mais les probabilité du choix de F sont données par les fréquences de l'adversaire.

    La stratégie G consiste à remarquer le triplet le plus joué de l'adversaire et considérer que cela va être son coup, et donc faire comme la souris (voir ci-dessus) :
    si_coup_le_plus_fréquent_de_ad versaire = PPP, alors_je_joue = FPP
    si_coup_le_plus_fréquent_de_ad versaire = PPF, alors_je_joue = FPP
    si_coup_le_plus_fréquent_de_ad versaire = PFP, alors_je_joue = PPF
    si_coup_le_plus_fréquent_de_ad versaire = FPP, alors_je_joue = FFP
    si_coup_le_plus_fréquent_de_ad versaire = FFF, alors_je_joue = PFF
    si_coup_le_plus_fréquent_de_ad versaire = PFF, alors_je_joue = PPF
    si_coup_le_plus_fréquent_de_ad versaire = FPF, alors_je_joue = FFP
    si_coup_le_plus_fréquent_de_ad versaire = FFP, alors_je_joue = PFF

    La stratégie C (celle à laquelle je pensais hier en débutant cette discussion) est plus complexe à expliquer. Disons qu'elle essaie de maximiser la probabilité de gain en utilisant les fréquences des triplets joués par l'adversaire. En clair,
    On calcule


    Chaque f_T est la fréquence (observée) avec laquelle l'adversaire joue le triplet T.
    Les quantités d_T sont des probabilités de gain. On joue le T pour lequel d_T est le plus grand possible (il y en a toujours au moins supérieur à 0.5)

    La stratégie F peut éventuellement jouer n'importe quel triplet (en fonction de ce qu'a joué l'adversaire), mais les stratégies G et C ne jouent que sur quatre triplets (amusant ).


    Laquelle de ces stratégies est intéressante ou pas ? Résultat de la comparaison dans un prochain message...

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